Correntes alternadas

Uma corrente alternada 交流电 (c.a.) continua invertendo de direção. O fornecimento residencial é c.a. senoidal: $I$ ou $V$ segue uma onda senoidal no tempo:

(Para uma carga puramente resistiva a tensão 电压 e a corrente 电流 estão em fase, que é o caso neste programa de estudos.)

Termos-chave

• período 周期 $T$ — o tempo para um ciclo completo. Unidade: s.
• frequência 频率 $f$ — ciclos por segundo; $f = 1/T$. A rede costuma ser $50\ \text{Hz}$ ou $60\ \text{Hz}$.
• frequência angular 角频率 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$.
• valor de pico 峰值 $I_{0}$ ou $V_{0}$ — o maior valor em um ciclo (também chamado de amplitude).
• valor de pico a pico 峰峰值 $2 I_{0}$ — de $+I_{0}$ a $-I_{0}$. Útil ao ler um osciloscópio.

As definições de duas marcas. A frequência de uma corrente alternada é o número de ciclos completos por unidade de tempo (digamos "por segundo" ou "por unidade de tempo", e "ciclos completos" ou "oscilações"). O período é o tempo para um ciclo completo, e o valor de pico é o valor máximo da corrente ou tensão durante um ciclo. Note que o valor médio de uma corrente senoidal sobre um ciclo é zero, que é exatamente por isso que o valor eficaz é necessário para descrevê-la.

Lendo a equação. Em $V = V_{0} \sin(\omega t)$ o número à frente é o valor de pico e o número multiplicando $t$ é $\omega = 2\pi f$; o ângulo $\omega t$ está em radianos 弧度, logo configure a calculadora em radianos antes de avaliar. Um fornecimento escrito com $\cos$ em vez de $\sin$ é a mesma onda começando em seu pico em vez de em zero.

Exemplo resolvido. A saída de um fornecimento é $V = 320 \sin(100\pi t)$ (volts, segundos). Encontre o valor de pico, a frequência, o período e o valor eficaz, e o primeiro momento após $t = 0$ em que $V = 160\ \text{V}$.

Pico $V_{0} = 320\ \text{V}$. $\omega = 100\pi\ \text{rad s}^{-1}$, logo $f = \omega/2\pi = 50\ \text{Hz}$ e $T = 1/f = 0.020\ \text{s}$. $V_{\text{r.m.s.}} = 320/\sqrt{2} = 226\ \text{V}$. Para $V = 160\ \text{V}$: $\sin(100\pi t) = 0.5$, logo $100\pi t = \pi/6$ e $t = 1/600 = 1.7 \times 10^{-3}\ \text{s}$. (Para $V = 18\cos(40\pi t)$ a mesma leitura dá $V_{0} = 18\ \text{V}$, $f = 20\ \text{Hz}$, $T = 50\ \text{ms}$, e um esboço que começa em $+18\ \text{V}$.)

Lendo um traço de CRO

Igual ao de qualquer onda (Tópico 7), usando um osciloscópio de raios catódicos 示波器:

• divisões horizontais × base de tempo 时基 → período $T$, logo $f = 1/T$.
• divisões verticais × ganho-$y$ → tensão de pico $V_{0}$ (meça do centro ao pico, ou do pico ao pico e divida ao meio).

Para uma carga resistiva $R$, a potência 功率 instantânea é $P(t) = I(t)^{2} R$. Com $I = I_{0}\sin(\omega t)$:

Isso é sempre positivo, com pico $I_{0}^{2} R$ e mínimo zero, oscilando em duas vezes a frequência de $I$. A média de $\sin^{2}(\omega t)$ sobre um ciclo é $\tfrac{1}{2}$, logo a potência média é

A potência c.a. média em um resistor é metade da potência de pico.

"Mostre por cálculo que a potência média é metade da potência de pico." Uma fonte com valor de pico $12\ \text{V}$ alimenta um resistor $680\ \Omega$. Potência de pico: $P_{0} = V_{0}^{2}/R = 12^{2}/680 = 0.212\ \text{W}$, a potência instantânea no momento em que a tensão está em seu pico. Potência média: use o valor eficaz (r.m.s.), $V_{\text{r.m.s.}} = 12/\sqrt{2} = 8.49\ \text{V}$, então $\langle P \rangle = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 8.49^{2}/680 = 0.106\ \text{W}$, exatamente metade. Os dois cálculos devem ser mostrados separadamente; escrever "$\tfrac{1}{2}$ de $0.212$" não pontua, porque isso é justamente o que se deve demonstrar. O $\tfrac{1}{2}$ é $(1/\sqrt{2})^{2}$: elevar ao quadrado o fator r.m.s.

