Superposição

Quando duas ou mais ondas 波 se sobrepõem em um ponto, o deslocamento 位移 ali é a soma vetorial 矢量和 dos deslocamentos que cada onda causaria isoladamente. Este é o princípio da superposição 叠加.

As ondas passam umas pelas outras e saem inalteradas. A superposição é a base de tudo neste tópico.

Para a afirmação de dois pontos: quando duas ou mais ondas encontram-se em um ponto, o deslocamento resultante é a soma dos deslocamentos das ondas individuais. São os deslocamentos que se somam, não as amplitudes ou as intensidades, e o princípio aplica-se sempre que ondas do mesmo tipo se sobrepõem; as ondas não precisam ser coerentes ou de igual amplitude.

Se duas ondas de amplitude 振幅 $A_{1}$ e $A_{2}$ se encontram:

• em fase 同相 (crista 波峰 encontra crista): a amplitude é $A_{1} + A_{2}$ (interferência construtiva 相长干涉).
• exatamente fora de fase (crista encontra vales 波谷, diferença de fase 相位差 $\pi$): a amplitude é $|A_{1} - A_{2}|$ (interferência destrutiva 相消干涉).
• qualquer outra diferença de fase $\phi$: a amplitude fica em algum lugar entre esses dois.

Para intensidade 强度, $I \propto A^{2}$. Duas ondas iguais encontrando-se em fase dão intensidade $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — quatro vezes a intensidade de uma onda sozinha.

Como $I \propto A^{2}$, trabalhe primeiro com amplitudes. Duas ondas de intensidades $I$ e $4I$ têm amplitudes $A$ e $2A$: a superposição em fase resulta em amplitude $3A$ e intensidade $9I$; em antifaase, amplitude $A$ e intensidade $I$. Portanto, duas ondas coerentes de intensidades diferentes nunca se cancelam completamente: os mínimos têm intensidade $(A_{2} - A_{1})^{2}$, não zero. Uma onda de amplitude $2A$ encontrando uma de amplitude $A/2$ viajando na direção oposta produz um resultado que varia entre $2.5A$ e $1.5A$, um padrão estacionário sem nós verdadeiros. Dobrar a amplitude de uma de duas ondas iguais que se encontram em fase leva o resultado de $2A$ para $3A$, portanto a intensidade aumenta de $4A^{2}$ para $9A^{2}$: $2.25$ vezes.

Quando duas ondas progressivas 行波 idênticas viajam em direções opostas e se sobrepõem, formam uma onda estacionária 驻波. Exemplos: uma onda em uma corda refletida 反射 de uma extremidade fixa sobrepondo-se à onda incidente; som em uma coluna de ar refletida de uma extremidade fechada; micro-ondas entre um emissor e uma placa metálica.

Explique como a onda estacionária é formada (três ou quatro pontos, perguntado para uma corda, uma coluna de ar e micro-ondas igualmente): a onda da fonte viaja até a extremidade distante (a parede, a extremidade fechada, a placa de metal) e é refletida; as ondas incidentes e refletidas têm a mesma frequência, comprimento de onda e velocidade e viajam em direções opostas; elas superpõem-se onde se cruzam; nos pontos onde sempre se encontram em fase, os deslocamentos se somam para dar a amplitude máxima, um antinó, e nos pontos onde sempre se encontram em antifase se cancelam, um nó. Para "enuncie as condições": duas ondas do mesmo tipo, com a mesma frequência (e comprimento de onda) e velocidade, viajando em direções opostas ao longo da mesma linha; amplitudes iguais são necessárias apenas para que os nós tenham amplitude zero. A placa de metal no experimento de micro-ondas está lá para refletir as ondas de volta ao seu próprio caminho.

Nós e antinós

Em uma onda estacionária:

• nó 波节 — um ponto que está sempre em deslocamento zero (as duas ondas sempre se cancelam). A distância entre nós vizinhos é $\lambda/2$.
• antinó 波腹 — um ponto de maior amplitude (as duas ondas sempre se somam). A distância entre antinós vizinhos é $\lambda/2$.
• um nó e o próximo antinó estão $\lambda/4$ separados.

Partículas entre dois nós oscilam em fase umas com as outras, mas com amplitudes diferentes (maior no antinó, zero nos nós). Partículas em lados opostos de um nó oscilam em antifase 反相 (diferença de fase $\pi$).

