Capacitância

Um capacitor 电容器 armazena carga. O mais simples consiste em duas placas condutoras 导体 paralelas com um isolante 绝缘体 (um dielétrico 电介质, ou apenas vácuo 真空 / ar) entre elas. Conectado a uma bateria, carga $+Q$ acumula-se numa placa e $-Q$ na outra, com uma diferença de potencial 电势差 $V$ através da lacuna.

Como as placas se carregam. Conecte as placas a uma bateria e elétrons fluem, através da bateria, da placa ligada ao terminal 接线端 positivo para a placa ligada ao terminal negativo. Uma placa fica com carga $+Q$ e a outra ganha $-Q$: as cargas são sempre iguais e opostas, então o capacitor como um todo permanece neutro. O fluxo cessa quando a d.p. entre as placas iguala a f.e.m. da bateria. Nada atravessa a lacuna; o isolante é o que mantém as cargas separadas.

A capacitância 电容 $C$ de qualquer capacitor (ou qualquer condutor isolado) é

Isso se aplica a:

• uma esfera isolada segurando carga $Q$ em potencial $V$ (zero no infinito). Para raio $r$, $V = Q/(4\pi\varepsilon_{0}r)$, então $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$.
• um capacitor de placas paralelas: cargas $\pm Q$ nas placas, d.p. $V$ entre elas.

Unidade: farad 法拉 (F) $= \text{C V}^{-1}$. Um farad é enorme, então capacitores reais variam de $\text{pF}$ a $\text{mF}$.

A capacitância é constante para um dado capacitor (definido por seu tamanho e dielétrico). Dobrar a carga dobra a tensão, então $C = Q/V$ permanece o mesmo.

As definições de dois pontos. Para um capacitor de placas paralelas: a carga em uma placa por unidade de diferença de potencial entre as placas. Para uma esfera isolada (ou qualquer condutor isolado): a carga no condutor por unidade de potencial. O examinador busca "carga por unidade de d.p." (ou "por unidade de potencial") e, para as placas, que a carga seja a carga de uma placa e a d.p. seja aquela entre as placas. "A carga armazenada" é aceito; "a carga total em ambas as placas" não é, porque esse total é zero.

O que determina a capacitância. Para placas paralelas, a capacitância é proporcional à área das placas e inversamente proporcional à separação $x$ ($C \propto 1/x$: reduzir a lacuna pela metade dobra a capacitância), e aumenta quando um dielétrico substitui o ar. Uma questão que afirma "$C$ é inversamente proporcional a $x$" e depois afasta as placas a carga constante está pedindo por $V = Q/C \propto x$: a d.p. sobe proporcionalmente. A d.p. constante (ainda conectado à fonte), é a carga que cai em vez disso.

Exemplo resolvido. Um capacitor $100\ \mu\text{F}$ é carregado até $12\ \text{V}$. Encontre a carga armazenada.

Exemplo resolvido. Uma esfera metálica isolada de raio $15\ \text{cm}$ é carregada a um potencial de $9.0 \times 10^{3}\ \text{V}$. Encontre sua capacitância e sua carga. Ela então é descarregada para terra através de um resistor $120\ \text{M}\Omega$: encontre a constante de tempo da descarga.

A constante de tempo é $RC = (1.2 \times 10^{8})(1.67 \times 10^{-11}) = 2.0 \times 10^{-3}\ \text{s}$: mesmo através de uma resistência enorme, a esfera perde sua carga em milissegundos, pois sua capacitância é tão pequena. Note que $4\pi\varepsilon_{0} = 1/(8.99 \times 10^{9})$, então $C = r/(8.99 \times 10^{9})$ com $r$ em metros.

Combinando capacitores

Capacitores em paralelo compartilham a mesma d.p. $V$. A carga total é a soma:

Uma combinação em paralelo tem capacitância maior do que qualquer um dos capacitores.

Capacitores em série transportam a mesma carga $Q$. A d.p. total é a soma:

Uma combinação em série tem capacitância menor do que qualquer um dos capacitores.

Nota: essas regras são o oposto das dos resistores (resistores somam em série; capacitores somam em paralelo), porque $C = Q/V$ tem $V$ embaixo enquanto $R = V/I$ tem $I$ embaixo.

