Forças, densidade e pressão

Centro de gravidade

O peso 重力 de um grande objeto pode ser tratado como atuando em um único ponto, chamado centro de gravidade 重心 (o mesmo que o centro de massa 质心 em um campo gravitacional uniforme). Para formas regulares e uniformes — retângulo, esfera, barra uniforme — o centro de gravidade está no meio.

Ao desenhar um diagrama de corpo livre 受力图, coloque sempre a seta do peso no centro de gravidade.

Para uma forma irregular, encontre o centro de gravidade experimentalmente. Pendure o objeto livremente por um pino: em equilíbrio, ele se estabiliza com seu centro de gravidade verticalmente abaixo do pino, pois apenas assim o peso não tem momento em relação ao pino. Um fio de prumo 铅垂线 pendurado pelo mesmo pino marca essa vertical. Pendure o objeto em um segundo ponto e desenhe a segunda linha; o centro de gravidade é onde as duas linhas se cruzam. O mesmo fato responde à pergunta do exame "explique por que a chapa pendura assim": seu centro de gravidade está diretamente abaixo do suporte, então a linha de ação do peso passa pelo pivô e não há torque resultante.

Para uma barra não-uniforme 非均匀, o centro de gravidade não está no meio. Encontre-o equilibrando a barra sobre um pivô ou tirando momentos: se o peso da barra $W$ equilibra um peso conhecido, a distância de seu centro de gravidade até o pivô é aquela que torna os momentos dos dois lados iguais.

Momento de uma força

O momento 力矩 de uma força em relação a um ponto é

onde $F$ é o módulo da força 力 e $d$ é a distância perpendicular 垂直距离 do ponto à linha de ação 作用线 da força. Unidade: $\text{N m}$.

Se a força atua em um ângulo $\theta$ em relação a um braço de alavanca 力臂 de comprimento $r$ a partir do pivô 支点, então $d = r\sin\theta$, logo $M = F r\sin\theta$. Apenas a parte da força perpendicular 垂直 ao braço de alavanca o faz girar.

Exemplo resolvido. Uma força de $50\ \text{N}$ é aplicada na extremidade de uma chave de boca $0.40\ \text{m}$ de comprimento, em $30°$ em relação à chave. Encontre o momento da força em relação à porca.

Um momento pode ser horário 顺时针 ou anti-horário 逆时针 em relação ao ponto escolhido.

Binário e torque

Um binário 力偶 é um par de forças que são:

• iguais em magnitude,
• opostas em direção,
• cujas linhas de ação estão separadas por uma distância perpendicular.

Um binário faz o corpo girar apenas — sua força resultante é zero, portanto não causa aceleração retilínea.

O torque 力偶矩 de um binário é o efeito rotativo que ele produz:

onde $F$ é o módulo de uma das forças e $d$ é a distância perpendicular entre as duas linhas de ação. Unidade: $\text{N m}$. O torque é o mesmo em qualquer ponto — uma propriedade especial dos binários.

Uma armadilha comum em múltipla escolha: duas forças iguais na mesma direção não formam um binário (elas têm uma força resultante e causam translação 平动). Um binário precisa de igual magnitude e direção oposta.

Observe a distância na fórmula. Para um par de duas forças $F$ atuando a uma distância $d$ de um pivô central, em lados opostos, a distância perpendicular entre as duas linhas de ação é $2d$, portanto o torque é $F \times 2d = 2Fd$. Tomando momentos em relação ao pivô, obtém-se a mesma resposta, $Fd + Fd$. A definição que vale dois pontos exige ambas as partes: o produto de uma das forças e a distância perpendicular entre as linhas de ação das forças.

Condições para o equilíbrio

Um corpo está em equilíbrio 平衡 quando:

1. a força resultante 合力 é zero (sem aceleração retilínea), E
2. o momento resultante em relação a qualquer ponto é zero (sem aceleração angular 角加速度).

Ambas devem ser satisfeitas. Um corpo sem força resultante ainda pode estar girando; um corpo sem momento resultante ainda pode estar se movendo em linha reta.

O caso clássico de múltipla escolha: quatro forças, dois pares iguais apontando em direções opostas mas não ao longo da mesma linha. A força resultante é zero, então o centro de massa não acelera, mas os pares formam binários com um torque resultante, fazendo com que o objeto gire cada vez mais rápido enquanto seu centro de massa se move a velocidade constante. Apenas quando ambas as condições são satisfeitas o corpo está em equilíbrio.