Então a diferença de fase entre dois pontos no mesmo laço (entre nós adjacentes) é $0°$; entre pontos em laços vizinhos é $180°$; e entre pontos em laços separados por um laço inteiro é $0°$ novamente. Todo ponto atinge seu deslocamento máximo no mesmo instante e passa pelo zero no mesmo instante. Um esboço da corda um quarto de ciclo após o instante de deslocamento máximo é uma linha reta ao longo da posição de repouso; meio ciclo depois é a imagem espelhada do primeiro esboço. Em um período, uma partícula em um antinó percorre quatro amplitudes, então uma partícula que se move $72\ \text{mm}$ em um e meio períodos tem uma amplitude de $12\ \text{mm}$.

Exemplo resolvido. Uma corda de comprimento $0.80\ \text{m}$ está fixa em ambas as extremidades e vibra em seu modo fundamental, onde a velocidade da onda é $240\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a frequência fundamental.

Um laço cabe na corda, então $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$. Então

Como uma onda estacionária difere de uma onda progressiva: ela não carrega energia 能量 ao longo de seu comprimento, o padrão não se move ao longo, e os nós permanecem fixos; uma onda progressiva tem a mesma amplitude em todos os lugares e carrega energia. As três diferenças que o gabarito lista: uma onda progressiva transfere energia e uma estacionária não; em uma onda progressiva todo ponto tem a mesma amplitude, em uma estacionária a amplitude varia de zero em um nó até um máximo em um antinó; em uma onda progressiva pontos vizinhos diferem em fase, em uma estacionária todos os pontos entre dois nós estão em fase.

Medindo o comprimento de onda a partir do espaçamento dos nós

Acione uma corda com um vibrador na frequência $f$ até que um padrão estacionário apareça. Meça a distância entre dois nós bem separados e divida pelo número de meios-comprimentos de onda 波长 entre eles. Então $\lambda$ é conhecido, e $v = f\lambda$ dá a velocidade da onda.

Para um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra (um tubo de ressonância 共鸣管), a extremidade fechada é um nó de deslocamento e a extremidade aberta é um antinó de deslocamento. A fundamental 基频 tem $L = \lambda/4$; a próxima ressonância ocorre em $L = 3\lambda/4$; e assim por diante. Para um tubo aberto em ambas as extremidades, ambas as extremidades são antinós; a fundamental está em $L = \lambda/2$.

A regra geral: uma extremidade fechada é um nó e uma extremidade aberta é um antinó, e uma corda fixa em ambas as extremidades tem um nó em cada extremidade. Portanto, um tubo fechado acomoda um número ímpar de quartos de comprimento de onda ($L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$), enquanto um tubo aberto e uma corda fixa acomodam meios comprimentos de onda inteiros ($L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$); um tubo aberto em ambas as extremidades com $n$ nós tem $n + 1$ antinós. As frequências derivam de $f = v/\lambda$: um tubo fechado cuja nota mais baixa é $820\ \text{Hz}$ tem $\lambda = 4L$, e um corredor $13.2\ \text{m}$ longo com uma porta refletora em cada extremo ressoa pela primeira vez em $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$.

Exemplo resolvido. Um alto-falante na extremidade aberta de um tubo $0.51\ \text{m}$ de comprimento, fechado na outra extremidade, estabelece uma onda estacionária com dois nós e dois antinós. Encontre o comprimento de onda e, com $v = 340\ \text{m s}^{-1}$, a frequência.

Dois nós e dois antinós são o segundo modo de um tubo fechado, $L = 3\lambda/4$, portanto $\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ e $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$. O maior comprimento de onda que pode ressonar neste tubo é $4L = 2.0\ \text{m}$.

Os experimentos nomeados pelo syllabus medem todos $\lambda$ a partir do espaçamento entre nós ou antinós. No tubo de ressonância, um tubo é elevado da água enquanto um alto-falante ou diapasão soa em sua extremidade aberta; o som torna-se repentinamente alto na primeira ressonância, quando a coluna de ar tem comprimento $\lambda/4$, e novamente em $3\lambda/4$, portanto o tubo move-se $\lambda/2$ entre os dois (um estudante não precisa de equipamento para detectar a ressonância: a nota torna-se alta). Em um tubo de pó, partículas finas depositam-se em montes nos nós de deslocamento, separados por $\lambda/2$. Com micro-ondas, um receptor movido ao longo da linha entre o transmissor e uma placa metálica refletora lê um mínimo a cada $\lambda/2$: um receptor que começa em um mínimo e passa por mais seis mínimos em $1.05\ \text{m}$ cruzou $3\lambda$, portanto $\lambda = 0.35\ \text{m}$ e, com $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ para o experimento de som equivalente, $f = 970\ \text{Hz}$. Uma onda estacionária em um forno de micro-ondas derrete chocolate nos antinós, separados por $\lambda/2$, portanto o espaçamento dos pontos e a frequência do forno ($2.45\ \text{GHz}$) dão a velocidade da luz a partir de $c = f\lambda$.