Derivando as duas regras

"Derive uma expressão para a capacitância combinada" é uma questão de mostre que, e a matriz de correção quer a física declarada, não apenas a álgebra.

• Série. Os capacitores transportam a mesma carga $Q$: a placa ligada ao terminal positivo perde elétrons para a placa distante do próximo capacitor, então cada placa na cadeia segura $\pm Q$. As d.ps somam: $V = V_{1} + V_{2}$. Com $V_{1} = Q/C_{1}$ e $V_{2} = Q/C_{2}$, e a combinação definida por $V = Q/C$, dividindo tudo por $Q$ resulta em $1/C = 1/C_{1} + 1/C_{2}$.
• Paralelo. Os capacitores têm a mesma d.p. $V$, porque cada um está conectado diretamente através da fonte. As cargas somam: $Q = Q_{1} + Q_{2} = C_{1}V + C_{2}V$, e $Q = CV$ para a combinação, então $C = C_{1} + C_{2}$.

Dois capacitores em série sempre resultam em menos do que o menor; dois capacitores iguais $C$ resultam em $C/2$ em série e $2C$ em paralelo.

Exemplo resolvido. Um capacitor $6.0\ \mu\text{F}$ está em série com um par em paralelo de $2.0\ \mu\text{F}$ e $4.0\ \mu\text{F}$. Encontre a capacitância total, e a carga em cada capacitor quando $12\ \text{V}$ é aplicado através da rede.

Par em paralelo: $2.0 + 4.0 = 6.0\ \mu\text{F}$. Em série com $6.0\ \mu\text{F}$: $1/C = 1/6.0 + 1/6.0$, então $C = 3.0\ \mu\text{F}$. Carga total $Q = CV = (3.0 \times 10^{-6})(12) = 3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$: esta é a carga no capacitor $6.0\ \mu\text{F}$ (série, mesma carga), e ela é compartilhada pelo par em paralelo na razão de suas capacitâncias (mesma d.p., $6.0\ \text{V}$ em cada): o capacitor $2.0\ \mu\text{F}$ segura $1.2 \times 10^{-5}\ \text{C}$ e o capacitor $4.0\ \mu\text{F}$ segura $2.4 \times 10^{-5}\ \text{C}$. Verifique: eles somam $3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$.

Exemplo resolvido. Capacitores X e Y, cada um com capacitância $C$, estão conectados em série através de uma fonte de tensão $V$; capacitores P e Q, cada um $C$, estão conectados em paralelo através de uma fonte idêntica. Compare a carga retirada de cada fonte e a energia armazenada em cada configuração.

Série: $C_{\text{s}} = C/2$, carga $Q_{\text{s}} = CV/2$, energia $\tfrac{1}{2} C_{\text{s}} V^{2} = CV^{2}/4$. Paralelo: $C_{\text{p}} = 2C$, carga $2CV$, energia $CV^{2}$. A configuração em paralelo retira quatro vezes a carga e armazena quatro vezes a energia, porque na mesma tensão da fonte a energia é $\tfrac{1}{2} C V^{2}$ e a capacitância é quatro vezes maior. Perguntado qual configuração armazena mais energia dada uma fonte, a resposta é sempre paralela.

Carregar um capacitor de $0$ até $Q$ exige trabalho, porque cada pedaço extra de carga é empurrado contra a d.p. já existente. Quando a carga é $q$, a d.p. é $V(q) = q/C$, então adicionar uma pequena carga $dq$ exige trabalho $V\,dq$. O trabalho total é

Usando $V = Q/C$, este é a energia 能量 armazenada:

Exemplo resolvido. Encontre a energia armazenada em um capacitor $100\ \mu\text{F}$ carregado até $12\ \text{V}$.

Exemplo resolvido. O gráfico de carga $Q$ contra d.p. $V$ para um capacitor é uma linha reta pela origem passando por $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Encontre a capacitância e a energia armazenada em $10\ \text{V}$, e então a energia extra armazenada quando a d.p. é elevada para $12\ \text{V}$.

