GRE · GRE Subject Test · GRE Physics

Un planeta acelera incluso cuando su rapidez es constante: la velocidad incluye dirección.

Requisitos previos: 47.

• Aplicar descripciones newtonianas, lagrangianas y hamiltonianas
• Analizar rotación, fuerzas centrales y oscilaciones
• Utilizar leyes de conservación con sus condiciones

La segunda ley de Newton es una declaración vectorial. Elija coordenadas e identifique restricciones antes de descomponer en componentes.

La conservación de energía aplica cuando se considera el trabajo de fuerzas no conservativas; la conservación del momento requiere impulso neto externo nulo.

Para oscilaciones pequeñas, linealice alrededor de un equilibrio estable. Un término restaurador proporcional al desplazamiento produce movimiento armónico.

Las ecuaciones de Lagrange usan L=T−V y coordenadas generalizadas. Esta formalización de nivel universitario difiere de la sustitución de fuerzas en el nivel escolar.

Elija un marco inercial y una coordenada x medida desde el equilibrio del resorte. Para un resorte conservativo, el lagrangiano evita resolver las fuerzas de restricción.

Con m = 2.0 kg y k = 18 N/m, Una rigidez positiva produce movimiento estable. Las unidades de k/m son segundos al cuadrado inversos.

La conservación de la energía cinética no se cumple en todas las colisiones, incluso cuando se conserva el momento.

Lagrangiano: Energía cinética menos energía potencial para el sistema mecánico estándar.

momento angular: El momento del momento lineal respecto a un punto de referencia.

El potencial eléctrico cero en un punto no implica que el campo eléctrico sea cero allí.

Prerrequisitos: 13, 14, 15, 29, 30.

• Utilizar potenciales electrostáticos, campos y la ley de Gauss
• Analizar circuitos, magnetismo e inducción
• Aplicar ecuaciones de Maxwell y relaciones de ondas electromagnéticas

El campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial. Un valor y un cambio espacial son cantidades diferentes.

Use la ley de Gauss con simetría. Un flujo total conocido por sí solo no proporciona el campo en cada punto de la superficie.

Las leyes de Kirchhoff rastrean la carga y la energía en los circuitos. La f.e.m. inducida sigue al cambio de flujo magnético con el signo de la ley de Lenz.

Las ecuaciones de Maxwell vinculan los campos eléctricos y magnéticos. En el vacío, una onda tiene E/B=c y transporta energía.

Una cáscara esférica tiene radio R y carga uniforme Q. Elija el potencial cero en el infinito. La simetría esférica permite que la ley de Gauss determine el campo exterior.

En el interior, la carga neta encerrada es cero y la simetría implica E = 0. La continuidad da El potencial es distinto de cero y constante en el interior. Un gradiente nulo, en lugar de un valor nulo, produce un campo nulo. El campo radial presenta una discontinuidad en la superficie cargada.

No use la ley de Gauss para afirmar un campo uniforme sobre una superficie arbitraria no simétrica.

flujo: La integral superficial de la componente normal de un campo.

potencial: Energía potencial por unidad de carga.

Dos ondas brillantes individuales pueden cancelarse en un punto si sus fases se oponen.

Requisitos previos: 16, 17, 18, 31, 32, 33.

• Analizar la superposición e interferencia de ondas
• Utilizar difracción, polarización e imágenes ópticas
• Relacionar fase, frecuencia y dispersión

Sumar las amplitudes de las ondas y luego calcular la intensidad. La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud para el mismo medio.

Una diferencia de trayectoria produce una diferencia de fase de 2πΔ/λ. Las fuentes coherentes requieren una fase relativa estable.

Para una rendija simple, los mínimos satisfacen a sin θ=mλ para enteros no nulos m. Una doble rendija tiene una condición de interferencia diferente.

La óptica geométrica necesita una convención de signos explícita. Los efectos ondulatorios son relevantes cuando las aperturas son comparables a la longitud de onda.

Las ondas coherentes tienen una diferencia de fase estable. Sumar las amplitudes antes de elevar al cuadrado.

Para intensidades individuales iguales I0 y una diferencia de trayectoria de un cuarto de longitud de onda, Esto no es ni un máximo ni un mínimo. Una fase relativa aleatoria elimina el término cruzado en promedio durante mucho tiempo; la coherencia estable es una condición física, no una convención de dibujo.

El máximo central de la rendija simple no se obtiene estableciendo m=0 en la condición de mínimos.

coherencia: Relación de fase estable entre ondas.

difracción: Dispersión de ondas e interferencia causadas por una apertura u obstáculo.

Dos motores pueden cumplir la conservación de energía, pero solo uno respeta el límite de entropía en su eficiencia.

Prerrequisitos: 19, 20, 34, 35, 36.

• Aplicar la primera y segunda leyes con una convención de signos
• Relacionar conjuntos, factores de Boltzmann y entropía
• Analizar gases ideales, motores térmicos y estadística cuántica

Enunciar la convención de signos de la primera ley: ΔU=Q−W cuando W es el trabajo realizado por el sistema.

Para un motor reversible entre reservorios, la eficiencia está acotada por 1−Tc/Th usando temperaturas absolutas.

Los pesos de Boltzmann son exp(−E/kT). Las probabilidades requieren división por la función de partición.

Distinguir las suposiciones de Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein y Fermi–Dirac. Los fermiones no pueden compartir un estado de partícula única idéntico.

Usar el trabajo W realizado por el gas como positivo. La primera ley es

Para una expansión isoterma reversible de un gas ideal, U depende solo de T, por lo tanto Para n = 0.50 mol, T = 300 K y volumen duplicado, El gas se expande y recibe calor. El reservorio pierde la misma entropía en este límite reversible.

Las proporciones de temperatura Celsius no pueden usarse en la fórmula de eficiencia de Carnot.

entropía: Una variable de estado conectada con la multiplicidad y el calor reversible transferido.

función de partición: La suma de pesos estadísticos utilizada para normalizar probabilidades.

Una partícula en una caja no puede tener energía cinética de estado fundamental cero. Su confinamiento cambia los estados permitidos.

Requisitos previos: 24, 37, 38, 39.

• Usar funciones de onda, operadores y probabilidades de medición
• Resolver modelos estándar de estados ligados y razonamiento de túnel
• Aplicar momento angular, espín y principios espectrales atómicos

La función de onda de un estado debe satisfacer las condiciones de contorno del modelo y tener probabilidad total uno: integra |ψ(x)|² sobre el dominio permitido. Para estados ortonormales φ_j, una superposición ψ=Σc_jφ_j tiene norma al cuadrado Σ|c_j|² porque los términos cruzados se integran a cero. Así, una superposición igual de N estados ortonormales tiene magnitud de coeficiente 1/sqrt(N). La probabilidad de encontrar una componente energética es |c_j|², no c_j. Las fases relativas pueden afectar las probabilidades de posición aunque las probabilidades energéticas permanezcan inalteradas.

Un observable se representa mediante un operador hermítico. Sus autovalores son reales, y un estado normalizado da valor esperado ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. La esperanza es un promedio sobre preparaciones repetidas, no necesariamente el resultado de una sola medición. Si A satisface una identidad polinómica, aplícala a un autostado: para A⁴=I, un autovalor real debe ser +1 o −1. Una raíz cuarta compleja está excluida por la hermiticidad aunque resuelva el polinomio.

Para un pozo infinito 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 permite modos senoidales sin(nπx/L), con n=1,2,… . Sus energías son E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), así que el estado fundamental no es cero y duplicar L divide cada energía entre cuatro. La expresión equivalente h es n²h²/(8mL²); nunca sustituyas h por $\hbar$ sin su factor 2π. Una barrera finita en cambio permite colas exponenciales, y una onda viajera en una región clásicamente permitida tiene dependencia espacial oscilatoria en lugar de decrecimiento exponencial.

Los operadores conmutan cuando [A,B]=AB−BA=0; los observables compatibles pueden tener una base común de eigenestados. Dado que la energía cinética p²/(2m) es una función de p, conmuta con p. Un potencial dependiente de la posición generalmente hace que H=p²/(2m)+V(x) no conmute con p. El momento angular obedece [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z y permutaciones cíclicas, mientras J² conmuta con cada componente. Las transiciones atómicas intercambian energía fotónica positiva igual a la diferencia de niveles; el momento angular y reglas de selección específicas del mecanismo restringen cuáles transiciones ocurren.