Difração 衍射 é o espalhamento de uma onda após passar por uma abertura ou ao redor de um obstáculo 障碍物. Todas as ondas sofrem difração — água, som, luz, micro-ondas.

Para os dois pontos "enuncie o que significa difração": o espalhamento de uma onda à medida que passa por uma abertura (uma abertura) ou ao redor da borda de um obstáculo, para a região atrás dele. A difração muda a direção em que a onda viaja, mas não sua velocidade, frequência ou comprimento de onda.

A quantidade de espalhamento depende da razão de comprimento de onda para largura da abertura:

• abertura muito mais larga que $\lambda$: muito pouco espalhamento; a onda passa quase em linha reta.
• abertura do tamanho de $\lambda$: muito espalhamento; a onda se expande em leque.
• abertura menor que $\lambda$: espalhamento muito forte; a abertura age quase como uma fonte pontual.

Mostre isso com ondas de água em um tanque de ondulações 水波槽: ondas retas encontram uma barreira com uma fenda, e as ondas curvam-se mais à medida que a fenda se torna mais estreita. A mesma ideia explica por que você pode ouvir alguém atrás de uma esquina (a fala tem $\lambda$ perto de 1 m, próximo ao tamanho da fenda) mas não pode vê-la (a luz visível tem $\lambda \sim 500\ \text{nm}$, muito menor que a fenda).

Para o espalhamento mais forte, a abertura deve ter cerca de um comprimento de onda de largura. Portanto, para aumentar a difração de uma dada onda, faça a abertura mais estreita; para uma dada abertura, use um comprimento de onda mais longo, o que significa uma frequência mais baixa. Ondas de rádio de comprimento de onda $1.5\ \text{km}$ difratam ao redor de uma montanha e atingem uma antena atrás dela; micro-ondas de $1.5\ \text{cm}$ não. Som de $0.44\ \text{kHz}$ no ar tem $\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$, então características de cerca de $0.75\ \text{m}$ o difratam mais, e dos sons passando por uma porta $0.80\ \text{m}$ de largura, as baixas frequências se espalham mais. Tornar a abertura muitas vezes mais larga que o comprimento de onda, ou aumentar a frequência, reduz o espalhamento.

Interferência 干涉 é a superposição de duas ondas coerentes 相干 para dar um padrão estável de regiões de alta amplitude (construtivo) e baixa amplitude (destrutivo).

Coerência

Duas fontes são coerentes quando emitem ondas com uma diferença de fase constante (o que também exige a mesma frequência). Duas lâmpadas separadas não são coerentes — sua fase muda aleatoriamente, então qualquer padrão pisca muito rápido para ser visto e você obtém apenas uma média.

A definição de uma marca: ondas coerentes têm uma diferença de fase constante, o que requer a mesma frequência. Elas não precisam estar em fase umas com as outras: duas fontes coerentes emitindo $180°$ de distância dá um padrão cuja linha central é um mínimo. Dois lasers separados, ou uma lâmpada e um laser, não são coerentes mesmo quando suas frequências coincidem, então nenhum padrão estável se forma.

Para fazer luz coerente de uma fonte, passe-a por duas fendas 狭缝 em um setup de dupla-fenda 双缝. Ambas as fendas são iluminadas pela mesma frente de onda, então os dois feixes mantêm uma relação de fase fixa.

Condições para um padrão claro

Para ver franjas de duas fontes você precisa:

1. duas fontes coerentes (diferença de fase constante).
2. amplitudes aproximadamente iguais (ou as regiões escuras não são muito escuras).
3. as ondas se sobrepõem onde você olha.
4. para a luz (uma onda transversal), o mesmo plano de polarização 偏振.

Na prática, para a luz: uma fenda simples (ou um laser) torna as duas fendas coerentes; as fendas são estreitas, então cada uma difrata a luz na região onde os dois feixes se sobrepõem; e as fendas estão próximas, com a tela longe, para que as franjas sejam largas o suficiente para serem vistas.

Diferença de caminho

Para duas fontes coerentes, o que acontece em um ponto depende da diferença de caminho 路程差 $\Delta x$ entre as duas ondas ali chegando:

• construtivo: $\Delta x = n\lambda$ (para números inteiros $n = 0, 1, 2, \ldots$).
• destrutivo: $\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$.

