Campos gravitacionais

Definição

Um campo gravitacional 重力场 é uma região onde uma massa 质量 sente uma força 力 proveniente de outras massas. A intensidade do campo gravitacional 重力场强度 $g$ em um ponto é a força gravitacional por unidade de massa sobre uma pequena massa de teste 检验 mass colocada ali:

Unidade: $\text{N kg}^{-1}$ (a mesma que $\text{m s}^{-2}$ — a aceleração da queda livre no campo). $g$ é um vetor 矢量, apontando na direção da força — em direção à massa fonte.

A redação do examinador. Um campo gravitacional é uma região do espaço em que uma massa experimenta uma força. Intensidade do campo gravitacional em um ponto é a força gravitacional por unidade de massa atuando sobre uma pequena massa de teste colocada naquele ponto. A direção de uma linha de campo em um ponto é a direção da força sobre uma (pequena) massa de teste colocada ali. As três são definições de uma marca; "força por unidade de massa" é a expressão que pontua, "a força sobre 1 kg" não pontua.

Linhas de campo

Um campo gravitacional é representado com linhas de campo 场线 que indicam a direção da força sobre uma massa de teste:

• ao redor de uma massa pontual 质点 ou de uma esfera uniforme (tratada como massa pontual de fora), as linhas de campo são radiais 径向, apontando para dentro.
• perto da superfície da Terra sobre uma área pequena, as linhas de campo são quase paralelas e igualmente espaçadas, apontando reto para baixo — um campo uniforme 匀强场.

Linhas mais próximas significam um campo mais forte.

Por que $g$ é constante perto da superfície, em termos de linhas de campo (uma explicação de duas marcas): sobre uma região cujo tamanho é pequeno comparado ao raio da Terra, as linhas de campo radial são quase paralelas e seu espaçamento mal muda com a altitude, então a intensidade do campo — que o espaçamento representa — é quase a mesma no topo da região quanto na base. Sobre todo o planeta, as linhas se espalham com a distância e o campo diminui.

Exemplo resolvido. Um ponto P representa uma massa pontual. Desenhe linhas para representar o campo gravitacional ao redor de P e declare o que a direção de uma linha mostra.

Linhas radiais retas, igualmente espaçadas ao redor de P, com setas apontando para dentro em direção a P. A direção de uma linha é a direção da força sobre uma pequena massa de teste colocada ali — sempre em direção à massa que produz o campo, pois a gravidade só atrai.

Para duas massas pontuais $m_{1}, m_{2}$ separadas por uma distância $r$, a força sobre cada uma é

puxando-as juntas ao longo da linha que as une. Esta é a Lei da Gravitação de Newton 万有引力定律. A constante $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ é a constante universal da gravitação 万有引力常量.

Em palavras, conforme o gabarito deseja: a força gravitacional entre duas massas pontuais é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado de sua separação — ambas as proporções, e "massas pontuais". Se pedirem para "enunciar a equação e o significado de quaisquer outros símbolos", dê $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ com $G$ sendo a constante gravitacional e $r$ a distância entre os centros.

Exemplo resolvido. Duas esferas uniformes isoladas, cada uma com massa $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$, têm seus centros separados por $2.0\ \text{m}$. Encontre a força gravitacional entre elas e comente sobre sua magnitude.

$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$. Isso é cerca de $10^{-9}$ do peso de cada esfera ($9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$): a gravidade entre objetos cotidianos é desprezível, e apenas uma massa do tamanho de um planeta produz um campo perceptível. "Isolado" em uma questão significa que outras massas não precisam ser consideradas.

Esferas tratadas como massas pontuais

Para uma esfera uniforme (como um planeta ou estrela), o campo em qualquer ponto externo é o mesmo que o de uma massa pontual igual à massa total no centro. Portanto, de acima da superfície, você pode tratar a Terra como uma massa pontual em seu centro. (Pontos internos a uma esfera são diferentes e não estão no programa escolar.)

Entre duas massas, os campos subtraem e os potenciais somam. A intensidade do campo é um vetor: na linha que une duas esferas, os dois campos apontam em direções opostas, existindo um ponto onde se cancelam e o campo resultante é zero. O potencial é um escalar: os dois potenciais simplesmente se somam, ambos são negativos, logo o potencial é menos negativo (um máximo) no ponto onde o campo é zero.