O gradiente de $Q$ contra $V$ é $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$. Energia é a área sob a linha: $\tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Em $12\ \text{V}$: $\tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-4})(12)^{2} = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, então a energia extra é $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Não encontre a energia extra a partir da carga extra como $\tfrac{1}{2}(\Delta Q)V$: energia não é proporcional à carga, então subtraia as duas áreas.

Lendo o gráfico $Q$–$V$

Um gráfico de $V$ contra $Q$ é uma linha reta pela origem com gradiente $1/C$. A energia armazenada é a área sob a linha até uma dada carga $Q$, que é o triângulo $\tfrac{1}{2} Q V$. O fator $\tfrac{1}{2}$ está lá porque a d.p. média durante o carregamento é $V/2$ (ela cresce de zero até $V$), não $V$.

Por que o carregamento é "meia eficiente"

Conecte um capacitor $C$ a uma bateria ideal de f.e.m. $V$ através de um fio. O capacitor armazena $\tfrac{1}{2} C V^{2}$, mas a bateria fornece carga $Q = CV$ em f.e.m. $V$, emitindo $QV = CV^{2}$. A outra metade é perdida como calor no fio — independentemente da resistência do fio.

Compartilhamento de carga entre capacitores

Um capacitor X totalmente carregado (capacitância $C$, d.p. $V$, carga $Q = CV$) é desconectado de sua fonte e conectado sobre um capacitor Y não carregado de capacitância $3C$. A carga flui até que as duas d.p.s sejam iguais. Dois princípios definem tudo:

1. A carga é conservada. A carga total continua sendo $Q$, agora espalhada por um par paralelo de capacitância total $4C$, então a d.p. comum é $V' = Q/(4C) = V/4$. X mantém $Q/4$ e Y recebe $3Q/4$ (carga na razão das capacitâncias, já que a d.p. é a mesma).
2. A energia não é conservada. Antes: $\tfrac{1}{2} C V^{2}$. Depois: $\tfrac{1}{2}(4C)(V/4)^{2} = \tfrac{1}{8} C V^{2}$. Três quartos da energia se perderam: ela é dissipada 耗散 como calor nos fios de conexão (e como faísca ou radiação eletromagnética) enquanto a carga se move, por menor que seja a resistência.

Exemplo resolvido. Um capacitor $220\ \mu\text{F}$ carregado até $9.0\ \text{V}$ é conectado sobre um capacitor não carregado $440\ \mu\text{F}$. Encontre a d.p. final e a energia perdida.

$Q = CV = (220 \times 10^{-6})(9.0) = 1.98 \times 10^{-3}\ \text{C}$; capacitância total $660\ \mu\text{F}$, logo $V' = 1.98 \times 10^{-3}/(660 \times 10^{-6}) = 3.0\ \text{V}$. Energia antes: $\tfrac{1}{2}(220 \times 10^{-6})(9.0)^{2} = 8.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$; depois: $\tfrac{1}{2}(660 \times 10^{-6})(3.0)^{2} = 3.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$; perdida: $5.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$, dois terços da original. Um capacitor conectado a outro de capacitância $kC$ sempre perde a fração $k/(k+1)$.

Um capacitor $C$ carregado a $V_{0}$ é conectado através de uma chave a um resistor 电阻器 de resistência 电阻 $R$. Quando a chave fecha em $t = 0$, o capacitor descarrega.

Configurando a equação

Pela segunda lei de Kirchhoff 基尔霍夫第二定律 ao redor do laço, $V_{C} = V_{R}$. Usando $V_{C} = Q/C$, $V_{R} = IR$ e $I = -dQ/dt$:

Isso é resolvido por um decaimento exponencial 指数衰减 com constante de tempo $RC$.

Equações de descarga

Carga $Q$, d.p. $V$ e corrente $I$ decaem exponencialmente com a mesma constante de tempo:

com $I_{0} = V_{0}/R$.