Princípio dos momentos

Para um corpo que não gira, o momento horário total em relação a qualquer ponto é igual ao momento anti-horário total em relação ao mesmo ponto. Este é o princípio dos momentos 力矩原理.

Para resolver um problema de balanceamento:

1. Escolha um pivô — geralmente onde uma força desconhecida atua, para que essa força desapareça (sua distância é zero).
2. Liste todas as forças e suas distâncias perpendiculares ao pivô.
3. Iguale $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$.
4. Use $\sum F = 0$ se precisar de uma segunda equação.

Uma régua equilibrada sobre um pivô com massas em cada lado é resolvida dessa forma. Para uma barra pesada e uniforme, lembre-se de incluir seu peso atuando em seu centro de gravidade. Enunciado para as notas: para um corpo em equilíbrio, a soma dos momentos horários em relação a qualquer ponto é igual à soma dos momentos anti-horários em relação ao mesmo ponto.

Exemplo resolvido. Uma viga uniforme de comprimento $4.0\ \text{m}$ está articulada em seu centro. Um peso de $40\ \text{N}$ pende a $1.5\ \text{m}$ do pivô de um lado. A que distância do pivô, do outro lado, um peso de $30\ \text{N}$ deve pendurar para equilibrar a viga?

O próprio peso da viga atua no centro (o pivô), portanto não tem momento. Igualando momentos horários $=$ momentos anti-horários:

Exemplo resolvido. Uma barra uniforme de comprimento $L$ e peso $W = 28\ \text{N}$ está articulado em uma parede em uma extremidade e mantido horizontal por um cabo na outra extremidade. O cabo forma um ângulo $40°$ com a barra. Encontre a tração $T$ no cabo.

Tire momentos em relação à articulação, para que a força desconhecida da articulação desapareça. O peso atua no centro, a uma distância $L/2$ da articulação: seu momento é $W \times L/2$, horário. A tração atua na extremidade, mas não perpendicularmente à barra, então seu momento é $T\sin 40° \times L$, anti-horário (apenas o componente de $T$ perpendicular à barra o faz girar). Iguale-os:

O comprimento $L$ se cancela, que é a razão pela qual a questão não precisa fornecê-lo. Se uma carga pendura da barra também, adicione seu momento no lado horário. Esta é a estrutura de quase todas as questões de momentos: escolha o pivô onde a força desconhecida atua, use o componente perpendicular de qualquer força inclinada e deixe os comprimentos desconhecidos se cancelarem.

Exemplo resolvido. Uma viga uniforme de peso $200\ \text{N}$ e comprimento $9.0\ \text{m}$ repousa sobre dois apoios, X a $1.0\ \text{m}$ da extremidade esquerda e Y a $6.5\ \text{m}$. Uma pessoa de peso $700\ \text{N}$ fica em pé a $1.7\ \text{m}$ de Y, além dele. Encontre a força de cada apoio.

Duas forças desconhecidas, $R_{\text{X}}$ e $R_{\text{Y}}$, então tome momentos em relação a X para eliminar $R_{\text{X}}$. O peso da viga atua no seu centro, $3.5\ \text{m}$ de X; Y está $5.5\ \text{m}$ de X; a pessoa está $7.2\ \text{m}$ de X:

Então a força resultante é zero: $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, então $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. Uma resposta negativa significa que a viga se soltaria de X: com a pessoa tão longe além de Y, X deve segurar a viga para baixo, não para cima. As questões frequentemente perguntam onde uma pessoa pode ficar antes que a vira a viga; essa é a posição na qual $R_{\text{X}}$ se torna zero.

Triângulo vetorial

Três forças no mesmo plano que estão em equilíbrio podem ser desenhadas como um triângulo vetorial fechado 矢量三角形 — desenhados ponta a cauda, as três setas retornam ao ponto inicial. Este é um método de desenho em vez de decompor em componentes 分量.

Use a lei dos senos 正弦定理 ou a lei dos cossenos 余弦定理 no triângulo para encontrar tamanhos ou direções desconhecidos, ou desenhe o triângulo em escala em papel quadriculado.