Exemplo resolvido. Duas esferas uniformes isoladas idênticas X e Y, cada uma com massa $M$ e raio $R$, têm seus centros separados por uma distância $L$. O ponto P está sobre a linha que une os centros. Indique onde na linha a intensidade do campo resultante é zero e encontre o potencial gravitacional nesse local.

Por simetria, os campos de X e Y são iguais e opostos no ponto médio, $L/2$ de cada centro, portanto o campo resultante é zero ali. O potencial em P é a soma $\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$. Uma massa liberada em P permaneceria lá; uma massa liberada em qualquer outro lugar na linha cai em direção à esfera mais próxima.

Intensidade do campo de uma massa pontual

Coloque a força gravitacional sobre uma massa de teste $m$ a uma distância $r$ de uma massa pontual $M$ em $g = F/m$:

Assim $g$ diminui como $1/r^{2}$ à medida que se afasta da fonte.

A dedução de dois pontos. A força sobre uma massa de prova $m$ a uma distância $r$ de uma massa pontual $M$ é $F = GMm/r^{2}$ (Lei de Newton). A intensidade do campo é força por unidade de massa, $g = F/m$, logo $g = GM/r^{2}$. Escreva ambas as linhas: a lei e a definição valem dois pontos. Como $g \propto 1/r^{2}$, dobrar a distância torna o campo quatro vezes mais forte: a uma distância $x/2$, o campo é $4g$, na mesma direção, apontando para $M$.

Exemplo resolvido. Encontre a intensidade do campo gravitacional na superfície da Terra. (Massa da Terra $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, raio $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

Por que $g$ é quase constante perto da superfície da Terra

O raio da Terra é $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Subir para uma altura $h$ muda a distância do centro de $R$ para $R + h$. Para $h \ll R$ (qualquer edifício ou montanha), $(R + h)/R \approx 1$, portanto $g$ muda pouco — ir de $5\ \text{m}$ a $10\ \text{m}$ de altura muda $r$ em cerca de uma parte por milhão. No laboratório, $g$ é efetivamente constante.

Para um satélite 卫星 de massa $m$ em uma órbita 轨道 circular de raio $r$ em torno de um corpo de massa $M$, a gravidade fornece a força centrípeta 向心力:

Cancele $m$ (a velocidade orbital não depende da massa do satélite):

Exemplo resolvido. Um satélite orbita a Terra em uma órbita circular de raio $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Encontre sua velocidade orbital. (Para a Terra, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$.)

O período 周期 segue-se de $T = 2\pi r / v$:

Esta é a Terceira Lei de Kepler 开普勒第三定律 para órbitas circulares: $T^{2} \propto r^{3}$. Um gráfico de $T^{2}$ contra $r^{3}$ é uma reta que passa pela origem com inclinação $4\pi^{2}/(GM)$, assim dados orbitais fornecem a massa central.

A derivação de dois pontos, conforme o exame a estabelece. Para um satélite de massa $m$ em uma órbita circular de raio $R$ e período $T$ ao redor de um planeta de massa $M$: a força gravitacional fornece a força centrípeta, $\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$, e $\omega = 2\pi/T$; portanto $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$, resultando em $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$. Para uma órbita a uma altura $h$ acima de um planeta de raio $R_{\text{p}}$, o raio orbital é $R_{\text{p}} + h$, portanto $T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$: um gráfico de $T^{2}$ contra $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ é uma linha reta passando pela origem cujo gradiente dá $M$.

Exemplo resolvido. O satélite X, de massa $M_{\text{s}}$, orbita um planeta a uma distância $4R$ de seu centro; o satélite Y, de massa $2M_{\text{s}}$, orbita a $3R$. Compare suas velocidades, períodos e energias cinéticas.

De $v = \sqrt{GM/r}$, $\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$: Y se move mais rápido, e as massas dos satélites não entram nos cálculos. De $T \propto r^{3/2}$, $\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$. Energia cinética $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, logo $\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$. Em questões de razão, cancele $G$, $M$ e a massa do satélite primeiro; apenas os raios e massas que diferem permanecem.

Estrelas binárias. Duas estrelas de massas $M_{\text{A}}$ e $M_{\text{B}}$ separadas por uma distância $d$ orbitam seu centro de massa 质comum, sempre em lados opostos dele, com o mesmo período. O centro de massa divide $d$ na razão inversa das massas, $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ com $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$, e a mesma força gravitacional $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ é a força centrípeta de cada estrela.

Exemplo resolvido. Uma estrela binária consiste na estrela A, massa $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, e na estrela B, massa $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, com centros separados por $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$. Encontre a distância de A do centro de massa e o período da órbita.