Lendo os três gráficos. Todas as três curvas têm a mesma forma e a mesma constante de tempo, então uma medida de $\tau$ em qualquer uma delas dá $RC$. A corrente é maior no instante em que a chave fecha, $I_{0} = V_{0}/R$, porque toda a d.p. $V_{0}$ está sobre o resistor; ela cai conforme a d.p. cai. A área sob o gráfico $I$–$t$ é a carga que fluuiu, então a área total é $Q_{0} = CV_{0}$, e a carga que flui na primeira constante de tempo é $Q_{0}(1 - e^{-1}) = 0.63\,Q_{0}$. A inclinação do gráfico $Q$–$t$ é $-I$: mais íngreme no início, aplanando-se à medida que a corrente se extingue. (Durante o carregamento através de um resistor, a corrente tem a mesma forma decrescente, enquanto $V$ e $Q$ crescem conforme $V_{0}(1 - e^{-t/RC})$, a imagem espelhada da curva de descarga.)

Constante de tempo

é a constante de tempo 时间常数 (em segundos: $\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$). É o tempo necessário para que uma grandeza decrescente caia para $1/e \approx 0.37$ (cerca de 37%) do seu valor inicial. Após $2\tau$, está em cerca de 13.5%; após $5\tau$, abaixo de 1%.

Exemplo resolvido. Um capacitor $100\ \mu\text{F}$ carregado até $12\ \text{V}$ é descarregado através de um resistor $47\ \text{k}\Omega$. Encontre a constante de tempo e a tensão após uma constante de tempo.

Após uma constante de tempo, a tensão cai para $1/e$ de seu início: $V = 12 \times 0.37 \approx 4.4\ \text{V}$.

Exemplo resolvido. Um capacitor $470\ \mu\text{F}$ é carregado até $24\ \text{V}$ e depois descarregado através de um resistor $5.6\ \text{k}\Omega$. Encontre (a) a carga e energia iniciais, (b) a constante de tempo e a corrente inicial, (c) a d.p. após $4.0\ \text{s}$, (d) o tempo para a d.p. cair para $6.0\ \text{V}$.

(a) $Q_{0} = CV_{0} = (470 \times 10^{-6})(24) = 1.1 \times 10^{-2}\ \text{C}$; $W = \tfrac{1}{2}CV_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}(470 \times 10^{-6})(24)^{2} = 0.135\ \text{J}$. (b) $\tau = RC = (5.6 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$; $I_{0} = V_{0}/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$. (c) $V = V_{0} e^{-t/RC} = 24\, e^{-4.0/2.63} = 24 \times 0.219 = 5.3\ \text{V}$. (d) Reorganize com logaritmos: $t = -RC \ln(V/V_{0}) = -2.63 \ln(6.0/24) = 2.63 \times 1.386 = 3.6\ \text{s}$.

Mantenha a constante de tempo sem arredondar ($2.632\ \text{s}$) dentro do cálculo e arredonde apenas as respostas. A reorganização em (d) é a mais frequentemente pedida e mais frequentemente errada: $\ln(V/V_{0})$ é negativo, então $t$ sai positivo.

Exemplo resolvido. De um gráfico de descarga, a d.p. sobre um capacitor $2200\ \mu\text{F}$ cai de $6.0\ \text{V}$ para $2.2\ \text{V}$ em $4.5\ \text{s}$. Encontre a resistência do resistor.

$2.2/6.0 = 0.367 \approx 1/e$, logo $4.5\ \text{s}$ é uma constante de tempo: $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{3}\ \Omega$. Se a queda não for até $1/e$, use $RC = -t/\ln(V/V_{0})$; a resposta é a mesma de qualquer jeito.

Para encontrar $\tau$ a partir de uma curva: leia o tempo para cair para $1/e$ do início. Ou tire logs: $\ln(V/V_{0}) = -t/(RC)$, então um gráfico de $\ln V$ contra $t$ é uma linha reta com inclinação $-1/(RC)$.

Usando o gráfico logarítmico. Em um experimento, plotar $\ln V$ (ou $\ln I$) no eixo $y$ contra $t$. Os pontos devem ficar em uma linha reta: sua inclinação é $-1/(RC)$, logo $RC = -1/\text{gradient}$, e seu intercepto 截距 no eixo $\ln V$ é $\ln V_{0}$. Uma linha reta é o teste de que o decaimento realmente é exponencial; uma curva significa que não é. Tire a inclinação de dois pontos distantes na linha de melhor ajuste, não de dois pontos de dados, e cite $RC$ em segundos.