A diferença de caminho fixa a diferença de fase: um comprimento de onda de caminho é $360°$. Ondas que viajaram $100\ \text{cm}$ e $80\ \text{cm}$ de duas fontes em fase de comprimento de onda $8.0\ \text{cm}$ chegam com uma diferença de caminho de $2.5\lambda$, uma diferença de fase de $180°$, e cancelam-se; micro-ondas de comprimento de onda $4\ \text{cm}$ cujos caminhos diferem em $6\ \text{cm}$ ($1.5\lambda$) dão um mínimo, de intensidade zero apenas se as duas amplitudes forem iguais. Reduzir as frequências das duas fontes igualmente alonga o comprimento de onda, então a mesma diferença de caminho é um número menor de comprimentos de onda e o ponto deixa de ser um mínimo.

Experimento de dupla-fenda (Young)

Para duas fendas a uma distância $a$ de distância, com uma tela a uma distância $D$ (assuma $D \gg a$), luz de comprimento de onda $\lambda$ faz franjas na tela.

O espaçamento de franja 条纹间距 $x$ (uma franja 条纹 para a próxima) é

Franjas brilhantes (máximo 极大) são onde a diferença de caminho é um número inteiro de $\lambda$; franjas escuras (mínimo 极小) onde é $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$. As franjas são igualmente espaçadas.

Para tornar o espaçamento de franja menor: aumente $a$ (fendas mais distantes), reduza $D$ (tela mais perto), ou use um $\lambda$ mais curto (luz mais azul).

Explique como o padrão de franjas brilhantes e escuras é formado (três marcas): a luz difrata em cada fenda; os dois feixes difratados se sobrepõem e superpõem-se; onde a diferença de caminho das duas fendas é um número inteiro de comprimentos de onda as ondas chegam em fase e interferem construtivamente, dando uma franja brilhante, e onde é um número ímpar de meios-comprimentos de onda elas chegam fora de fase e interferem destrutivamente, dando uma franja escura. Uma fonte mais brilhante torna as franjas brilhantes mais brilhantes mas não altera seu espaçamento; mudar para luz azul torna o espaçamento menor, então para manter o mesmo espaçamento as fendas devem ser movidas mais perto; tornar cada fenda mais estreita aumenta a difração, então franjas aparecem em uma região mais larga, com o espaçamento inalterado.

Exemplo resolvido. Em um experimento de dupla-fenda as fendas estão $0.50\ \text{mm}$ de distância e iluminadas por luz de comprimento de onda $600\ \text{nm}$. A tela está $2.0\ \text{m}$ de distância. Encontre o espaçamento de franja.

Exemplo resolvido. Luz vermelha de comprimento de onda $680\ \text{nm}$ incide sobre fendas $0.16\ \text{mm}$ de distância. A distância entre os centros da primeira e nona franja escura é $3.2\ \text{cm}$. Encontre a distância $D$ à tela.

Oito espaçamentos de franja fazem $3.2\ \text{cm}$, então $x = 4.0\ \text{mm}$ e $D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$. Em uma tela $5.0\ \text{cm}$ de largura centrada no padrão, com $x = 2.4\ \text{mm}$, dez franjas brilhantes cabem de cada lado da central: $21$ no total. Um gráfico de $x$ contra $a$ é uma curva caindo conforme $1/a$; um gráfico de $x$ contra $\lambda$ (ou contra $D$) é uma linha reta pela origem com inclinação $D/a$ (ou $\lambda/a$), da qual $a$ pode ser encontrado.

Uma rede de difração 衍射光栅 tem muitas fendas igualmente espaçadas — muitas vezes centenas ou milhares por milímetro. Cada fenda é uma fonte coerente. Um máximo é visto em ângulo $\theta$ da normal 法线 à rede quando

onde $d$ é o espaçamento de fenda 缝间距 (centro a centro), $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ é a ordem 级次, e $\lambda$ é o comprimento de onda.

Exemplo resolvido. Uma rede de difração tem $500$ linhas por mm. Luz de comprimento de onda $600\ \text{nm}$ é direcionada normalmente sobre ela. Encontre o ângulo do máximo de primeira ordem ($n = 1$).

O espaçamento de fenda é $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$, então

Comparado com a dupla-fenda, uma rede dá máximos muito mais nítidos, porque mais fendas somam-se — todas as outras direções são canceladas por muitas fendas.