A corrente r.m.s. $I_{\text{r.m.s.}}$ é a corrente contínua constante que daria a mesma potência média na mesma resistência 电阻 $R$. De $\langle P \rangle = I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$:

Exemplo resolvido. Uma fonte c.a. tem uma tensão de pico de $12\ \text{V}$. Encontre sua tensão r.m.s.

O $\sqrt{2}$ vem do nome raiz-média-quadrática 均方根: $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle I^{2} \rangle}$ e $\langle \sin^{2}\rangle = \tfrac{1}{2}$. (Apenas o caso sinusoidal é necessário.)

A definição de duas marcas. O valor r.m.s. de uma corrente alternada é o valor da corrente direta (constante) que dissiparia a mesma (média) potência no mesmo resistor. "Por referência ao efeito térmico" significa exatamente esta frase: mesmo resistor, mesma potência (ou mesmo aquecimento), corrente direta. Uma definição que diz apenas "$I_{0}/\sqrt{2}$" pontua nada, porque essa fórmula é verdadeira apenas para uma onda senoidal.

Exemplo resolvido (não sinusoidal). Uma corrente através de um resistor é $+2.0\ \text{A}$ para a primeira metade de cada ciclo e $-1.0\ \text{A}$ para a segunda metade, uma onda quadrada 方波. Encontre seu valor r.m.s. e a potência média em um resistor $10\ \Omega$.

Eleve a corrente ao quadrado: $4.0\ \text{A}^{2}$ pela metade do tempo e $1.0\ \text{A}^{2}$ pela outra metade, então a média quadrática é $(4.0 + 1.0)/2 = 2.5\ \text{A}^{2}$ e $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.5} = 1.6\ \text{A}$. Potência média $= I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = 2.5 \times 10 = 25\ \text{W}$. O sinal da corrente não importa para o aquecimento (ele é elevado ao quadrado), e $I_{0}/\sqrt{2}$ teria dado a resposta errada, $1.4\ \text{A}$: esse atalho é apenas para ondas senoidais.

Por que os valores eficazes importam

Os valores de c.a. citados são valores eficazes.$230\ \text{V}$ "rede" significa $V_{\text{r.m.s.}} = 230\ \text{V}$, com pico de $V_{0} = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$. Os componentes devem ser dimensionados para o valor de pico, não para o eficaz. A potência média assume então a forma d.c.:

Exemplo resolvido. Um aquecedor de resistência $50\ \Omega$ é conectado à rede r.m.s. $230\ \text{V}$. Encontre a corrente r.m.s. e a potência média dissipada.

Exemplo resolvido. Uma fonte sinusoidal de valor r.m.s. $4.2\ \text{V}$ e frequência $50\ \text{kHz}$ é conectada através de um resistor $150\ \Omega$. Encontre a corrente de pico, a potência média, e escreva uma equação para a corrente.

$V_{0} = 4.2\sqrt{2} = 5.9\ \text{V}$, então $I_{0} = V_{0}/R = 5.9/150 = 0.040\ \text{A}$ (ou $I_{\text{r.m.s.}} = 4.2/150 = 0.028\ \text{A}$ e então $\times\sqrt{2}$). Potência média $= V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 4.2^{2}/150 = 0.12\ \text{W}$. Com $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5.0 \times 10^{4} = 3.1 \times 10^{5}\ \text{rad s}^{-1}$: $I = 0.040 \sin(3.1 \times 10^{5} t)$ (amps, segundos). Mantenha as duas famílias separadas: valores de pico vão na equação e nas classificações dos componentes; valores r.m.s. vão na potência.

Retificação 整流 converte uma tensão alternada em uma tensão de sentido único (semelhante a c.c.), usando diodos 二极管 (que conduzem em apenas uma direção).

"Afirme o que se entende por retificação." A conversão de uma corrente alternada (ou tensão) em uma corrente contínua (ou tensão): aquela que flui em uma única direção, independentemente de quanto varie. Um diodo conduz apenas quando está polarizado diretamente 正向偏置, isto é, quando seu ânodo (a extremidade plana do triângulo do símbolo) é mais positivo que seu cátodo (a barra); caso contrário, está polarizado reversamente e comporta-se como uma chave aberta. Trate-o como ideal: resistência zero num sentido, infinita no outro.

