Dinâmica

Massa

Massa 质量 indica quão difícil é alterar o movimento de um objeto. Quanto maior a massa, maior a força 力 necessária para lhe dar uma certa aceleração 加速度. A massa mede-se em quilogramas ($\text{kg}$) e é uma grandeza escalar 标量.

Momento

Momento linear 动量 é o produto da massa pela velocidade:

O momento é um vetor 矢量 — ele aponta na mesma direção da velocidade 速度. Sua unidade é $\text{kg m s}^{-1}$, que é a mesma de $\text{N s}$.

Força como taxa de variação do momento

A segunda lei de Newton, em sua forma geral: a força resultante 合力 sobre um objeto é igual à taxa de variação de seu momento.

Quando a massa é constante, isso se torna $F = ma$, porque $\Delta p = m\,\Delta v$ e $\Delta v / \Delta t = a$. Questões do Cambridge geralmente pedem para usar $F = \Delta p / \Delta t$ diretamente para uma colisão 碰撞 ou um impulso 冲量: a força média é igual à mudança no momento dividida pelo tempo de contato.

Uma bola bate em uma parede com momento $p_{1}$ e quica de volta com momento $p_{2}$ na direção oposta. A mudança no momento é $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (dê cada direção o sinal correto). A força média é $\Delta p / \Delta t$, onde $\Delta t$ é o tempo de contato.

Exemplo resolvido. Uma bola de $0.20\ \text{kg}$ hits a wall at $8.0\ \text{m s}^{-1}$ and bounces straight back at $6.0\ \text{m s}^{-1}$. O contato dura $0.050\ \text{s}$. Encontre a força média sobre a bola.

Considere a direção de rebote como positiva, então $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ e $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

Quando você conhece o momento mas não a velocidade, a mudança na energia cinética 动能 é

Isso vem de $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

Gráficos de momento-tempo

Porque $F = \Delta p / \Delta t$, a inclinação 梯度 de um gráfico de momento-tempo é a força resultante, assim como a inclinação de um gráfico velocidade-tempo é a aceleração. Uma linha reta significa uma força resultante constante; uma linha horizontal significa força resultante zero; uma linha descendente significa uma força atuando contra o movimento.

Exemplo resolvido. O gráfico mostra o momento de uma motocicleta. Encontre a força resultante sobre ela durante os primeiros $10\ \text{s}$.

Inclinação $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Entre $10\ \text{s}$ e $16\ \text{s}$ o momento é constante, então a força resultante é zero: a força motriz apenas equilibra as forças resistentes. De $16\ \text{s}$ a $20\ \text{s}$ o momento cai em $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, então a força resultante é $-500\ \text{N}$, agindo para trás.

Se uma questão disser que a velocidade está mudando enquanto a força resultante permanece constante, essa força não pode ser resistência do ar: arrasto depende da velocidade, então mudaria conforme a velocidade muda, e o arrasto sempre atua contra o movimento.

Primeira lei

Um objeto permanece em repouso, ou continua se movendo com velocidade constante em linha reta, a menos que uma força externa resultante 外力 atue sobre ele. Em resumo: força resultante zero significa aceleração zero.

Segunda lei

A força resultante sobre um objeto é igual à sua taxa de variação de momento, e age na mesma direção dessa mudança. Em unidades SI,

Aceleração e força resultante sempre apontam na mesma direção.

Terceira lei

Quando o corpo A empurra o corpo B, o corpo B empurra de volta no corpo A com uma força igual e oposta. As duas forças:

• atuam em objetos diferentes,
• são do mesmo tipo (ambas gravitacionais, ambas de contato, ambas eletrostáticas 静电, etc.),
• têm o mesmo tamanho e direção oposta.

Uma armadilha comum: o peso 重力 de um bloco sobre uma mesa e a força de contato normal 支持力 da mesa não formam um par de terceira lei (elas atuam no mesmo objeto e são tipos diferentes). O parceiro de terceira lei do peso do bloco é a tração que o bloco exerce na Terra. O parceiro de terceira lei da força de contato da mesa é a pressão que o bloco exerce sobre a mesa.

Para nomear um parceiro de terceira lei, troque os dois corpos na frase. "A roda traseira de uma bicicleta empurra para trás na estrada" combina com "a estrada empurra para frente na roda traseira", e esse empurrão para frente é o que move a bicicleta. "A Terra puxa a Lua" combina com "a Lua puxa a Terra", com o mesmo tamanho de força.