$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ com $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ resulta em $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ (e $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$). Para a estrela A: $\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$, logo $\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$, $\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ e $T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$, cerca de $1.9$ anos. Usar $d$ na força mas $r_{\text{A}}$ no termo centrípeto é a essência da questão.

Órbita geoestacionária

Um satélite geoestacionário 地球同步:

• permanece diretamente acima do mesmo ponto da Terra (assim uma antena fixa sempre aponta para ele),
• tem um período de 24 horas (o mesmo que a rotação da Terra),
• orbita de oeste para leste (na mesma direção em que a Terra gira),
• deve estar diretamente acima do equador 赤道.

Ele deve ter a mesma velocidade angular 角速度 que a Terra, na mesma direção, no plano equatorial (caso contrário, derivaria norte-sul durante o dia). De $T = 24\ \text{h}$ e $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$, o raio é $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ (cerca de $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ acima da superfície).

Exemplo resolvido. Calcule o raio de uma órbita geoestacionária ao redor da Terra ($M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$) e explique por que um satélite com o mesmo raio e período orbital pode ainda não ser geoestacionário.

$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$, logo $r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — uma altura de cerca de $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ acima da superfície. Um satélite com esse período é geoestacionário apenas se sua órbita estiver no plano do equador e ele viaja de oeste para leste; com o mesmo período em uma órbita inclinada (sobre os polos, por exemplo), ele retorna ao mesmo ponto todos os dias, mas não fica sempre acima dele. Marte gira uma vez a cada aproximadamente $25$ horas, então um satélite que fique acima de um ponto em Marte tem um período de $25$-horas e as mesmas outras duas características.

Potencial gravitacional 引力势 $\phi$ em um ponto é o trabalho realizado por unidade de massa para trazer uma pequena massa de prova do infinito 无穷远 até esse ponto:

Unidade: $\text{J kg}^{-1}$.

O potencial é considerado zero no infinito. À medida que a massa de prova cai em direção à fonte, a gravidade realiza o trabalho por você, então $\phi$ é negativo em todos os lugares exceto no infinito. Para uma massa pontual $M$ a uma distância $r$:

$\phi$ é uma escalar 标量. Para várias massas, some os potenciais.

A definição de dois pontos e por que é negativo. O potencial gravitacional em um ponto é o trabalho realizado por unidade de massa para trazer uma pequena massa de prova do infinito até o ponto. O potencial é definido como zero no infinito; a gravidade é atrativa, então à medida que a massa de prova vem do infinito, o campo realiza trabalho sobre ela e a massa libera energia — o trabalho que um agente externo deve realizar é negativo. Portanto, o potencial em qualquer distância finita está abaixo de zero. (O potencial elétrico perto de uma carga positiva é positivo por motivo oposto: aquele campo repele, então trabalho deve ser feito para aproximar uma carga de prova positiva.)

Semelhanças e diferenças com o potencial elétrico. Ambos são definidos como trabalho realizado por unidade de massa ou por unidade de carga positiva vindos do infinito, ambos são escalares, ambos variam como $1/r$ de uma fonte pontual e ambos são zero no infinito. A diferença: o potencial gravitacional é sempre negativo, porque a gravidade só atrai, enquanto o potencial elétrico pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal da carga.

Lendo um gráfico de potencial. Dois gráficos aparecem nas questões. Em $\phi$ contra $r$ a curva é $-GM/r$: o valor superficial $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ dá a massa do planeta, e o gradiente em qualquer ponto dá a intensidade do campo ali, já que $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ — a intensidade do campo é o negativo do gradiente de potencial (esta é a "relação entre potencial e intensidade do campo" que uma questão pode pedir). Em $\phi$ contra $1/r$ o gráfico é uma linha reta passando pela origem com gradiente $-GM$, que é a maneira mais elegante de extrair $M$.

Exemplo resolvido. A Lua é uma esfera isolada e uniforme de massa $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ e raio $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$. Calcule o potencial gravitacional em sua superfície e a velocidade mínima com que uma partícula deve sair da superfície para escapar.

$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$. Para escapar, a energia cinética por unidade de massa da partícula deve ser igual à profundidade do poço de potencial: $\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$, logo $v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. O sinal negativo carrega o significado: energia de $2.9\ \text{MJ}$ por quilograma deve ser fornecida para levantar a partícula para fora.