Você também pode decompor cada força em componentes horizontais 水平 e verticais 竖直 e igualar $\sum F_{x} = 0$ e $\sum F_{y} = 0$.

Para obter os pontos ao desenhar o triângulo: desenhe primeiro o peso (vertical, em escala), depois adicione as outras duas forças ponta a cauda em suas direções reais, de modo que a terceira seta feche o triângulo; rotule todos os lados com sua força e marque os ângulos. Para um bloco apoiado em uma inclinação, as três forças são o peso (vertical), a força de contato normal (perpendicular à inclinação) e o atrito (ao longo da inclinação), então o triângulo é retângulo com o peso como hipotenusa. Para um quadro pendurado por uma corda sobre um alfinete, as duas tensões iguais formam um triângulo isósceles com o peso. O teste de qualquer resposta é que o triângulo feche; se não fechar, o objeto não está em equilíbrio.

Exemplo resolvido. Uma polia de peso desprezível é sustentada por uma mola. Um único cabo passa sob a polia, e cada lado do cabo forma $30°$ com a vertical. A tensão no cabo é $T = 60\ \text{N}$. Encontre a força da mola e a extensão da mola, dado que sua constante elástica é $2000\ \text{N m}^{-1}$.

Por ser um cabo contínuo, a tensão é a mesma em ambos os lados. As duas tensões puxam para baixo e para fora; seus componentes horizontais se cancelam e seus componentes verticais somam-se, então a mola deve puxar para cima com $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. Da lei de Hooke (tópico 6), $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. Se o ângulo em relação à vertical aumenta, $\cos\theta$ diminui, então a força da mola e a extensão diminuem: o cabo está puxando mais lateralmente e menos para cima.

Densidade 密度 é a massa por unidade de volume:

Unidade: $\text{kg m}^{-3}$ (ou $\text{g cm}^{-3}$; $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$). Densidade é uma escalar 标量.

Algumas densidades úteis para saber:

• água: $1000\ \text{kg m}^{-3}$
• ar em condições ambientes: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• ferro / aço: $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

Medir densidade é uma questão prática disfarçada. Para um paralelepípedo, meça a massa em uma balança e os três comprimentos laterais com uma régua ou paquímetro, então $\rho = m / (xyz)$. Como a densidade é um produto e quociente, a incerteza percentual em $\rho$ é a soma das incertezas percentuais em $m$, $x$, $y$ e $z$ (tópico 1). Um erro de zero na balança, ou uma régua cuja extremidade está desgastada, é um erro sistemático; repetir as leituras não o remove, mas subtrair a leitura de zero sim.

Exemplo resolvido. Um bloco tem massa $(120 \pm 1)\ \text{g}$ e lados $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ e $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Encontre sua densidade e a incerteza percentual.

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. As incertezas percentuais são $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ e $5.0\%$, então a densidade tem incerteza de $12\%$, cerca de $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. O lado mais curto contribui mais, que é por que uma pergunta pede qual medição melhorar primeiro.

Pressão 压强 é a força por unidade de área, onde a força atua perpendicularmente à superfície:

Unidade: $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. Pressão é uma escalar.

A força é a que pressiona perpendicularmente à superfície, e a área é a área de contato. Um tronco de árvore de peso $9.0\ \text{kN}$ em pé sobre um poste de diâmetro $0.28\ \text{m}$ pressiona com $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; o mesmo peso sobre um poste mais largo resulta em menor pressão. Converta diâmetros em raios, e centímetros em metros, antes de elevar ao quadrado.

Pressão hidrostática

Considere uma coluna de fluido 流体 com densidade $\rho$, área transversal 横截面积 $A$ e altura $\Delta h$. Seu peso é

Esse peso pressiona para baixo sobre a área $A$ na base, então a pressão extra na base comparada com o topo é

Esta é a equação da pressão hidrostática 流体静压强. Ela depende apenas da densidade do fluido e da profundidade 深度 — a forma do recipiente não importa.

Exemplo resolvido. Encontre a pressão extra devido à água na base de uma piscina de profundidade $2.5\ \text{m}$. (Densidade da água $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Para um submarino na profundidade $h$ abaixo da superfície, a pressão da água é $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. Para a pressão total, some a pressão atmosférica 大气压强 na superfície (cerca de $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).