Para descrever a difração na rede: a luz se espalha (difrata) em toda fenda, e as ondas de todas as fendas superpõem-se; nas direções onde a diferença de caminho entre fendas vizinhas é um número inteiro de comprimentos de onda elas estão todas em fase, então máximos nítidos se formam ali e quase nada entre elas. Um gráfico de intensidade contra ângulo é um conjunto de picos estreitos em $\theta = 0$ e em $\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$, onde $\sin\theta_{n} = n\lambda/d$: igualmente espaçados em $\sin\theta$, então ligeiramente mais distantes em $\theta$ nas ordens mais altas.

Exemplo resolvido. Luz de comprimento de onda $680\ \text{nm}$ incide normalmente em uma rede com $450$ linhas por mm. Encontre o ângulo entre os dois máximos de segunda ordem.

$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$, então $\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$ e $\theta_{2} = 37.7°$; os dois feixes de segunda ordem estão $2\theta_{2} = 75°$ de distância.

Espaçamento de fenda a partir de "linhas por mm"

Se uma rede tem $N$ linhas por milímetro, então $d = 1/N$ milímetros $= 10^{-3}/N$ metros. Para $450$ linhas por mm, $d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$.

Ordem mais alta

Para uma dada rede e comprimento de onda, $\sin\theta = n\lambda/d$ não pode ser mais que $1$, então a ordem mais alta vista é

Se $d/\lambda = 3.27$, ordens até $n = 3$ existem; $n = 4$ precisaria de $\sin\theta > 1$ e não é vista.

Então o número total de máximos em uma tela larga é $2n_{\text{max}} + 1$: para $700\ \text{nm}$ luz e $400$ linhas por mm, $d/\lambda = 3.57$, então $n_{\text{max}} = 3$ e sete feixes são vistos. Um comprimento de onda mais curto dá mais ordens em menores ângulos. Com luz branca toda ordem exceto a ordem zero é um espectro, violeta mais próximo do centro e vermelho mais distante, porque $\theta$ cresce com $\lambda$; a ordem zero permanece branca. Dois comprimentos de onda dão um máximo no mesmo ângulo quando $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$: a terceira ordem de $400\ \text{nm}$ coincide com a segunda ordem de $600\ \text{nm}$.

Encontrando $\lambda$ com uma rede

Brilhe luz paralela de comprimento de onda desconhecido diretamente na rede. Meça o ângulo $\theta_{1}$ do máximo de primeira ordem a partir do centro. Então $\lambda = d \sin\theta_{1}$. Repetir para ordens mais altas e médias reduz o erro.

Meça o ângulo entre os máximos de primeira ordem dos dois lados e divida por dois, o que cancela qualquer erro no ajuste do zero; ordens mais altas dão maiores ângulos e assim uma menor incerteza percentual; e plotar $\sin\theta$ contra $n$ para várias ordens dá uma linha reta pela origem de inclinação $\lambda/d$, então $\lambda = Gd$ (ou, para um comprimento de onda conhecido, $d = \lambda/G$). Duas coisas devem estar certas: $\theta$ é medido a partir da normal à rede, não de sua superfície, e $d$ é a distância entre linhas adjacentes, então $400$ linhas por mm significam $d = 2.5\ \mu\text{m}$, nunca $400$.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Interferência de duas fontes: construtiva quando a diferença de caminho é $= n\lambda$, destrutiva quando é $= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$; as fontes devem ser coerentes.
• Fenda dupla: $\lambda = ax/D$; rede de difração: $d\sin\theta = n\lambda$ — saiba todos os símbolos.
• Em uma onda estacionária, marque nós e antinós; nós adjacentes estão separados por $\lambda/2$; ela armazena energia, mas não a transfere.
• Uma onda estacionária precisa de duas ondas de mesma frequência viajando em direções opostas.

Erros comuns

• Somar amplitudes ou intensidades no princípio da superposição. Os deslocamentos se somam; a intensidade então segue do quadrado da amplitude resultante.
• "Nós adjacentes estão separados por um comprimento de onda." Metade de um comprimento de onda; de um nó ao próximo antinó é um quarto.
• Usar $d =$ linhas por milímetro em $d\sin\theta = n\lambda$. Inverter: $d = 10^{-3}/N$ metros.
• Medir $\theta$ a partir da superfície da rede, ou esquecer que o ângulo entre os dois feites de primeira ordem é $2\theta_{1}$.
• Escrever "em fase" para coerente. Coerente significa uma diferença de fase constante; as fontes podem estar permanentemente fora de fase.
• Dizer que o espaçamento de franjas muda quando a fonte fica mais brilhante, ou que fendas mais estreitas mudam o espaçamento. Brilho e largura da fenda alteram o contraste e o número de franjas visíveis, não $x = \lambda D/a$.