Cinemática

Essas cinco grandezas aparecem em quase toda questão de cinemática 运动学. Aprenda as palavras exatas — o examinador dá pontos por redação precisa.

• distância 距离 — o comprimento total do trajeto percorrido. Uma escalar 标量.
• deslocamento 位移 — a distância em linha reta do início ao fim, com uma direção. Uma vetorial 矢量.
• velocidade 速率 — a taxa de variação da distância com o tempo. Um escalar.
• velocidade vetorial 速度 — a taxa de variação do deslocamento com o tempo. Um vetorial.
• aceleração 加速度 — a taxa de variação da velocidade com o tempo. Um vetorial.

A unidade de velocidade e velocidade vetorial é $\text{m s}^{-1}$; a unidade de aceleração é $\text{m s}^{-2}$.

Mais duas expressões usadas pelo examinador: aceleração uniforme 匀加速 significa aceleração constante (uma linha reta em um gráfico velocidade-tempo), e a aceleração da queda livre 自由落体加速度 $g$ é a aceleração de um objeto caindo livremente em um campo gravitacional uniforme 匀强重力场 quando a resistência do ar é negligenciável 可忽略的 (pequena o suficiente para ser ignorada).

Um erro comum: desaceleração 减速度 significa apenas aceleração na direção oposta à velocidade. Não é uma grandeza separada.

As velocidades às vezes são dadas em $\text{km h}^{-1}$. Converta antes de calcular: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

Muitos pontos vêm de ler ou desenhar gráficos de movimento, os métodos gráficos 图像法 que o programa denomina. Dois gráficos importam.

Gráfico de deslocamento-tempo

A inclinação 斜率 (declive) de um gráfico de deslocamento-tempo em um ponto fornece a velocidade naquele momento.

• linha plana → o objeto está parado.
• linha reta inclinada → velocidade constante (inclinação = velocidade).
• linha curva → velocidade variável. Desenhe uma tangente 切线 no ponto e encontre sua inclinação.

Gráfico de velocidade-tempo

A inclinação de um gráfico velocidade-tempo fornece a aceleração naquele momento.

A área entre a linha e o eixo do tempo fornece o deslocamento nesse intervalo de tempo.

• linha plana → velocidade constante (aceleração zero).
• linha reta inclinada → aceleração uniforme (aceleração constante).
• linha curva → aceleração variável.
• área acima do eixo do tempo é deslocamento positivo; área abaixo é negativa (o objeto se moveu para trás).

Para encontrar o deslocamento, divida a área em triângulos e retângulos, ou conte os quadradinhos. A área de um triângulo é $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$; a área de um retângulo é $\text{base} \times \text{height}$.

Exemplo resolvido. O gráfico mostra a velocidade de um elevador. Encontre a aceleração em cada etapa e a distância total percorrida.

• Etapa A: inclinação $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• Etapa B: a linha é plana, então a aceleração é zero.
• Etapa C: inclinação $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (uma desaceleração de $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• Distância: triângulo A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, retângulo B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, triângulo C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$; total $27\ \text{m}$.

Quando o gráfico é uma curva, a área ainda é o deslocamento: conte os quadradinhos sob a curva (meio quadrado ou mais conta como um) e multiplique pelo valor de um quadrado.

Para movimento em linha reta com aceleração uniforme, usamos cinco símbolos: velocidade inicial $u$, velocidade final $v$, aceleração $a$, deslocamento $s$ e tempo $t$. Quatro equações os ligam:

Cada equação usa quatro dos cinco símbolos. Para escolher a correta: escreva o que você sabe e o que quer encontrar, depois escolha a equação com exatamente esses quatro.

Exemplo resolvido. Um carro acelera uniformemente de $8\ \text{m s}^{-1}$ para $20\ \text{m s}^{-1}$ sobre uma distância de $56\ \text{m}$. Encontre sua aceleração.

Sabemos $u$, $v$ e $s$ e queremos $a$, então use $v^{2} = u^{2} + 2as$:

De onde vêm as equações SUVAT

Você deve conseguir derivar essas equações a partir das definições de velocidade e aceleração. Pense no gráfico de velocidade-tempo do movimento: uma linha reta de $u$ em $t = 0$ até $v$ no tempo $t$.

• $v = u + at$: a aceleração é a inclinação, $a = (v - u)/t$, então $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: o deslocamento é a área sob a linha, um trapézio 梯形 com lados paralelos $u$ e $v$ e largura $t$, logo $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: substitua $v = u + at$ na área: $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: da primeira equação $t = (v - u)/a$; substitua isso em $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ para obter $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

Uma questão de "derivar" quer exatamente esses passos, cada um começando com uma definição ou uma equação já estabelecida, sem números.

Se uma pergunta pede "qual equação pode ser encontrada usando apenas a inclinação de um gráfico de velocidade-tempo?", a resposta é $v = u + at$ (a inclinação é a aceleração).