Un pozo infinito se extiende desde 0 hasta L. La función de onda nula en ambos extremos da

Prepara $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. La ortogonalidad hace que su norma sea uno. Las mediciones de energía dan E1 o 4E1 con probabilidad igual: Este promedio no es un resultado de energía único permitido. La fase relativa cambia con el tiempo, así que una superposición de diferentes energías no es un estado estacionario.

Un estado estacionario puede tener energía distinta de cero aunque su densidad de probabilidad sea independiente del tiempo.

normalización: Hacer que la probabilidad total sea igual a uno.

operador: Una acción matemática que representa un observable.

Un instrumento preciso puede dar resultados consistentemente erróneos cuando su calibración se desplaza.

Prerrequisitos: 21, 22, 42, 43, 44.

• Aplicar relaciones relativistas especiales de energía y espacio-tiempo
• Propagar la incertidumbre de medición y analizar datos experimentales
• Reconocer conceptos de física nuclear, partículas, materia condensada y astrofísica

La relatividad especial usa γ=1/sqrt(1−v²/c²). La energía en reposo es mc² y la energía total es γmc².

Para incertidumbres pequeñas e independientes, combinar contribuciones en cuadratura; las incertidumbres correlacionadas requieren términos de covarianza.

La dispersión aleatoria afecta la precisión; el sesgo de calibración afecta la exactitud. Un gráfico logarítmico puede revelar una ley de potencias.

Las preguntas de física nuclear, partículas, materia condensada y astrofísica requieren vocabulario y modelos de nivel universitario. La física escolar sola no constituye una preparación completa.

El tiempo propio se mide entre eventos en una misma posición en un sistema de referencia. Para la velocidad de una partícula 0.60c,

Si su vida media propia es 4.0 microsegundos, Una vida media es un promedio de una distribución; no predice el momento de desintegración individual.

Sumar incertidumbres porcentuales linealmente proporciona un límite de caso desfavorable, no la incertidumbre estadística estándar independiente.

precisión: Cercanía de mediciones repetidas entre sí.

covarianza: Medida de variación conjunta utilizada para incertidumbres correlacionadas.

No toda diferencia de energía produce una línea fuerte de dipolo eléctrico.

Requisitos previos: 23, 40, 41.

• Relacionar energías atómicas con líneas espectrales
• Aplicar números cuánticos de momento angular
• Distingir transiciones permitidas y prohibidas de dipolo eléctrico

Para iones hidrogenoides de un solo electrón, las energías ligadas escalan como −13.6 Z²/n² eV en el modelo no relativista más simple. La emisión requiere una transición descendente y energía fotónica positiva.

El momento angular orbital tiene l=0,…,n−1 y m_l=−l,…,l. El espín del electrón agrega s=1/2; el momento angular total combina contribuciones orbitales y de espín.

Las reglas de selección de dipolo eléctrico incluyen Δl=±1 y Δm=0,±1. Estas reglas se refieren a un mecanismo de transición específico; 'prohibido' no significa imposible por todos los mecanismos.

La estructura fina, efectos de acoplamiento espín-órbita y desdoblamiento Zeeman refinan la imagen simple del hidrógeno. En átomos multielectrónicos, el apantallamiento y las interacciones electrónicas invalidan la sustitución directa de energías del hidrógeno.

Para un ion de un solo electrón no relativista, ignorando la estructura fina,

Para Z = 2, una emisión de n = 3 a n = 2 da energía fotónica positiva: Una diferencia de energía sola no garantiza una transición de dipolo eléctrico; los estados orbitales participantes deben satisfacer las reglas de selección.

No haga que la energía del estado final menos la energía del estado inicial sea negativa para un fotón emitido.

regla de selección: Restricción sobre transiciones para un mecanismo de interacción especificado.

desdoblamiento Zeeman: Desdoblamiento de niveles de energía atómica por campo magnético.

A semiconductor’s conductivity depends on available states and carriers, not merely on the number of electrons in the material.

Prerequisites: 25, 45, 46.

• Use band and carrier descriptions
• Apply radioactive decay and binding-energy ideas
• Check conservation laws in particle reactions

Filled bands cannot carry ordinary current without accessible nearby states. Metals have partially filled or overlapping bands; semiconductors have a small band gap 带隙. Donor and acceptor doping change carrier populations.

Fermi–Dirac occupancy is 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. At zero temperature it becomes a step at the Fermi energy; thermal broadening does not make every state half occupied.

Radioactive populations obey N=N0e^(−λt), activity λN and half-life 半衰期 ln2/λ. Binding energy 结合能 comes from a mass deficit multiplied by c²; compare binding energy per nucleon when discussing stability.

Nuclear and particle processes must conserve charge, energy, momentum and the applicable quantum numbers. Beta decay includes a neutrino or antineutrino; a two-body electron-only story cannot explain its continuous energy spectrum.

Binding energy is the positive energy required to separate a nucleus into free nucleons. For a reaction use total initial and final rest masses, with a consistent mass convention.

A mass decrease of 0.0040 atomic mass units gives Positive Q means energy release. Charge, nucleon number, energy and momentum must still balance; Q alone does not establish a reaction rate.

Activity and surviving population both decay, but their units differ: activity is transitions per second.

band gap: An energy interval with no allowed bulk electronic states in the band model.

half-life: Time for a radioactive population to halve.

Los métodos energéticos conectan un oscilador de resorte y una órbita, pero sus coordenadas y supuestos físicos difieren.

Prerrequisitos: 26, 41.

• Construir un Hamiltoniano simple
• Usar ecuaciones canónicas
• Aplicar escalado gravitacional y radiativo

El momento canónico es p=∂L/∂qdot. La transformada de Legendre H=p qdot−L da un Hamiltoniano cuando las velocidades pueden expresarse mediante coordenadas y momentos.

Las ecuaciones de Hamilton son qdot=∂H/∂p y pdot=−∂H/∂q. Para un oscilador ordinario H=p²/(2m)+kq²/2, estas reproducen la ecuación de Newton.

Para una órbita circular gravitacional v²=GM/r y período²=4π²r³/(GM). Las suposiciones incluyen una masa central dominante y una aproximación circular; las órbitas elípticas usan el semieje mayor en la ley de Kepler. Para un satélite circular de masa m, la magnitud del momento angular es mrv=m sqrt(GMr), por lo que satélites idénticos tienen L proporcional a sqrt(r). Una relación de radios 9 implica entonces una relación de momento angular 3, mientras que la relación de períodos es 27. Esta distinción se deriva de la misma relación de fuerza centrípeta; no usar el escalado de períodos para el momento angular.

La luminosidad y el flujo recibido obedecen F=L/(4πd²) para radiación isotrópica. Un cuerpo negro tiene L=4πR²σT⁴; su pico espectral se desplaza inversamente con la temperatura. Distinguir la luminosidad intrínseca del brillo observado.

Para un Lagrangiano regular $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, el momento canónico es

Sustituir la velocidad en la transformada de Legendre: Combinar esto da $\ddot q=-(k/m)q$. La inversión del momento a velocidad es necesaria; no puede asumirse para todo Lagrangiano restringido o singular.

Un Hamiltoniano equivale a la energía mecánica total solo bajo los supuestos relevantes del sistema; no inferir esto universalmente solo por su nombre.

momento canónico: La derivada del Lagrangiano con respecto a una velocidad generalizada.

luminosidad: Potencia total emitida, distinta del flujo en un observador.

Two carts approach from different directions. After they stick, their momentum can be conserved while their kinetic energy falls.

Prerequisites: 1.

• Compute vector momentum and energy loss in sticking collisions
• Compare fixed-force springs and use work–energy conditions
• Derive small-oscillation periods and oscillator energies

Choose an isolated system during the short collision. With negligible external impulse 外力冲量, conserve total momentum separately in every Cartesian direction. If masses m1 and m2 stick, their common velocity is (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Find the magnitude only after adding vectors. Initial kinetic energy is the sum of each ½m|v|²; final kinetic energy uses the total mass and the common speed. Their difference becomes internal energy or deformation, not missing momentum. A perfectly inelastic collision means sticking, not final rest.