Retificação meia-onda

Um diodo único em série com a carga deixa passar apenas a metade positiva de cada ciclo; na metade negativa o diodo está polarizado reversamente 反向偏置 e nenhuma corrente flui. Isso é retificação meia-onda 半波整流.

Saída: meias-ondas positivas com lacunas planas de zero. A saída média é $V_{0}/\pi \approx 0.32 V_{0}$. Desvantagem: metade da entrada é desperdiçada e a saída é muito irregular.

Completando o circuito. "Complete o diagrama para produzir retificação de meia onda" precisa de um diodo em série entre a fonte e a carga, com o triângulo apontando a direção que a corrente de saída deve fluir, e $V_{\text{OUT}}$ tomada sobre a carga. Se um capacitor for para suavizar a saída, ele vai sobre a carga (em paralelo); um capacitor em série bloquearia a c.c. completamente.

Retificação onda cheia (retificador de ponte)

Um retificador de ponte 桥式整流器 usa quatro diodos dispostos de modo que a corrente pela carga sempre flua no mesmo sentido, qualquer que seja o terminal alternado positivo — retificação onda cheia 全波整流. Em cada semiciclo, um par diferente de diodos conduz, mas a carga sempre vê o mesmo sentido.

Explicando a ponte (o marcador padrão de quatro). Quando o terminal P é positivo, a corrente sai de P, passa pelo diodo apontando para longe de P até o topo da carga, flui para baixo pela carga e retorna a Q pelo diodo apontando para Q; os outros dois diodos estão polarizados reversamente e não conduzem. Quando Q é positivo, o outro par conduz, mas estão dispostos de modo que a corrente ainda entra na carga pelo topo: a corrente na carga está no mesmo sentido em ambos os semiciclos. Nomeie os diodos em cada semiciclo e diga qual extremidade da carga é positiva.

Completando uma ponte. Dada uma ponte com diodos faltantes, lembre-se da regra para todo diodo: a corrente convencional flui através dele na direção do triângulo. Ambos os diodos ligados ao terminal de saída positivo devem apontar para ele; ambos ligados ao terminal de saída negativo devem apontar para fora dele. Uma ponte com um diodo invertido ou curto-circuita a fonte em um semiciclo ou não deixa passar nada.

Saída: uma corrida contínua de meias-ondas positivas (sem lacunas), em duas vezes a frequência de entrada. A saída média é $2V_{0}/\pi \approx 0.64 V_{0}$ — o dobro do valor de meia onda. Usa toda a entrada e é mais suave e fácil de filtrar.

Desenhar os diagramas

• meia onda: fonte c.a. — diodo único — carga $R$, em série.
• ponte de onda completa: quatro diodos como os braços de um "losango"; a entrada c.a. vai para um par de cantos opostos, a carga $R$ sobre o outro par. As direções dos diodos fazem os terminais da carga manterem a mesma polaridade para qualquer polaridade de entrada.

"Afirme a diferença entre retificação meia-onda e onda cheia." Na retificação meia-onda, apenas uma metade de cada ciclo de entrada aparece na saída e a outra metade é bloqueada (a saída é zero pela metade do tempo); na retificação onda cheia, ambas as metades aparecem, uma delas invertida, assim não há lacunas e a saída tem dobrada a frequência de entrada. Um esboço deve mostrar, para meia-onda, semipulsos positivos separados por seções planas de zero de comprimento igual; para onda cheia, semipulsos positivos unidos na linha de zero.

A saída de um retificador ainda é irregular. Para suavizá-la, coloque um capacitor 电容器 $C$ em paralelo com a carga $R$.

Como funciona

• na parte ascendente de cada pulso, o capacitor carrega-se quase até o pico.
• na parte descendente (e qualquer lacuna), os diodos estão polarizados reversamente, então o capacitor descarrega através da carga, mantendo a corrente fluindo. A tensão cai com a constante de tempo 时间常数 $RC$ (Tópico 19).
• no próximo pico, o capacitor recarrega-se, e o ciclo se repete.

A saída agora situa-se perto do pico com pequenas quedas. O tamanho das quedas é a ondulação 纹波 (todo este passo é chamado de suavização 平滑).

Exemplo resolvido. Um retificador de meia onda alimentado por uma fonte $50\ \text{Hz}$ tem um capacitor $470\ \mu\text{F}$ sobre sua carga 负载 $1.2\ \text{k}\Omega$. Estime a queda fracionária na saída entre os picos, e diga como ela muda com um retificador de ponte.