Lendo gráficos durante a descarga

• $Q$ contra $V_{C}$: já que $Q = C V$ sempre, esta é uma linha reta pela origem com inclinação $C$. A descarga move o ponto de $(V_{0}, Q_{0})$ para baixo até $(0,0)$.
• $I$ contra $V_{C}$: já que $I = V_{C}/R$, esta é uma linha reta pela origem com inclinação $1/R$, assim você pode encontrar $R$.

Perguntas comuns de exame

Dada uma curva de descarga $V(t)$ ou $Q(t)$:

• leia o valor inicial $V_{0}$ ou $Q_{0}$ em $t = 0$.
• leia o tempo para cair para $V_{0}/e$ → constante de tempo $\tau = RC$.
• dado $R$, encontre $C = \tau / R$ (ou o contrário).
• preveja um valor posterior com a fórmula exponencial.

Um capacitor como componente suavizador

Um retificador 整流器 (Tópico 21) transforma uma tensão alternada em uma série de elevamentos positivos. Um capacitor conectado sobre a carga suaviza esses elevamentos. Perto de cada pico 峰值 os diodos conduzem e o capacitor carrega até a tensão de pico; à medida que a tensão da fonte diminui, os diodos param de conduzir e o capacitor descarga através do resistor de carga, mantendo a saída alta até que o próximo elevamento suba acima dele e recarregue o capacitor. Portanto, a saída apenas cai um pouco entre os picos; o aumento e a queda restantes são a ondulação 纹波.

O quanto ela cai depende da constante de tempo da descarga, $RC$, comparada com o tempo entre os picos. Uma capacitância maior, ou uma resistência de carga maior (uma corrente de carga menor), dá um $RC$ maior, um decaimento mais lento e uma ondulação menor; uma fonte pesadamente carregada (pequeno $R$) tem uma ondulação maior. Pedido para esboçar a saída suavizada, desenhe-a tocando cada pico, decaindo ligeiramente entre eles, e nunca caindo para zero.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• $C = Q/V$ define capacitância; para uma esfera isolada $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$. Energia armazenada $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = Q^{2}/2C$: escolha a forma que usa o que você sabe, e lembre-se que a energia não é proporcional à carga.
• Combine capacitores da forma oposta aos resistores (paralelo soma, série recíproco), e reduza uma rede um passo de cada vez.
• Compartilhamento de carga: carga é conservada, energia não é. Encontre a d.p. comum a partir da carga total e da capacitância total primeiro, depois as energias.
• Descarga: $x = x_{0} e^{-t/RC}$ para $Q$, $V$ e $I$ igualmente; $t = -RC \ln(x/x_{0})$; $\tau = RC$ está em segundos ($\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$) e é o tempo para cair para $37\%$, não para zero.
• Gráficos: a corrente inicial é $V_{0}/R$; a área sob $I$–$t$ é carga; a inclinação de $Q$–$t$ é $-I$; $\ln V$ contra $t$ é uma linha reta de inclinação $-1/(RC)$ e intercepto $\ln V_{0}$.
• Convert $\mu\text{F}$ e $\text{k}\Omega$ antes de multiplicar: $\text{k}\Omega \times \mu\text{F}$ dá milissegundos, não segundos.

Erros comuns

• Definir capacitância como "carga armazenada" ou "carga em ambas as placas". É a carga em uma placa por unidade de d.p. entre as placas.
• Adicionar capacitores em série como se fossem resistores, ou esquecer de inverter a soma dos recíprocos no final.
• Após o compartilhamento de carga, usar a tensão da fonte em $\tfrac{1}{2}CV^{2}$ em vez da nova d.p. comum, ou afirmar que a energia é conservada.
• Desenhar a corrente de descarga começando do zero. Ela começa no seu maior valor, $V_{0}/R$.
• Tratar $\tau$ como o tempo para descarga completa; após $5\tau$ ainda permanece aproximadamente $1\%$.
• Remover o sinal negativo em $t = -RC \ln(V/V_{0})$ e relatar um tempo negativo.
• Encontrar a energia extra ao aumentar a d.p. usando apenas a carga extra: subtrair duas áreas (ou dois valores de $\tfrac{1}{2}CV^{2}$).
• Esboçar uma saída suavizada que cai para zero entre os picos, ou dizer que uma resistência de carga maior produz uma ondulação maior.