The work–energy theorem ΔK=∫F·dr uses net force along displacement. For a constant parallel force over distance s, ΔK=Fs. Speed doubling quadruples kinetic energy. Conservation of mechanical energy is a separate statement requiring no unaccounted nonconservative work. At a spring displacement x, U=½kx². Under the same applied force F, equilibrium extension is F/k and stored energy is F²/(2k): a stiffer spring stretches less and stores less energy. Under the same extension, it stores more. Identify which condition is held fixed.

Near a stable equilibrium x0, expand U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; the effective stiffness is positive U″(x0). The motion obeys m xddot=−k_eff(x−x0), with ω=sqrt(k_eff/m) and period 2π/ω. A simple pendulum obeys θddot+(g/L)sinθ=0. For small angles sinθ≈θ, so T=2πsqrt(L/g). This approximation explains period–length scaling; a large amplitude requires a correction, and the mass cancels for an ideal pendulum.

For an undamped harmonic oscillator, total energy is ½m v²+½kx²=½kA². At equilibrium all its energy is kinetic; at a turning point 转折点 its speed is zero and all its energy is potential. Angular frequency is not ordinary frequency: ω=2πf. If the same oscillator has equilibrium speed vmax, A=vmax/ω. Distinguish the instant at which speed is measured from the release displacement, and keep SI units when a millijoule answer is requested.

Two carts stick with negligible external impulse. Add momentum vectors 动量矢量, then divide by total mass. Known: m1 = 2 kg, v1 = (3,0) m/s; m2 = 1 kg, v2 = (0,3) m/s.

The 6 J difference becomes internal energy. Kinetic energy is not conserved in sticking.

Do not add incoming speed magnitudes as momenta, or conserve kinetic energy in a sticking collision. Fixed-force and fixed-extension spring comparisons have opposite answers.

external impulse: Time integral of the net force from outside the chosen system.

turning point: An extreme oscillator position where its instantaneous speed is zero.

Voltear un bloque flotador puede cambiar cuánto madera está sumergida aunque el peso total permanezca igual.

Prerrequisitos: 10.

• Usar par de pivote e inercia rotacional consistentemente
• Particionar energía cinética de rodadura con la restricción de sin deslizamiento
• Equilibrar flotabilidad y arrastre para cuerpos compuestos

Par respecto a un pivote fijo es r×F; su magnitud usa el brazo de palanca perpendicular. Para una barra uniforme de longitud L pivotada en un extremo, la gravedad actúa en su centro L/2 y el momento de inercia es ML²/3. Si su ángulo θ se mide desde la vertical, la magnitud del par gravitacional es Mg(L/2)sinθ, así la magnitud de aceleración angular es 3g sinθ/(2L). Definir la dirección de rotación positiva antes de asignar un signo. Usar la inercia del centro de masa ML²/12 sin la corrección del eje paralelo da una aceleración incorrecta.

Un objeto que rueda sin deslizamiento satisface v=Rω. Escribir la energía cinética total como ½Mv²+½Iω². Con I=βMR², la fracción rotacional es β/(1+β); para un disco sólido β=1/2 y la fracción es 1/3. Un aro tiene β=1 y fracción 1/2. La fricción estática puede suministrar el par requerido para rodar sin disipar energía en un contacto instantáneamente estacionario sobre una superficie fija. Un objeto deslizante no satisface automáticamente la relación de sin deslizamiento.

Para un cuerpo flotante compuesto, el empuje es igual al peso del fluido desplazado, sumado sobre cada parte sumergida. Sea un bloque de madera de volumen V y una piedra densa de volumen Vs. Si la piedra está por encima del agua, solo la madera sumergida contribuye: ρagua g fV iguala al peso total. Si la piedra está adherida debajo y completamente sumergida, su volumen desplazado reduce la fracción sumergida necesaria de la madera a f−Vs/V. La piedra no deja de tener peso; el agua ahora proporciona parte de su soporte. Verifique si la orientación y flotación asumidas son físicamente posibles.

La velocidad terminal significa aceleración cero, no velocidad cero ni fuerza cero. Con arrastre cuadrático C v² y peso descendente Mg, despreciando el empuje, vt=sqrt(Mg/C). Dos bolas idénticas comparten el coeficiente de arrastre C; duplicar la masa multiplica la velocidad terminal por sqrt(2). Si el empuje importa, reemplace Mg por (M−ρfluido V)g. Un modelo de arrastre lineal da un escalado diferente con la masa. Enuncie la ley de arrastre especificada y compare los balances de fuerzas, en lugar de transferir una fórmula entre modelos.

Un cuerpo rueda sin deslizarse sobre una superficie fija. La restricción de sin deslizamiento es v = R omega.

Para un disco sólido, beta = 1/2, por lo que la participación rotacional es Para una varilla uniforme pivotada en un extremo, use $I=ML^2/3$, no su inercia respecto al centro de masas. Sobre este pivote $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, para theta medido desde la vertical hacia abajo.

Use el momento de inercia respecto al pivote elegido. En la flotación, incluya tanto el volumen desplazado por la piedra como su peso. La velocidad terminal requiere una ley de arrastre especificada.

momento de inercia: Distancia perpendicular al cuadrado ponderada por la masa desde un eje de rotación especificado.

velocidad terminal: Velocidad constante en la que las fuerzas opuestas se equilibran.

Una carga liberada de un avión mantiene la velocidad horizontal del avión. Respecto al avión, su movimiento inicial puede ser puramente hacia abajo.

Prerrequisitos: 1, 11.

• Resolver ecuaciones de cuerpos acoplados usando una restricción de aceleración
• Transformar velocidades entre marcos inerciales
• Verificar límites de fuerza y energía para movimiento restringido

Para una masa m1 sobre una mesa horizontal sin fricción conectada mediante una polea ideal sin masa a una masa colgante m2, seleccione el movimiento hacia la derecha en la mesa y el movimiento hacia abajo de la masa colgante como positivo. Una cuerda tensa e inextensible da una magnitud de aceleración única. Escriba T=m1a y m2g−T=m2a. Sumar elimina la tensión interna, así que a=m2g/(m1+m2) y T=m1m2g/(m1+m2). Por tanto, T<m2g cuando ambas masas son positivas. Igualar la tensión al peso de la masa colgante asume implícitamente aceleración cero.

El supuesto de tensión común requiere una cuerda ideal sin masa y una polea con fricción e inercia despreciables. Una polea con inercia rotacional puede tener tensiones diferentes, con (T2−T1)R=Iα y a=Rα si la cuerda no se desliza. Dibuje cada cuerpo por separado: una fuerza interna al sistema combinado permanece como fuerza externa sobre uno de los cuerpos elegidos. Las fuerzas de restricción pueden cancelarse en una ecuación del sistema mientras siguen siendo necesarias para el movimiento individual.

Para dos marcos inerciales con velocidad relativa constante V, la transformación galileana de velocidades es v_relative=v_suelo−V. Una carga liberada por un avión en vuelo nivelado tiene inicialmente la velocidad horizontal del avión. Con resistencia al aire despreciable, la velocidad horizontal respecto al suelo permanece constante y la velocidad vertical se vuelve −gt si hacia arriba es positivo. Respecto a ese avión, la velocidad horizontal es cero y la velocidad descendente es gt. La posición es una pregunta diferente: el desplazamiento vertical es −½gt². No confunda la velocidad respecto al suelo con la velocidad relativa.

Verifique casos límite después de resolver. Cuando m1 se acerca a cero, la aceleración acoplada ideal se acerca a g y la tensión se acerca a cero; cuando m1 crece mucho, la aceleración se acerca a cero y la tensión se acerca a m2g por debajo. Una derivación energética da m2g s=½(m1+m2)v² para liberación desde el reposo y una polea ideal, coincidiendo con v²=2as. Esta coincidencia verifica las ecuaciones; no permite la conservación de la energía si hay fricción u otro trabajo no contabilizado.

Una masa de mesa m1 y una masa colgante m2 comparten una aceleración a través de una cuerda ideal tensa. Elija el movimiento hacia la derecha de la mesa y el movimiento hacia abajo de la masa colgante como positivo.

T es menor que el peso colgante 20 N. Se necesita una fuerza neta descendente no nula para la aceleración.