Para um foguete: a empuxo 推力 no foguete e a força nos gases são um par de terceira lei (o motor empurra o gás para baixo, o gás empurra o motor para cima). Peso e resistência do ar não fazem parte deste par.

Peso é a força sobre um objeto devido a um campo gravitacional 重力场. Perto da superfície da Terra,

onde $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ é a aceleração da queda livre. Peso é um vetor que aponta para o centro da Terra. Não o confunda com massa: a massa é a mesma em qualquer lugar, mas o peso muda conforme o local.

Na Lua $g$ é cerca de $1.6\ \text{m s}^{-2}$, então a massa de um astronauta não muda, mas seu peso é cerca de um sexto do valor na Terra. Quando uma questão de múltipla escolha pede qual afirmação descreve o peso, a resposta é aquela que diz "a força sobre o objeto devido a um campo gravitacional", não "massa vezes aceleração" nem "a força resultante".

Forças de atrito e arrasto

Uma força de atrito 摩擦力 entre duas superfícies sólidas atua ao longo da superfície e se opõe ao deslizamento. Uma força viscosa 黏性或 arrasto 阻力 é a força resistente de um fluido 流体 (líquido ou gás) sobre um objeto que se move através dele; resistência do ar é o caso para o ar. Você não precisa usar nenhum coeficiente 系数 de atrito ou viscosidade.

Um modelo simples: o arrasto aumenta à medida que a velocidade aumenta. Na velocidade zero, o arrasto é zero. O arrasto também cresce com a área transversal 横截面积 do objeto e com a densidade do fluido; um paraquedas funciona tornando a área, e consequentemente o arrasto, muito maior. Essas forças de atrito e arrasto são todas forças resistentes: elas atuam contra a direção do movimento e transferem energia cinética para energia térmica.

Um objeto caindo através do ar

Para um objeto solto do repouso e caindo através do ar:

1. No início, apenas o peso atua, então o objeto acelera para baixo com $g$.
2. À medida que a velocidade aumenta, o arrasto ascendente aumenta. A força resultante diminui, então a aceleração diminui.
3. Por fim, o arrasto iguala-se ao peso. A força resultante é zero, a aceleração é zero, e a velocidade permanece constante — a velocidade terminal 收尾速度.

Em um gráfico velocidade-tempo, a linha começa reta com inclinação $g$, depois curva e se aplaina na velocidade terminal. Essa forma (início rápido, depois aceleração diminuída, depois velocidade constante) é como "queda com resistência do ar" difere de "queda livre em vácuo" em um campo gravitacional uniforme 匀强重力场. Em um gráfico aceleração-tempo, a aceleração começa em $g$ e diminui, curvando-se até zero.

Duas esferas do mesmo tamanho, mas densidades diferentes, têm velocidades terminais diferentes: a esfera mais densa tem maior peso, então precisa de maior arrasto para equilibrá-lo, e o arrasto só alcança esse valor em velocidade maior. É também por isso que um paraquedas muda tudo: quando abre, o arrasto subitamente excede o peso, a força resultante é para cima, e o pára-quedista desacelera (a aceleração é para cima enquanto a velocidade ainda é para baixo) até que o arrasto caia novamente para igualar o peso em uma nova velocidade terminal muito menor.

Queda através de um líquido: três forças

Uma bola caindo através de um líquido tem três forças atuando sobre ela: seu peso para baixo, a empuxo 浮力 para cima, e o arrasto viscoso para cima. O empuxo vem da pressão hidrostática 流体静压强: a pressão em um líquido aumenta com a profundidade, então o líquido empurra mais forte na parte inferior da bola do que na superior, e a resultante desses empurrões é para cima. Seu valor é igual ao peso do líquido deslocado pela bola, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (tópico 4). O arrasto cresce com a velocidade. Quando o peso $=$ o empuxo $+$ o arrasto, a força resultante é zero e a bola cai à sua velocidade terminal. Uma questão "desenhe setas rotuladas" pede exatamente essas três, com o empuxo e o arrasto ambos para cima e o peso para baixo.