Energia potencial gravitacional de duas massas pontuais

Se uma massa de prova $m$ está localizada onde o potencial é $\phi$, a energia potencial gravitacional 重力势能 do par é

Como o potencial, $E_{\text{P}}$ é negativo e atinge zero apenas em separação infinita. Massas mais próximas têm energia potencial mais negativa (mais fortemente ligadas).

Ligação com $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$

Para pequenas variações de altura próximas à superfície, $r$ pouco se altera, logo $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$. Para grandes variações (um satélite movendo-se para uma órbita mais alta), use $-GMm/r$ em cada raio e calcule a diferença:

o que é positivo (energia deve ser fornecida para elevar o satélite).

Exemplo resolvido. Um satélite de massa $1200\ \text{kg}$ é movido de uma órbita circular de raio $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ para outra de raio $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ ao redor da Terra ($GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$). Encontre as variações em sua energia potencial gravitacional, energia cinética e energia total.

$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. Em uma órbita circular $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, logo $\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$: o satélite mais alto move-se mais lentamente. A energia total $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ aumenta em $+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$, que é a energia que o motor do foguete deve fornecer. A energia total de um satélite é negativa — ele está ligado — e torna-se menos negativa à medida que a órbita se alarga.

Velocidade de escape (por conservação de energia)

Para escapar do raio $r$ até o infinito, a energia cinética 动能 de um objeto deve ser igual ao módulo de sua energia potencial gravitacional:

Na superfície da Terra, a velocidade de escape 逃逸速度 é $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$. Ela não depende da massa do objeto.

Exemplo resolvido. Calcule a velocidade de escape da superfície da Terra. (Para a Terra, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$, $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$.)

Exemplo resolvido. Uma partícula é projetada verticalmente para cima a partir da superfície de um planeta isolado de raio $R$, onde o potencial gravitacional é $\phi_{\text{s}}$. Mostre que ela atinge exatamente uma distância $r$ do centro se sua velocidade de lançamento $v$ satisfaz $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, e deduza a velocidade de escape.

O potencial varia conforme $1/r$, logo a uma distância $r$ ele é $\phi_{\text{s}}R/r$. Quando a partícula para, sua energia cinética por unidade de massa tornou-se toda energia potencial por unidade de massa: $\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, que é positiva porque $\phi_{\text{s}}$ é negativo. Fazendo $r \to \infty$ obtemos $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ — novamente o resultado da velocidade de escape, agora lido diretamente no potencial.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Lei da gravitação universal de Newton $F = GMm/r^2$ (quadrado inverso); intensidade do campo $g = GM/r^2$ — e cite a derivação em duas linhas, a lei e a definição de $g$.
• Distinguir potencial gravitacional ($\phi = -GM/r$, sempre negativo, zero no infinito) da intensidade do campo; $g$ é o gradiente negativo do gráfico de $\phi$–$r$.
• Para um conjunto orbital de gravidade $=$ força centrípeta para obter $T^2 \propto r^3$; uma órbita geoestacionária possui $T = 24\ \text{h}$ mais duas características: acima do equador, de oeste para leste.
• Use o raio orbital (centro a centro, $R_{\text{p}} + h$), nunca a altura, e para uma estrela binária a separação $d$ na força, mas o raio orbital $r_{\text{A}}$ no termo centrípeto.
• As variações de energia vêm de $-GMm/r$ em cada raio; para uma órbita circular $E_{\text{K}} = GMm/2r$ e a energia total é $-GMm/2r$.

Erros comuns

• Definir potencial como "força por unidade de massa" ou intensidade de campo como "trabalho realizado por unidade de massa". Troque-os e perde-se as duas marcas.
• Dizer que o potencial é negativo "porque a gravidade atrai" e parar aí. A marca exige o argumento do trabalho: zero no infinito, e o campo realiza o trabalho à medida que a massa entra.
• Usar a altura acima da superfície como $r$ em $GM/r^{2}$ ou $T^{2} \propto r^{3}$. Adicione o raio do planeta primeiro.
• Escrever a lei de Kepler como $T \propto r$ ou $T^{2} \propto r^{2}$. É $T^{2} \propto r^{3}$: uma linha reta apenas em $T^{2}$ contra $r^{3}$.
• Fazer com que "geoestacionário" signifique apenas "período de 24 horas". Sem o plano equatorial e a direção de oeste para leste, não é geoestacionário.
• Esquecer que a energia cinética de um satélite diminui quando é elevado para uma órbita mais alta, embora energia tenha sido fornecida.