Una polea ideal sin masa iguala tensiones, no tensión y peso. Reste las velocidades de los marcos componente por componente antes de calcular la magnitud de la rapidez.

restricción: Una condición que vincula las posiciones o movimientos permitidos de cuerpos conectados.

velocidad relativa: Velocidad de un objeto medida en otro marco de referencia móvil.

Un conductor cargado puede tener campo cero dentro de su material mientras su potencial permanece distinto de cero.

Prerrequisitos: 2, 47.

• Sume fuerzas de Coulomb como vectores usando la geometría real
• Calcule el flujo por simetría o ángulo sólido con orientación especificada
• Encuentre campos y potenciales de conductores usando cargas superficiales inducidas

Para una carga puntual Q en la posición r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). Sume vectores, no magnitudes de campo. Para dos cargas positivas atrayendo un electrón, las fuerzas en la misma dirección se suman; direcciones opuestas se restan; componentes perpendiculares se combinan por Pitágoras. Defina primero el punto de observación y la dirección de cada fuerza. El potencial es la suma escalar V=ΣQ/(4πε0r) con cero en el infinito. Un potencial cero no implica generalmente un campo cero, ya que E=−∇V.

La ley de Gauss es la integral de superficie cerrada ∮E·dA=Q_encerrada/ε0. Determina un campo local simplemente solo cuando la simetría hace que el campo normal sea uniforme o que otras contribuciones de flujo sean cero. Una carga cerca de un plano infinito envía la mitad de su flujo total a través de ese plano en magnitud: el plano subtiende un ángulo sólido 2π de 4π. El resultado es independiente de la distancia y la posición lateral, pero su signo depende de la normal del plano elegida y del signo de la carga. Un plano abierto no encierra una carga; usar terminología de superficie cerrada para él es incorrecto.

En equilibrio electrostático, el campo eléctrico dentro del material conductor es cero y el conductor tiene potencial constante. Coloque una carga Q en el centro de una cáscara esférica conductora con radio interior a, radio exterior b y carga neta q en la cáscara. Una superficie gaussiana dentro del material requiere carga superficial interna −Q, por lo que la superficie externa tiene q+Q. La simetría esférica hace que el campo externo sea el de Q+q total en el centro. El potencial del material, cero en el infinito, es (Q+q)/(4πε0b), independiente del radio de observación del material.

En la cavidad de esa cáscara con carga centrada, el campo es Q/(4πε0r²) radialmente para 0<r<a. El potencial incluye tanto la contribución de la carga puntual como las contribuciones constantes de la cáscara; la continuidad se mantiene a través de cada superficie aunque el campo normal salta en una carga superficial. Mantenga separadas la cavidad, el material del conductor y el exterior. Una carga fuera del centro todavía induce carga total interna −Q, pero su campo de cavidad ya no es el simple campo radial centrado. El campo cero interior del conductor sigue al equilibrio, no a una suposición de que toda distribución de carga superficial es uniforme.

Una carga puntual centrada Q se encuentra en una cáscara esférica conductora de carga neta q. El equilibrio electrostático hace que el campo sea cero dentro del metal. Una superficie gaussiana en el metal encierra carga neta cero, por lo tanto $Q_{inner}=-Q$. La conservación de carga da $Q_{outer}=q+Q$. Con radio exterior b y potencial cero en el infinito,

Aquí Q = +2 nC y q = -1 nC. La cavidad no es material conductor; su campo no necesita anularse.

No confunda el resultado de media-flujo de plano abierto con la carga encerrada. Un campo nulo en un conductor fija un potencial constante, no necesariamente un potencial nulo.

ángulo sólido: Área angular subendida por una superficie, medida en estereorradianes.

carga superficial inducida: Carga reorganizada en un conductor para satisfacer el equilibrio electrostático.

A resistor in a parallel branch sees the branch voltage, which can differ from the battery voltage because another resistor is in series.

Prerequisites: 2, 30.

• Solve resistor networks and distinguish rms from peak AC quantities
• Apply flux linkage 磁通链, Lenz direction and the current-loop field
• Use charge-to-mass ratios and balance crossed-field forces

For steady ideal resistor circuits, series resistances add and parallel conductances add. Reduce a network 电路网络 while preserving which nodes share the same voltage. With a 24 V source, a 2 Ω series resistor and parallel 3 Ω and 6 Ω branches, the parallel equivalent is 2 Ω. Total current is 6 A, branch voltage is 12 V and branch currents are 4 A and 2 A. The current through every component is not necessarily the total current; verify Kirchhoff current and voltage sums after reduction.

For sinusoidal current I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). A series RLC circuit has impedance magnitude sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) and average dissipated power Irms²R=Vrms Irms cosφ. Ideal inductors/capacitors exchange stored energy with zero average dissipation. If rms current is already given, do not insert another factor 1/2. An ideal rectifying diode conducts in its forward direction and blocks in reverse: a suitably oriented series diode clips the negative half of a sinusoidal resistor voltage; it does not create a full-wave rectifier by itself.

Magnetic flux is ∫B·dA, or BA cosθ for a uniform field with θ measured from the area normal. Faraday emf is −N dΦ/dt. For changing perpendicular field and fixed loop geometry, its average magnitude is NA|ΔB|/Δt. Determine the sign or current direction using opposition to the flux change, not opposition to the field itself. The magnetic field at the centre of one circular loop is μ0I/(2R), obtained from Biot–Savart: every element contributes in the same axial direction. An N-turn compact coil multiplies this result by N.

For a nonrelativistic charge with velocity perpendicular to uniform B, magnetic force |q|vB provides centripetal force mv²/r. Thus r=mv/(|q|B) and cyclotron angular frequency is |q|B/m, independent of speed in this approximation. Charge sign sets rotation direction. A deuteron has approximately twice proton mass and the same charge, while an alpha particle has four times its mass and twice its charge; their frequencies are each half the proton value. In crossed E and B fields, undeflected motion requires electric and magnetic forces opposite and v=E/B. Check vector directions before using this magnitude.

A 24 V ideal source drives 2 ohms in series with parallel 3 and 6 ohm branches. Identify nodes before reducing the network.

The other branch carries 4 A; the branch currents sum to the source current.

Do not apply battery voltage to every branch or halve an rms-current power again. Flux angle uses the area normal; a selector also needs opposing force directions.

root mean square 均方根: Square root of the mean squared value, used for effective AC current or voltage.

flux linkage: Sum of magnetic flux through a coil’s turns.

Un capacitor cargado puede cambiar su campo eléctrico a través de un vacío sin que circule corriente de conducción por ese espacio.

Prerrequisitos: 13, 29, 47.

• Utilizar corriente de desplazamiento y relaciones de velocidad de onda en materiales
• Determinar direcciones de campo ondulatorio y flujo de energía irradiado
• Aplicar condiciones de contorno de Maxwell sin confundir componentes de campo

La ley de Ampère-Maxwell en el vacío es ∮B·dl=μ0(I_conducción+ε0 dΦE/dt). El término adicional de corriente de desplazamiento depende de la tasa temporal del flujo eléctrico a través de la superficie elegida. Asegura resultados consistentes para una trayectoria cuya superficie abarcante cruce un cable de capacitor o pase entre las placas. La corriente de desplazamiento no es flujo magnético ni una integral sobre flujo eléctrico anterior. Para un campo uniforme entre placas, la contribución del vacío es ε0A dE/dt; los signos siguen la orientación de la superficie.

En un dieléctrico homogéneo, lineal y sin pérdidas con permeabilidad μ y permitividad ε, las ecuaciones de Maxwell dan velocidad de onda v=1/sqrt(με) e índice de refracción n=c/v=sqrt(μrεr). Para material no magnético μr≈1, entonces v=c/sqrt(εr). Usar las constantes del material dependientes de la frecuencia indicadas cuando exista dispersión; una constante dieléctrica estática no necesariamente describe todas las frecuencias ópticas. Las ondas en el vacío tienen E/B=c; en este medio simple la relación es E/B=v.

Para una onda plana que viaja a lo largo del vector unitario n, B=(n×E)/v. Ambos campos son perpendiculares a la propagación y entre sí. La fase kz−ωt se propaga hacia +z, mientras que kz+ωt se propaga hacia −z. Si E está alineado con x+y y la propagación es +z, B está alineado con −x+y, porque z×x=y y z×y=−x. El vector de Poynting S=E×H (E×B/μ en este medio) apunta en la dirección del transporte de energía. En la zona de radiación de una carga acelerada, el flujo de energía es saliente desde la fuente, no necesariamente en la dirección instantánea del movimiento de la carga.