Questões do tipo "Mostre que". Quando a questão fornece a resposta ("mostre que a altura é 3.2 km"), as pontuações são para o método. Apresente a equação, substitua cada valor por sua unidade e forneça o resultado com uma casa decimal significativa a mais do que o valor citado ($3.24\ \text{km}$, que arredonda para $3.2\ \text{km}$). Alcançar o valor citado não prova nada por si só.

Escolhendo uma direção positiva

Escolha uma direção positiva no início e mantenha-a. Tudo apontando na direção oposta recebe sinal negativo. Para uma bola lançada reto para cima, se "cima" for positivo: $u$ é positivo, $a = -g$ (gravidade 重力 puxa para baixo), e no ponto mais alto o deslocamento é positivo mas a velocidade é zero.

Quando a resistência do ar 空气阻力 pode ser ignorada, um objeto em queda livre 自由落ite tem uma aceleração constante $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ para baixo. Isso é o mesmo para toda massa.

Para uma bola solta do repouso e caindo uma distância $h$:

Para uma bola lançada reto para cima com velocidade $u$:

• altura máxima: coloque $v = 0$ em $v^{2} = u^{2} - 2gh$, resultando em $h = u^{2}/(2g)$.
• tempo para atingir o topo: coloque $v = 0$ em $v = u - gt$, resultando em $t = u/g$.
• tempo total para voltar à altura inicial: $2u/g$ (o movimento é simétrico 对称).

Exemplo resolvido. Uma bola é lançada verticalmente para cima a $20\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a altura máxima atingida (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

No ponto mais alto $v = 0$, logo de $h = u^{2}/(2g)$:

Quando a resistência do ar não é desprezível

As equações acima assumem que a única força atuante é o peso. Com a resistência do ar, a força resultante sobre um objeto em queda é menor que seu peso, então a aceleração é menor que $g$; e como a resistência do ar aumenta com a velocidade, a aceleração continua diminuindo à medida que o objeto ganha velocidade. Em um gráfico de velocidade-tempo, a linha se curva, sua inclinação tendendo a zero à medida que o objeto se aproxima da velocidade terminal 收尾速度 (tópico 3). Para um projétil, a resistência do ar reduz o alcance e diminui a altura máxima, e a trajetória deixa de ser uma parábola simétrica 抛物线: o objeto desce mais abruptamente do que subiu. Uma questão do tipo "descreva e explique" pede primeiro a força, depois seu efeito na aceleração e, por fim, o efeito no movimento.

Experimento para encontrar $g$

Um método comum: soltar um objeto do repouso, medir a distância $h$ que ele cai e o tempo $t$ que leva. Então

Repita para várias alturas e plote $h$ contra $t^{2}$. A inclinação da melhor reta é $g/2$, logo $g$ é duas vezes a inclição. Repetir reduz o erro aleatório 随机误差. Um cronômetro eletrônico — usando portas de luz 光电门, ou um interruptor acionado pela bola — elimina erros de tempo de reação 反应时间.

Quando um objeto se move com velocidade constante em uma direção (digamos horizontal 水平) e ganha velocidade em uma direção perpendicular a ela (digamos vertical 竖直, sob gravidade), os dois movimentos não afetam um ao outro. Analise cada direção separadamente, usando sua própria equação SUVAT.

Lançamento horizontal

Um objeto lançado horizontalmente com velocidade $u_{\text{H}}$ a partir de uma altura $h$, ignorando a resistência do ar:

• horizontal: velocidade constante $u_{\text{H}}$. Após o tempo $t$, a distância horizontal é $x = u_{\text{H}} t$.
• vertical: parte do repouso e ganha velocidade para baixo a $g$. Após o tempo $t$, caiu $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ e possui velocidade vertical $v_{\text{V}} = g t$.

O tempo para atingir o solo depende apenas da altura $h$, não de $u_{\text{H}}$. Resolva $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ para $t$; então o alcance horizontal 射程 é $u_{\text{H}} t$.

Exemplo resolvido. Uma bola é lançada horizontalmente a $15\ \text{m s}^{-1}$ do topo de um penhasco de altura $20\ \text{m}$. Encontre o tempo para pousar e a distância do ponto de impacto em relação à base (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

O movimento vertical fornece o tempo: de $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

O movimento horizontal então fornece o alcance: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

O gráfico de velocidade horizontal é uma linha plana em $u_{\text{H}}$. O gráfico de velocidade vertical é uma linha reta partindo da origem com inclinação $g$.