Exemplo resolvido. Uma bola de aço de raio $2.0\ \text{mm}$ e peso $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ cai através de óleo de densidade $850\ \text{kg m}^{-3}$. O arrasto viscoso sobre ela é $F = 6\pi \eta r v$, onde $\eta$ é a viscosidade 黏度 do óleo e $v$ a velocidade. (a) Encontre as unidades fundamentais do SI de $\eta$. (b) Mostre que o empuxo sobre a bola é $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) Considerando $\eta = 0.20$ em unidades do SI, encontre a velocidade terminal.

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, então suas unidades são $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, então $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(c) Na velocidade terminal, o arrasto $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Então $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

Energia durante uma queda à velocidade terminal

Na velocidade terminal, um paraquedista 跳伞者 tem energia cinética constante. Mas a energia potencial gravitacional 重力势能 continua caindo conforme desce. Para onde ela vai? Quase toda se transforma em energia térmica 热能 do ar ao redor. Ela não se torna energia cinética do paraquedista — essa permanece constante.

Ciclista ou carro em velocidade constante

Um veículo em velocidade constante numa estrada plana tem força resultante nula. A força motriz 驱动力 é igual e oposta à força resistente total (atrito, resistência do ar e resistência à rolagem). Em velocidades maiores, o arrasto é maior, então a força motriz também deve ser maior — e assim a potência 功率 deve ser maior.

Em uma inclinação, o peso tem uma componente ao longo da estrada. Subindo em velocidade constante, a força motriz deve equilibrar a força resistente e a parte do peso que puxa para baixo da encosta, $W\sin\theta$; descendo, essa mesma componente auxilia o movimento.

Exemplo resolvido. Um carro de massa $1500\ \text{kg}$ sobe uma estrada inclinada $12°$ em relação à horizontal a uma velocidade constante $30\ \text{m s}^{-1}$. A força resistente total é $1600\ \text{N}$. Encontre a força motriz e a potência útil de saída do motor.

Velocidade constante significa força resultante nula ao longo da rampa: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. Potência é força vezes velocidade (tópico 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

O princípio

Para um sistema sem força externa resultante, o momento total permanece constante. Isso é conservação do momento 动量守恒. Formulado para as duas marcas que o examinador atribui: o momento total de um sistema de objetos permanece constante desde que nenhuma força externa resultante atue sobre o sistema. Ambas as partes são necessárias: apenas "o momento total é constante" vale uma marca.

Sempre se aplica quando não há força externa resultante — em colisões, explosões 爆炸, e recuo 反冲. Em duas dimensões, o momento é conservado ao longo de cada direção independentemente.

Exemplo resolvido. Um carrinho de $2.0\ \text{kg}$ e um carrinho de $3.0\ \text{kg}$ são segurados contra uma mola comprimida, depois liberados do repouso. O carrinho de $2.0\ \text{kg}$ voa para longe a $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a velocidade do outro carrinho.

O momento total permanece zero (começou em repouso), então

na direção oposta.

Colisões elásticas e inelásticas

Em todas as colisões, o momento é conservado (se não houver força externa resultante).

Uma colisão elástica 弹性碰撞 é aquela em que a energia cinética total também é conservada. Um teste rápido: em uma colisão elástica, a velocidade relativa 相对速率 de aproximação é igual à velocidade relativa de separação.

Em uma colisão inelástica 非弹性碰撞, o momento é conservado mas a energia cinética diminui — parte se transforma em energia térmica, sonora ou de deformação 形变. Se os dois objetos ficarem presos juntos, a colisão é perfeitamente inelástica.

Resolvendo problemas de colisão (uma dimensão)

Para dois objetos com massas $m_{1}, m_{2}$ e velocidades iniciais $u_{1}, u_{2}$ que batem frontalmente 正面, escreva

Use velocidades com sinal (positivas em uma direção escolhida). Se a colisão for elástica, adicione a equação de velocidade relativa

ou, a mesma coisa, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Isso fornece duas equações para duas incógnitas.

Exemplo resolvido. Um carro de $1500\ \text{kg}$ movendo-se a $12\ \text{m s}^{-1}$ bate em um carro parado de $1000\ \text{kg}$ e eles travam juntos. Encontre a velocidade comum pouco após a colisão.