La ecuación de divergencia de Maxwell ∇·B=0 da continuidad a la componente normal de B a través de una interfaz: una caja de pastilla delgada no tiene carga magnética interna. El salto tangencial de H está relacionado con la corriente superficial; no necesita anularse. Bajo un modelo ideal superconductor de estado Meissner con B interior cero, la componente normal exterior en la frontera debe ser por tanto cero, dejando cualquier B exterior no nulo tangente a la superficie. Esta conclusión es condicional al modelo de interior cero mencionado; no se deriva asumiendo que todo el campo exterior sea cero. Para electrostática, la componente normal de D puede saltar debido a carga superficial libre.

Una onda plana viaja a lo largo del eje z positivo en un dieléctrico lineal, sin pérdidas y no magnético. Con permitividad relativa 9,

Si E apunta a lo largo del eje x positivo, $\mathbf B=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E/v$ apunta a lo largo del eje y positivo. Para E0 = 200 V/m, $\mathbf E\times\mathbf H$ apunta en la dirección de propagación. Verificar que las constantes del material correspondan a la frecuencia de la onda.

La corriente de desplazamiento usa flujo eléctrico cambiante. El B interior cero fija la componente normal exterior, no cada componente exterior. Distinga la propagación de ondas del movimiento de partículas.

corriente de desplazamiento: contribución del derivado temporal del flujo eléctrico en la ley de Ampère-Maxwell.

vector de Poynting: flujo de energía electromagnética por unidad de área y tiempo.

Un conductor escucha un eco desde una pared estacionaria con un tono desplazado: el sonido de ida y retorno adquiere cada uno un factor Doppler.

Prerrequisitos: 3.

• Aplicar factores Doppler de fuente y observador en el marco del medio
• Derivar las frecuencias permitidas de la tubería a partir de condiciones de frontera de desplazamiento
• Distinguir cambios en frecuencia, longitud de onda y fronteras

Para el sonido en un medio estacionario, separe el movimiento de la fuente del movimiento del observador. Una fuente que se acerca a velocidad u_s comprime el espaciado entre frentes de onda y produce una frecuencia recibida f c/(c−u_s) en un observador estacionario. Un observador que se acerca a una fuente estacionaria a velocidad u_o encuentra más frentes de onda por segundo y mide f(c+u_o)/c. Las velocidades se miden respecto al medio; las fórmulas Doppler acústicas no son simétricas bajo el intercambio de roles. El movimiento de retroceso invierte el signo correspondiente. Estas expresiones asumen un movimiento subsónico a lo largo de la línea de propagación.

Para una sirena que se mueve hacia una pared reflectora estacionaria con velocidad u, la pared recibe primero f_pared=f c/(c−u). La reflexión desde una pared estacionaria preserva la frecuencia en el marco del medio. El conductor móvil luego se acerca a los frentes de onda retornantes y recibe f_eco=f_pared(c+u)/c=f(c+u)/(c−u). A bajas velocidades u/c, el desplazamiento fraccionario es aproximadamente 2u/c, pero la expresión exacta tiene numerador y denominador diferentes. Una superficie reflectora móvil necesita su propio paso Doppler; no reutilice ciegamente el resultado para paredes estacionarias.

En un extremo abierto ideal de una tubería, el desplazamiento del aire es un antinodo y la variación de presión es un nodo. En un extremo rígido cerrado, el desplazamiento es un nodo y la presión es un antinodo. Para ambos extremos abiertos, la longitud L contiene n semilongitudes de onda, dando f_n=nc/(2L), n=1,2,… . Para un extremo cerrado, contiene un número impar de cuartas longitudes de onda, dando f_n=(2n−1)c/(4L). Las tuberías reales pueden necesitar correcciones de extremo; el modelo GRE ideal usa la longitud declarada sin inventar un ajuste.

Cerrar un extremo de una tubería previamente abierta a ambos lados reduce a la mitad su fundamental y deja solo múltiplos impares de esa nueva fundamental. Sus frecuencias antiguas eran múltiplos enteros de c/(2L), que son múltiplos pares de c/(4L), por lo que ninguna es una frecuencia permitida del nuevo espectro ideal de un extremo cerrado. Esto difiere de simplemente eliminar armónicos pares mientras se retiene la fundamental antigua. Cuando el medio no cambia, la velocidad de la onda permanece inalterada; la frecuencia y la longitud de onda cambian conjuntamente para satisfacer la nueva geometría de frontera.

Una sirena se acerca a una pared estacionaria en aire calmado. Trate los viajes de ida y retorno por separado. La pared recibe primero $f_w=fc/(c-u)$; la reflexión mantiene esta frecuencia en el marco del medio. El oyente móvil luego recibe $f_e=f_w(c+u)/c$.

Este efecto Doppler utiliza velocidades relativas al medio. No es la fórmula de ondas luminosas.

Un eco necesita ambos factores Doppler. Cerrar una tubería cambia el fundamental; los armónicos impares se cuentan desde el nuevo fundamental, no desde el antiguo.

antinodo de desplazamiento: posición de una onda estacionaria donde la amplitud de desplazamiento del aire es máxima.

factor Doppler: multiplicador de frecuencia producido por un movimiento específico de fuente u observador.

Una celda de gas en un brazo de un interferómetro de Michelson es atravesada dos veces. Contar solo un paso reduce a la mitad el cambio de índice de refracción inferido.

Requisitos previos: 3, 33.

• Calcular la magnificación del telescopio y la capacidad de resolución de una red de difracción
• Relacionar los conteos de franjas de Michelson con cambios dobles de trayectoria óptica
• Trazar las normales superficiales antes de aplicar las leyes de Snell y reflexión

Para un telescopio astronómico ideal ajustado para visión relajada en el infinito, el objetivo forma su imagen en el plano focal y el ocular colima la luz emergente. La separación de lentes es f_objetivo + f_ocular; la magnitud de la magnificación angular es f_objetivo / f_ocular. El telescopio usual de dos lentes convergentes produce una imagen invertida, representada por una magnificación angular negativa bajo una convención consistente. Una distancia final de imagen finita cambia la separación de lentes; no use el ajuste al infinito sin verificar la condición.

La capacidad de resolución R=λ/Δλ describe la separación de longitud de onda más pequeña distinguible cerca de λ. Para una red de difracción ideal en orden m con N rendijas iluminadas, R=mN. Este es un criterio de resolución, no simplemente la fórmula de posición angular d sinθ=mλ. Aumentar el número de rendijas iluminadas afina los picos principales; aumentar el espaciado entre rendijas principalmente cambia sus ubicaciones angulares. Un λ medido = 600 nm y Δλ = 3 nm dan R = 200, independiente de convertir ambas longitudes a metros porque su razón usa unidades coincidentes.

La interferencia de Michelson depende de la diferencia de trayectoria óptica entre los brazos. Si un brazo contiene una celda de gas de longitud geométrica L e índice cambia de n a 1 al evacuar, un doble paso cambia la trayectoria en 2L(n−1). Si N franjas pasan, la magnitud de este cambio es Nλ, entonces n−1=Nλ/(2L). Para un espejo móvil en su lugar, el desplazamiento Δx da un cambio de trayectoria 2Δx. Las franjas cuentan ciclos de fase; una franja es una longitud de onda de trayectoria óptica, no una longitud de onda de movimiento del espejo.

La ley de Snell n1 sinθ1=n2 sinθ2 usa ángulos desde la normal superficial local. La reflexión tiene ángulos de entrada y salida iguales desde esa misma normal. En un bloque rectangular, las normales de caras adyacentes son perpendiculares: un ángulo de incidencia medido desde una normal es complementario al ángulo de ese mismo rayo desde la otra. Dibuje el rayo y las normales antes de sustituir. Para incidencia desde índice n hacia aire, la reflexión total interna ocurre solo cuando sinθ>1/n; la igualdad es el caso crítico de incidencia rasante. Un rayo parcialmente refractado declarado debe satisfacer la condición de transmisión.