Os picos estão $T = 1/50 = 20\ \text{ms}$ separados (retificação de meia-onda: um pico por ciclo). A constante de tempo é $RC = (1.2 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 0.56\ \text{s}$. Entre os picos, o capacitor descarga até $V_{0} e^{-t/RC} = V_{0} e^{-0.020/0.56} = 0.965\,V_{0}$, uma queda de aproximadamente $3.5\%$. Com retificação de onda completa, os picos estão $10\ \text{ms}$ separados, então a queda é apenas $1.8\%$; dobrar a capacitância reduziria isso pela metade novamente. Como $t \ll RC$, a queda é aproximadamente $V_{0}\, t/(RC)$: a ondulação é proporcional ao tempo entre picos e inversamente proporcional tanto a $R$ quanto a $C$. (Uma rede de capacitores em paralelo com a saída combina pelas regras do Tópico 19 antes de ser usada aqui.)

O que reduz a ondulação

• maior $C$ → mais carga armazenada → menor queda entre picos → ondulação menor.
• maior $R$ → menor corrente de carga → descarga mais lenta → ondulação menor.
• frequência retificada maior (onda completa é o dobro da entrada) → menos tempo para descargar entre picos → ondulação menor.

Em resumo, um grande $RC$ comparado com o tempo entre picos fornece uma saída mais suave.

Esboçando a saída suavizada. Desenhe primeiro as protuberâncias sem suavização levemente. A curva suavizada toca cada pico, depois cai ao longo de uma curva suave (mais íngreme logo após o pico) até que a próxima protuberância suba para encontrá-la, onde ela vira bruscamente para cima e segue a protuberância até o pico. Ela nunca cai a zero, e nunca sobe acima do pico. Para retificação de meia-onda, o decaimento deve durar também pelo meio-ciclo ausente, então a ondulação é cerca de duas vezes a da onda completa para o mesmo $RC$. Se a questão alterar $C$ ou $R$, redesenhe nos mesmos eixos: um $RC$ maior se ajusta mais próximo à linha do pico; um $RC$ menor afunda mais.

Finalidade em resumo

O capacitor de suavização reduz a ondulação, fornecendo uma tensão contínua estável adequada para eletrônicos sensíveis.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• $V = V_{0} \sin\omega t$ com $\omega = 2\pi f$ em radianos por segundo: leia $V_{0}$ e $\omega$ diretamente da equação; modo radiano para qualquer cálculo de tempo.
• $I_{\text{r.m.s.}} = I_{0}/\sqrt{2}$ e $V_{\text{r.m.s.}} = V_{0}/\sqrt{2}$ para uma onda senoidal apenas; caso contrário, quadrada, média, raiz. Os valores citados da rede elétrica são eficazes; os componentes são classificados para o pico.
• A potência média em um resistor é $I_{\text{r.m.s.}}^{2}R = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$, metade da potência de pico; a corrente média é zero, a potência média não é.
• Um diodo em série proporciona retificação de meia-onda; uma ponte de quatro diodos proporciona onda completa, com a corrente de carga sempre na mesma direção e a saída com o dobro da frequência de entrada.
• Suavização: capacitor em paralelo com a carga; a ondulação diminui com um $C$ maior, um $R$ maior (menor corrente de carga) e uma frequência retificada maior, pois o decaimento entre picos é $V_{0}e^{-t/RC}$.
• Esboços são marcados na forma: protuberâncias que tocam a linha do pico, um decaimento que nunca atinge zero, lacunas planas de zero para meia-onda, nenhuma para onda completa.

Erros comuns

• Usando o valor de pico em um cálculo de potência, ou o valor eficaz como amplitude em $V = V_{0}\sin\omega t$.
• Escrever $\omega = f$ ou $\omega = 2\pi/f$; ele é $2\pi f = 2\pi/T$.
• Definindo o valor r.m.s. como "o pico dividido por $\sqrt{2}$", ou omitindo "mesma potência" e "mesmo resistor".
• Aplicar $I_{0}/\sqrt{2}$ a uma onda quadrada ou triangular.
• Desenhar um diodo invertido, ou uma ponte em que dois diodos conectados ao mesmo terminal de saída apontam em direções opostas.
• Colocar o capacitor de suavização em série com a carga.
• Uma saída suavizada desenhada caindo a zero entre picos, ou subindo acima do pico.
• Dizer que uma resistência de carga maior provoca uma ondulação maior; um $R$ maior significa uma corrente menor, uma descarga mais lenta e uma ondulação menor.
• Afirmar que a retificação de onda completa fornece uma contínua estável; sem um capacitor, é uma série de protuberâncias com uma ondulação grande.