Empuxo e princípio de Arquimedes

Quando um objeto está submerso 浸没 em um fluido, a pressão na parte inferior do objeto é maior que a pressão na parte superior (por $\rho g \Delta h$, onde $\Delta h$ é a altura do objeto). Essa diferença gera uma força líquida para cima chamada empuxo 浮力.

Para um objeto de volume $V$ (o volume de fluido deslocado 排开), o empuxo é

Este é o princípio de Arquimedes 阿基米德原理: o empuxo sobre um corpo em um fluido é igual ao peso do fluido que ele empurrou para fora.

Exemplo resolvido. Um bloco metálico de volume $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ está totalmente submerso em água. Encontre o empuxo sobre ele. (Densidade da água $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Para um objeto totalmente submerso, $V$ é seu volume total. Para um objeto flutuante 漂浮, $V$ é apenas o volume abaixo da superfície — o objeto flutua quando o empuxo na parte abaixo da superfície é igual ao seu peso.

Se um objeto flutua ou não depende das densidades: para um objeto totalmente submerso, a razão entre empuxo e peso é $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, então ele flutua se for menos denso que o fluido e afunda se for mais denso. Reduzir pela metade a densidade do objeto dobra essa razão; alterar seu volume ou a profundidade não muda nada.

Exemplo resolvido. Um cilindro de massa $11\ \text{kg}$ e diâmetro $0.78\ \text{m}$ flutua verticalmente na água de densidade $990\ \text{kg m}^{-3}$. Encontre a profundidade $y$ de sua base abaixo da superfície.

Flutuar significa empuxo $=$ peso. O volume submerso é a área da base vezes a profundidade, $A y$, com $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:

Cada newton extra de carga no cilindro precisa de uma profundidade extra de $1 / (\rho g A)$, então a profundidade aumenta em linha reta com o peso adicionado, independentemente de onde no cilindro ele seja colocado.

Equilíbrio de forças com empuxo

Um bloco segurado debaixo d'água por uma corda amarrada ao fundo do recipiente está em equilíbrio sob três forças verticais: peso (para baixo), tensão 张力 (para baixo), empuxo (para cima). Iguale $F_{\text{upthrust}} = W + T$ para encontrar a tensão.

Um bloco submerso pendurado em um dinamômetro 弹簧测力计 mostra menos que seu peso no ar, devido ao empuxo: leitura $= W - F_{\text{upthrust}}$.

Exemplo resolvido. Um cilindro de peso $25.0\ \text{N}$ pendura-se em um dinamômetro totalmente submerso em água, e o instrumento lê $10.0\ \text{N}$. Encontre o volume do cilindro.

O empuxo é o $15.0\ \text{N}$ faltante, e empuxo $= \rho g V$, logo $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. O mesmo método encontra a densidade do cilindro: $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.

O empuxo depende da densidade do fluido e do volume deslocado, não do material do objeto ou da profundidade (para um fluido incompressível 不可压缩). Em um planeta com $g$ menor, o empuxo é menor na mesma proporção do peso, então um objeto flutuante ainda flutua com a mesma fração abaixo da superfície.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Calcule os momentos em relação a uma articulação escolhida; para o equilíbrio, o momento total horário $=$ o momento total anti-horário e a força resultante é zero.
• Um corpo em equilíbrio sob três forças forma um triângulo fechado de forças.
• Pressão do fluido $= \rho g h$; empuxo $=$ peso do fluido deslocado (Arquimedes).
• Diferencie massa, peso e densidade, e forneça a unidade base de cada um.

Erros comuns

• Resolva com $\cos\theta$ quando a geometria exigir $\sin\theta$. Desenhe o triângulo e verifique de que lado do ângulo está o cateto adjacente antes de escolher.
• Substituir o peso do objeto onde a questão trata do empuxo sobre ele. O empuxo é o peso do fluido deslocado, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
• Esquecer o peso de uma viga uniforme. Ele atua no centro e tem um momento em relação a qualquer articulação que não esteja no centro.
• Usar a distância ao longo da barra para uma força inclinada. O momento precisa da distância perpendicular ou da componente perpendicular da força.
• Calcular o torque de um bin como $Fd$ com $d$ medido a partir da articulação. A distância é entre as duas linhas de ação, então um bin simétrico dá $2Fd$.