Un interferómetro de Michelson envía luz dos veces a través de una celda de gas de longitud L. La evacuación cambia la trayectoria en $2L(n-1)$. N franjas corresponden a un cambio de trayectoria $N\lambda$.

Así n = 1.00030. Mover un espejo también es doble paso; una franja no es una longitud de onda de movimiento del espejo.

Use el camino óptico, no solo la distancia geométrica. Los ángulos de refracción se miden desde la normal de la superficie real, y la suma de distancias focales del telescopio asume una imagen final en el infinito.

capacidad de resolución: Longitud de onda dividida por la separación de longitud de onda más pequeña resoluble.

longitud de trayectoria óptica: Trayectoria geométrica ponderada por el índice de refracción a lo largo del rayo.

A waveform can contain many harmonics while having no sine terms at all. Reflection symmetry tells you which coefficients vanish before integration.

Prerequisites: 3, 47.

• Use orthogonality 正交性 to identify Fourier coefficients
• Exploit even and odd parity without discarding the constant term
• Relate component amplitudes to interference and physical waveforms

For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.

If f is even about the chosen origin, f(x)sin(nx) is odd and its symmetric integral is zero, so all b_n vanish. If f is odd, its mean and all a_n vanish. Symmetry depends on the origin: shifting the same physical signal can mix sine and cosine coefficients while leaving its harmonic frequencies unchanged. A nonnegative triangular waveform symmetric about x=0 can therefore have cosine harmonics and a nonzero mean without any sine harmonics.

For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.

A Fourier sum adds amplitudes with their phases. For equal coherent monochromatic amplitudes A meeting with phase difference φ, resultant squared amplitude is 2A²(1+cosφ), so intensity is 2I0(1+cosφ). It is 4I0 in phase and zero at φ=π. Incoherent averaging removes the cross term, yielding 2I0. Harmonics at different frequencies can construct a shape over time; their instantaneous sum is not the sum of their individual intensities. Identify whether the question concerns a waveform, time-average power or coherent interference.

For a real periodic function, use $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Even symmetry 偶对称 makes all sine coefficients zero because the integrand is odd. For $f(x)=|x|$ on $[-\pi,\pi]$,

Integration by parts supplies the second expression. The mean is $a_0/2=\pi/2$; only odd cosine harmonics survive. A cusp does not justify dropping the constant term.

Even symmetry removes sine coefficients, not the constant term or every cosine harmonic. Check the symmetry origin and whether fields are coherent before adding intensities.

orthogonality: A zero integral of the product of distinct basis functions over the specified interval.

Fourier coefficient 傅里叶系数: Weight of a sine, cosine or constant basis component in a periodic expansion.

Un refrigerador puede mover más calor que el trabajo suministrado. Esa razón es un coeficiente de rendimiento, no una eficiencia que deba ser menor que uno.

Prerrequisitos: 4.

• Aplique los signos de trabajo y calor de la primera ley a procesos gaseosos
• Comparar balances de entropía reversibles y áreas en ciclos P–V
• Diferenciar la eficiencia del motor del coeficiente de rendimiento del refrigerador

Usar ΔU=Q−W, donde Q es el calor que entra al sistema y W es el trabajo realizado por él. El trabajo cuasiestático de frontera es ∫P dV, positivo durante la expansión. Para una cantidad fija de gas ideal, la energía interna depende solo de la temperatura. A volumen constante W=0, así que ΔU=Q; para un proceso isotérmico de gas ideal ΔU=0, así que Q=W. Adiabático significa Q=0, no temperatura constante. En un ciclo completo, el estado se repite y ΔU=0, por lo que el calor neto iguala al trabajo neto aunque las transferencias individuales difieran.

Para la expansión isotérmica reversible de un gas ideal, PV es constante. Con capacidades caloríficas constantes, una trayectoria adiabática reversible sigue PV^γ=constante, con γ=Cp/Cv>1; a través del mismo estado inicial, su presión cae más rápido al aumentar el volumen. Una trayectoria isobárica es horizontal en un diagrama P–V. Un ciclo cerrado en sentido horario tiene ∮P dV positivo; invertir la dirección cambia el signo. Para unaloop rectangular, la magnitud es ΔPΔV, y para un triángulo es la mitad del área del rectángulo circunscrito correspondiente. Usar Pa y m³ para joules, no un valor de litro sin convertir.

Para transferencia de calor reversible, dS=δQ_rev/T; la entropía es una función de estado mientras que el calor depende de la trayectoria. Un proceso reversible de sistema más entorno tiene cambio total de entropía cero, pero la entropía del sistema solo puede aumentar o disminuir. Los procesos irreversibles espontáneos producen entropía total no negativa. Una expansión isotérmica reversible aumenta la entropía del gas en nR ln(V2/V1); el reservorio pierde esa misma cantidad. La reversibilidad no requiere temperatura constante del sistema, trabajo nulo ni cambio nulo de energía interna.

Un motor reversible entre TH y TC tiene eficiencia W/QH=1−TC/TH. Un refrigerador reversible tiene COP=QC/W=TC/(TH−TC), y una bomba de calor tiene QH/W=TH/(TH−TC). Usar temperaturas absolutas en kelvin. En un diagrama T–S reversible, la magnitud del calor a lo largo de una isotermal es T veces el cambio de entropía; el área del rectángulo de Carnot es la magnitud del trabajo. La refrigeración mueve calor de frío a caliente consumiendo trabajo, invirtiendo el ciclo del motor. El COP puede exceder uno sin violar la conservación porque el calor movido no proviene exclusivamente del trabajo.

Un refrigerador reversible transfiere entropía Delta S desde Tc hasta Th.

Un COP superior a uno es posible porque el calor se mueve, en lugar de ser totalmente producido por el trabajo.

La producción total de entropía cero no significa cambio nulo de entropía del sistema. Un refrigerador usa TC/(TH−TC), no la fórmula de eficiencia del motor.

producción de entropía: Entropía total no negativa generada por la irreversibilidad.

coeficiente de rendimiento: Calor útil transferido dividido por el trabajo de entrada para un refrigerador o bomba de calor.

A gas can have zero mean velocity while its particles have substantial average speed. Opposite directions cancel in a vector mean; speed has no sign.

Prerequisites: 4, 35.

• Normalise continuous speed densities and interpret their units
• Distinguish vector means, speed means and most probable speeds
• Use Boltzmann weights with degeneracy and a partition function 配分函数

For a continuous speed probability density 概率密度 f(v), f(v)dv approximates probability in a narrow interval and ∫from0to∞ f(v)dv=1. The density has inverse-speed units and is not itself a probability. If P(v)dv counts particles in that interval, its area is the particle count N and f=P/N. A trapezoid rising over width v0, remaining flat over width 2v0, then falling over width v0 has area 3av0 for height a. Normalise by area before computing a mean or interpreting a plotted height.

In an isotropic equilibrium gas without bulk flow, each velocity-component distribution is symmetric, so ⟨v_vector⟩=0. Speed v=|v_vector| is nonnegative and has positive mean. For a classical ideal gas, the Maxwell speed density is proportional to v²exp[−mv²/(2kBT)]. Its mode is sqrt(2kBT/m), its mean is sqrt(8kBT/(πm)) and its rms speed is sqrt(3kBT/m). These are three different quantities. The v² factor makes speed density zero at v=0, even though the velocity-vector density is largest at the zero vector.

For a continuous distribution, the probability of exactly one specified speed is zero; nonzero probabilities refer to intervals. This statement does not imply there are no particles with arbitrarily small speeds, or that a finite-resolution detector cannot record a zero bin. Temperature changes the scale of the Maxwell distribution: characteristic speeds are proportional to sqrt(T/m). Doubling temperature does not double the speed, and heavier particles are slower on average at the same temperature.

In a canonical ensemble 正则系综 at temperature T, a state of energy E_i has weight exp(−E_i/(kBT)). Divide by partition function Z=Σexp(−E_i/(kBT)) to obtain probabilities. If an energy level has degeneracy g_i, its level probability is g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Equal energy per state does not imply equal probability per level when degeneracies differ. For a ground level of degeneracy 1 and an excited level of degeneracy 2 at Δ=kBT ln2, the excited total weight is 2e^(−ln2)=1: the two levels each have probability 1/2. Classical Maxwell–Boltzmann assumptions differ from Bose–Einstein and Fermi–Dirac quantum occupations.