O momento é conservado (os carros ficam presos, então $v_{1} = v_{2} = v$):

As perguntas frequentemente prosseguem perguntando qual fração da energia cinética é transferida para outras formas. Antes: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. Depois: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Então $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, que corresponde a $40\%$ da energia cinética original, torna-se energia térmica, som e deformação dos carros. O momento é conservado; a energia cinética não é.

Exemplo resolvido. Um núcleo estacionário de massa $222\,u$ decai emitindo uma partícula alfa α粒子 de massa $4\,u$ a $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a velocidade do núcleo restante.

Antes do decaimento, o momento total é zero, então depois os dois momentos são iguais e opostos: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, dando $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ na direção oposta à partícula alfa. A unidade $u$ cancela, então seu valor nunca é necessário. Em um decaimento, o momento, a carga (número de prótons), o número nucleônico e a energia-massa total são todos conservados (tópico 11).

Um resultado útil para uma colisão elástica frontal de massa $m$ com uma massa estacionária $M$:

Colisões em duas dimensões

Se os objetos se movem em duas dimensões, decomponha as velocidades em componentes 分量 perpendiculares 垂直 e aplique a conservação do momento ao longo de cada direção independentemente. Para uma colisão onde os objetos batem em um ângulo, escolha um eixo ao longo do movimento do primeiro objeto e outro transversal a ele. O momento total é conservado ao longo de cada eixo.

Exemplo resolvido. Sobre uma superfície sem atrito, a bola A tem momento $4.0\ \text{N s}$ devido leste e a bola B tem momento $3.0\ \text{N s}$ devido norte. Elas colidem e ficam presas juntas. Encontre o momento do objeto combinado.

O momento é conservado ao longo de cada eixo: $4.0\ \text{N s}$ leste e $3.0\ \text{N s}$ norte após a colisão, exatamente como antes. O momento total é a soma vetorial, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ a $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ ao norte do leste; o objeto combinado move-se nessa direção a $5.0\ \text{N s}$ dividido pela massa total. Um diagrama de múltipla escolha com duas setas de momento está pedindo exatamente isso: some as setas ponta com cauda.

Foguete / expelindo massa

Um foguete expulsa gás a velocidade $u$ (relativa a si mesmo) a uma taxa de fluxo de massa 质量流率 $\dot m$ (kg por segundo). Ele sente uma tração

que vem de $F = \Delta p / \Delta t$. O momento dado ao gás a cada segundo é igual à tração no foguete (terceira lei de Newton: o foguete empurra o gás numa direção, o gás empurra o foguete na outra direção). Um motor que expulsa $90\ \text{kg}$ de gás por segundo a $190\ \text{m s}^{-1}$ produz uma tração de $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

Exemplo resolvido. Um foguete de peso $W$ deixa o solo com uma aceleração inicial $a$. Que tração seu motor produz?

Considere para cima como positivo. A força resultante é tração menos peso, então $T - W = ma$. Com $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Um foguete de peso $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ acelerando a $4.0\ \text{m s}^{-2}$ precisa de uma tração de $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. A tração deve exceder o peso antes que o foguete se mova.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• A segunda lei de Newton é $F = \Delta p / \Delta t$ (taxa de variação do momento); $F = ma$ é o caso especial para massa constante.
• Identifique corretamente os pares da terceira lei: o mesmo tipo de força, atuando em dois corpos diferentes — não as forças equilibradas sobre um único corpo.
• O momento linear é conservado em toda colisão; a energia cinética é conservada apenas em uma colisão elástica.
• Para a velocidade terminal, explique que o arrasto aumenta com a velocidade até que o arrasto $=$ o peso, tornando a aceleração zero.

Erros comuns

• Escrever "as forças estão equilibradas" ou "as forças se cancelam". Diga "a força resultante sobre o objeto é zero".
• Somar ambas as velocidades em uma colisão frontal porque o momento é "total". Escolha uma direção positiva, atribua sinal negativo à velocidade oposta e depois some.
• Calcular a energia cinética a partir de um componente da velocidade. A energia cinética usa a velocidade total de cada corpo.
• Chamar o peso e a força normal de contato em um objeto de um par da terceira lei. Um par atua em dois objetos diferentes e é de um único tipo de força.
• Enunciar a conservação do momento sem a condição. Ela só vale quando nenhuma força externa resultante age sobre o sistema.