Comparando dois objetos. Se o objeto A é deixado cair e o objeto B é lançado horizontalmente da mesma altura no mesmo instante, ambos atingem o solo ao mesmo tempo: seus movimentos verticais são idênticos. Se, em vez disso, B for lançado com componente ascendente, levará mais tempo, pois deve primeiro subir e retornar à altura inicial antes de cair a mesma distância. Sua velocidade ao aterrissar ainda é encontrada pela energia: a energia cinética ganha é igual à energia potencial perdida, independentemente da direção do lançamento, logo uma bola lançada em qualquer ângulo com a mesma velocidade a partir da mesma altura aterrissa com a mesma velocidade (tópico 5).

Projétil em ângulo

Um projétil 抛体 lançado com velocidade $u$ em um ângulo $\theta$ acima da horizontal:

• componente horizontal 分量 da velocidade inicial: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (permanece constante durante o voo).
• componente vertical da velocidade inicial: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (diminui, torna-se zero no topo e depois cresce para baixo).

No ponto mais alto, $v_{\text{V}} = 0$, mas $v_{\text{H}}$ ainda é $u\cos\theta$. O tempo até o topo é $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$; o tempo total de voo (voltando à altura inicial) é $2t_{\text{up}}$.

Esboçando os gráficos de velocidade. Os examinadores frequentemente pedem para esboçar $v_{\text{H}}$ e $v_{\text{V}}$ contra o tempo nos mesmos eixos, considerando a direção para cima como positiva. A componente horizontal é uma linha plana em $u\cos\theta$ durante todo o voo. A componente vertical é uma linha reta de inclinação $-g$: começa em $+u\sin\theta$, cruza zero no topo do voo e atinge $-u\sin\theta$ ao aterrissar na altura inicial. Rotule cada linha, marque os tempos onde as linhas começam e terminam, e posicione o cruzamento exatamente em $t_{\text{up}}$.

Exemplo resolvido. Uma bola sai do solo a $18\ \text{m s}^{-1}$ em $60°$ em relação à horizontal. Mostre que ela atinge a altura máxima em $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. No topo $v_{\text{V}} = 0$, logo de $v = u + at$ com $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

Bola quicando

Quando uma bola quica, seu gráfico de velocidade-tempo é um conjunto de linhas retas inclinadas (aceleração constante $g$) com uma mudança brusca em cada quiche (a velocidade inverte a direção e diminui se alguma energia 能量 for perdida). Some os tempos e as distâncias entre os quiches.

Leia esse gráfico com atenção: a inclinação de todas as linhas inclinadas é a mesma $g$; a bola está no ponto mais alto sempre que a linha cruza o eixo do tempo; e a altura de cada quiche vem da área do triângulo acima (ou abaixo) do eixo para aquele voo.

Quando dois objetos se movem ao longo da mesma linha de maneiras diferentes, escreva uma equação de deslocamento para cada um. Use o mesmo tempo inicial e a mesma direção positiva. Depois, iguale os dois deslocamentos (ou iguale a diferença deles a uma lacuna dada).

Para um trem de cargas com velocidade constante $u_{\text{G}}$ e um trem expresso partindo do repouso com aceleração $a$, ambos passando pelo mesmo ponto em $t = 0$:

Eles estão nivelados novamente quando $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$, resultando em $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. Desenhe um diagrama e marque a direção positiva.
2. Liste os símbolos SUVAT com seus valores conhecidos e desconhecidos, incluindo sinais.
3. Escolha a equação SUVAT que contenha exatamente os quatro símbolos que você tem, além do que deseja encontrar.
4. Para movimento de projéteis, separe em problemas SUVAT horizontais e verticais, ligados apenas pelo tempo $t$.
5. Sempre verifique as unidades da sua resposta e se o tamanho faz sentido.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Use as equações SUVAT apenas para aceleração constante; liste $s, u, v, a, t$ e escolha a equação que falta seu desconhecido.
• Escolha uma direção como positiva e mantenha os sinais consistentes (geralmente $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• Em um gráfico de velocidade-tempo, inclinação $=$ representa aceleração e área $=$ representa deslocamento.
• Para projéteis, trate os movimentos horizontal (velocidade constante) e vertical ($a = g$) separadamente, ligados pelo mesmo tempo.

Erros comuns

• Dizer que a bola mais pesada atinge o solo primeiro ou mais rápido, sem resistência do ar. Ambas caem com a mesma aceleração e aterrissam com a mesma velocidade.
• Calcular a inclição de um gráfico $v$–$t$ quando a questão pede a área, ou a área quando pede a inclição. Inclinação é aceleração; área é deslocamento.
• Desenhar uma curva em um gráfico $v$–$t$ para um corpo sob aceleração constante. Aceleração constante é uma linha reta; apenas o sinal de $v$ muda em um quiche.
• Usar $g = +9.81$ para uma bola lançada para cima com "para cima" como positivo. Uma vez que para cima é positivo, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ vale para todo o voo, inclusive na descida.
• Usar uma equação SUVAT quando a aceleração está mudando (resistência do ar, gráfico curvo). Nesse caso, apenas os métodos gráficos funcionam.