A canonical ensemble has ground degeneracy 1 and excited degeneracy g at gap Delta.

With g = 4 and $\Delta=k_BT\ln2$, This is probability for the entire excited level. Each of its four states has probability 1/6.

A density height is not a probability. Mean velocity, mean speed and mode differ; include degeneracy before normalising level probabilities.

probability density: Probability per unit of a continuous variable, whose integral gives interval probability.

partition function: Sum of statistical weights used to normalise equilibrium state probabilities.

A detector with ten percent efficiency does not register exactly ten photons out of every hundred. The count fluctuates even with stable efficiency.

Prerequisites: 47.

• Use binomial and Poisson count means and fluctuations
• Propagate small uncertainties with stated correlation assumptions
• Solve dimensional exponent constraints and check a model’s units

For N independent incident particles each detected with probability p, count X is binomial: mean Np and variance Np(1−p). The standard deviation is sqrt[Np(1−p)], not the variance itself. With large N and small p, a Poisson approximation 泊松近似 has mean λ=Np and variance λ, so deviation sqrt(λ). For N=200 and p=0.05, the exact mean is 10 and deviation sqrt(9.5)≈3.08, while Poisson gives sqrt(10)≈3.16. Neither model promises a fixed count. Correlated detections or dead time can invalidate independence.

For a smooth measured function y(x1,…), linearise changes using its partial derivatives. Independent small standard uncertainties combine in quadrature: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Correlated inputs require covariance cross terms. For y=x^a, fractional standard uncertainty 标准不确定度 is approximately |a|σ_x/|x|. Thus kinetic energy K=½mv² with negligible mass uncertainty has fractional uncertainty twice that of speed. With independent mass uncertainty, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². These approximations need small errors and a suitable local linear model.

Random scatter measures precision; a common calibration bias affects accuracy and does not disappear by averaging repeats. For independent repeated readings, the standard uncertainty of the mean falls as 1/sqrt(n), but shared systematic error does not. The uncertainty of a physical spread and uncertainty of its estimated mean are different quantities. State whether a quoted percentage is a standard uncertainty, confidence interval or worst-case bound. Summing absolute contributions is a conservative bound, not the independent-standard-error quadrature rule.

Dimensional analysis equates powers of mass, length and time, rather than numerical sizes. For a Planck-length form G^a $\hbar$^b c^d, dimensions are [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T and [c]=L/T. Requiring length gives −a+b=0, 3a+2b+d=1 and −2a−b−d=0. Hence a=b=1/2 and d=−3/2, so length is sqrt(G$\hbar$/c³). Dimensional analysis cannot determine an arbitrary dimensionless coefficient or prove that the chosen constants are physically sufficient. Reject a formula with wrong units before inserting numbers.

For independent small standard uncertainties in $K=mv^2/2$, differentiate first.

With relative uncertainties 3% in mass and 2% in speed, A worst-case bound would use a sum, not this quadrature. Correlations require covariance terms.

Do not confuse mean count with guaranteed count, variance with standard deviation, or a random standard error with a calibration bias. Dimensional consistency is necessary but not sufficient.

standard uncertainty: Uncertainty expressed as a standard deviation under a stated measurement model.

Poisson approximation: Rare independent-event count model with variance equal to its mean.

A fast unstable particle can travel farther in the laboratory than its rest-frame lifetime multiplied by its speed would suggest.

Prerequisites: 6, 42.

• Relate proper lifetime to laboratory time and distance
• Use invariant energy–momentum and relativistic kinetic energy
• Infer longitudinal recession speed from wavelength ratio

For relative speed v, define β=v/c and γ=1/sqrt(1−β²). Proper time 固有时 is measured along the particle’s worldline by a clock at rest with it. If its proper mean lifetime is τ0, its laboratory mean lifetime is γτ0 and mean travel distance is vγτ0 at constant speed. The decay is statistical: mean lifetime is not a guaranteed decay time for each particle. At β=0.8, γ=5/3. Compute spacetime events consistently in one frame; proper time and coordinate time are different quantities.

Total energy 总能量 is E=γmc², momentum p=γmv and invariant E²−p²c²=m²c⁴. When E and pc are expressed in the same energy units, find mc²=sqrt(E²−(pc)²), not E−pc. The nonnegative square root is required for positive rest mass. For E=13 GeV and pc=12 GeV, rest energy 静能 is 5 GeV and mass is 5 GeV/c². A massless particle has E=pc but need not have zero energy or momentum. These relations concern isolated-particle four-momentum, not classical mv at relativistic speed.

Work accelerating a particle from rest equals kinetic energy K=E−mc²=(γ−1)mc². At β=0.6, γ=1.25 and K=0.25mc², while the classical ½mv² gives 0.18mc². Classical kinetic energy is the low-speed expansion and becomes inaccurate near c. Finite acceleration work increases γ rather than allowing a massive particle to reach or exceed c. Keep total energy, rest energy and kinetic energy distinct when interpreting answer units.

For purely longitudinal relative recession in special relativity, wavelength ratio r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). Rearranging gives β=(r²−1)/(r²+1). A ratio r=2 gives β=3/5, not c times r−1 from a low-speed approximation. Blueshift uses r<1 and a negative recession parameter under this convention. The formula assumes the shift is entirely kinematic; cosmological expansion or gravitational redshift requires a different model. State the question’s stipulated model before interpreting a spectral ratio.

Total energy and momentum determine invariant rest energy.

For E = 17 GeV and pc = 15 GeV, Rest mass is 8 GeV/c squared. Do not subtract momentum directly from energy.

Do not use the proper lifetime as laboratory time, subtract pc from E to find rest mass, or apply the classical Doppler approximation to a large wavelength ratio.

proper time: Time recorded by a clock moving with the object along its worldline.

rest energy: Energy mc² associated with an object’s rest mass.

Repeated equally spaced current dips can represent repeated losses of the same excitation energy, rather than a sequence of different atomic levels.

Prerequisites: 7.

• Distinguish photoelectric thresholds and characteristic X rays
• Apply reduced-mass spectral scaling and many-electron spin filling
• Interpret Franck–Hertz energy spacing without inventing new levels

Photoelectric maximum kinetic energy is Kmax=hν−ϕ for photon frequency above threshold ν0=ϕ/h. A stopping-potential magnitude satisfies eVs=Kmax, so Vs is linear in ν above threshold. Increasing intensity at fixed frequency increases the available photon count and usually photocurrent, not maximum photoelectron energy. Below threshold the simple one-photon model emits no photoelectrons regardless of intensity. Work function 逸出功 is a property of the surface, not proportional to the illumination frequency.

Characteristic X rays result when an electron fills an inner-shell vacancy, emitting a photon equal to the shell energy difference. Their sharp lines depend on target atoms. Bremsstrahlung arises from deceleration of energetic electrons in nuclear electric fields and produces a continuous background, with an energy endpoint set by the incident electron energy. A continuous background and discrete lines can appear together; the existence of one does not exclude the other. These mechanisms differ from visible fluorescence, phonon scattering and particle capture.

For a hydrogen-like two-body atom, replace electron mass by reduced mass μ=m_eM/(m_e+M). In the simple Coulomb model, level energies scale as −μZ²/n², so spectral frequencies scale as μZ² and wavelengths inversely. For positronium M=m_e, μ=m_e/2 and its Rydberg constant is half the infinite-nuclear-mass value. For a heavy nucleus μ approaches m_e. In many-electron atoms, use orbital filling and Hund’s rule rather than the hydrogen model: degenerate orbitals are occupied singly with parallel spins before pairing. Carbon’s 2p² gives two unpaired electrons and total spin S=1; oxygen’s 2p⁴ has two unpaired electrons and also S=1. Filled pairs contribute zero net spin.

In Franck–Hertz experiments, accelerated electrons lose energy through inelastic excitation once they reach an atomic threshold. Repeated current-dip or peak spacing in accelerating voltage can therefore identify the same excitation energy lost one, two or more times. A spacing ΔV corresponds to energy eΔV; peaks at 4,8,12 V need not represent three separate excited-level energies. Contact potentials and retarding fields can shift absolute peak positions, so use the spacing and stated apparatus conditions. If the excited atom returns by one photon of that energy, wavelength is hc/(eΔV).

In the one-photon photoelectric effect 光电效应, use the surface work function phi.

For photon energy 4.5 eV and phi = 2.0 eV, The stopping-potential magnitude is 2.5 V. Higher intensity at the same frequency changes the available electron rate, not this maximum energy.

Current intensity and stopping voltage answer different questions. Include reduced mass and orbital degeneracy, and use Franck–Hertz spacing rather than treating every peak as a new energy level.

work function: Minimum energy required to remove an electron from the specified surface.

reduced mass: Two-body effective mass m1m2/(m1+m2) for relative motion.

Una onda cuántica puede reflejarse en un escalón de potencial descendente, aunque una partícula clásica no tenga punto de retorno allí.

Prerrequisitos: 5.

• Hacer coincidir ondas viajeras y flujos a través de cambios de potencial finitos
• Contar estados degenerados del oscilador isotrópico
• Evaluar productos de Pauli y distinguir la anticonmutación de la igualdad

Para un potencial constante V y energía E>V, las soluciones espaciales son factores viajeros exp(±ikx), con k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. En escalones finitos con la misma masa de partícula, la función de onda y su primera derivada son continuas. En un problema de dispersión incidente desde la izquierda sin haz entrante desde la derecha, la solución lejana a la derecha contiene únicamente el factor de viaje hacia la derecha Ae^(ikx). Si un pozo finito vuelve al potencial externo original, el número de onda externo transmitido es igual al incidente, aunque el número de onda interior difiere. Las soluciones exponencialmente decrecientes describen regiones E<V, no todos los pozos de potencial.

Para un escalón de V1 a V2 con ambas regiones clásicamente permitidas, escriba la amplitud incidente más reflejada en la región 1 y la amplitud transmitida en la región 2. La continuidad da r=(k1−k2)/(k1+k2) y t=2k1/(k1+k2). La probabilidad de reflexión es R=|r|²; la transmisión es T=(k2/k1)|t|² porque la corriente de probabilidad depende del número de onda. Así R+T=1 para un escalón sin pérdidas. No sume la amplitud transmitida cuadrada bruta a R sin su factor de corriente. Con k2=3k1, R=1/4 y T=3/4 a pesar de un escalón descendente.

Un oscilador isotrópico tridimensional se separa en modos x, y, z con enteros no negativos n_x, n_y, n_z. Su energía es (N+3/2)$\hbar$ω, donde N=n_x+n_y+n_z. Para una sola partícula distinguible de espín cero, la degeneración espacial es el número de tales triples: (N+1)(N+2)/2. Esto cuenta asignaciones diferentes, no solo particiones desordenadas distintas. Para N=2, los seis estados son permutaciones de (2,0,0) y (1,1,0). Para N=3, la degeneración es 10. Restricciones adicionales de espín o partículas idénticas cambiarían el problema de conteo.

Las matrices de Pauli son σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Cada una se eleva al cuadrado para dar la identidad. La multiplicación directa da σ_xσ_y=iσ_z y σ_yσ_x=−iσ_z, por lo que las matrices de Pauli distintas anticonmutan. Los productos cíclicos x→y→z tienen i positivo; invertir el orden cambia el signo. La identidad general es σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. El orden matricial importa: σ_xσ_z=−iσ_y, no iσ_y ni simplemente σ_y. Estas matrices adimensionales se convierten en operadores de espín S_i=$\hbar$σ_i/2, añadiendo unidades físicas y factores.

En un escalón de potencial finito, hacer coincidir la función de onda y la derivada para la misma masa de partícula.

La probabilidad de transmisión usa corriente, no solo amplitud. Para $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. La reflexión ocurre incluso para un escalón descendente. Su signo de fase desaparece al tomar la probabilidad.

La probabilidad de transmisión necesita la razón de corrientes del número de onda. La degeneración del oscilador cuenta triples ordenados de modos. No invierta el orden de las matrices de Pauli sin cambiar su signo.

coeficiente de reflexión: Fracción de corriente de probabilidad reflejada respecto a la corriente incidente.

degeneración: Número de estados independientes que comparten la energía especificada.

Medir solo la conductividad no dice si electrones o huecos dominan el transporte. Una medición magnética de Hall proporciona una prueba sensible al signo.

Requisitos previos: 8, 46.

• Comparar la energía de enlace por nucleón y la energía de reacción
• Diferenciar leptones, mesones y bariones con restricciones de conservación
• Inferir el signo del portador dominante a partir del modelo Hall de un solo portador

La energía de enlace B es la energía necesaria para separar un núcleo en sus nucleones libres constituyentes, igual al correspondiente defecto de masa multiplicado por c². La energía de enlace por nucleón B/A es la comparación relevante entre diferentes números másicos; un núcleo más pesado puede tener mayor B total pero menor B/A. El máximo amplio de B/A se encuentra cerca de la región del hierro/níquel. La fusión de núcleos ligeros y la fisión de núcleos muy pesados pueden liberar energía cuando los productos tienen mayor energía de enlace total. Para una reacción, Q=(masa en reposo inicial−masa en reposo final)c²; Q positivo significa energía liberada. Siempre comparar los isótopos especificados y los productos finales reales, no solo sus nombres de elemento.

Los leptones como electrones, muones y neutrinos no están compuestos por quarks constituyentes en el Modelo Estándar. Un muón negativo tiene carga −e y espín 1/2, similar al electrón, pero tiene diferente masa y pertenece a una familia de sabores distinta; no es un mesón a pesar de su nombre histórico. Los hadrones contienen quarks: los mesones ordinarios tienen un quark y un antiquark, y los bariones ordinarios tienen tres quarks. Los antibariones correspondientes tienen tres antiquarks. Estos modelos elementales de clasificación no implican que toda partícula compuesta sea simplemente un barión o un mesón.

Verificar carga, energía, momento, número bariónico y números leptónicos relevantes en un proceso propuesto. Los quarks uud de un protón suman carga +e; los quarks udd de un neutrón suman cero. La desintegración beta-negativa n→p+e−+antineutrino conserva la carga eléctrica e incluye el antineutrino para equilibrar el número leptónico y la cinemática. La masa de una partícula por sí sola no la clasifica como quark, lepton o hadrón. Los umbrales de reacción pueden requerir energía cinética además de la diferencia exotérmica de masa en reposo cuando aplican otras restricciones.

En un conductor simple de un solo portador, la fuerza de Lorentz magnética transversal construye un campo eléctrico Hall hasta que la fuerza del portador transversal se equilibra. Con una convención tensorial/signo establecida, el coeficiente Hall es R_H=1/(nq); q negativo da un coeficiente negativo tipo electrón, y q positivo da un coeficiente positivo tipo hueco. La magnitud de la resistividad por sí sola no revela este signo. Establecer direcciones de corriente, campo magnético y voltaje consistentemente antes de leer la polaridad bruta. Los semiconductores donde contribuyen tanto electrones como huecos requieren un modelo de dos portadores ponderado por movilidad; el coeficiente simple no debe ser igual al inverso de la densidad total de portadores.

En un modelo de efecto Hall de un solo portador, use $R_H=1/(nq)$ con una convención fija de terminales. Para electrones, q = -e, n = $5.0\times10^{22}$ por metro cúbico,

Un coeficiente negativo indica portadores tipo electrón bajo este modelo, no una densidad negativa. La polaridad de voltaje bruta solo es significativa con direcciones de campo y terminales declaradas.

Compara la unión por nucleón, no solo la unión total. Un muón es un lepton, y el signo Hall requiere la convención de medición declarada y el modelo de portador.

energía de enlace por nucleón: Energía de enlace nuclear dividida por el recuento de nucleones.

coeficiente Hall: Proporcionalidad firmada que relaciona el campo Hall transversal con la densidad de corriente y el campo magnético bajo una convención establecida.

La tensión de un péndulo cambia durante el balanceo, pero su ecuación angular puede derivarse sin resolver para la tensión.

Requisitos previos: 1, 47.

• Derivar el movimiento de Euler–Lagrange tras imponer una restricción holonómica
• Utilice una coordenada cíclica para identificar el momento canónico conservado
• Linealice un equilibrio estable y verifique la frecuencia resultante

Una restricción elimina una coordenada independiente antes de formar la energía cinética. Para un péndulo de longitud fija, elija θ desde la vertical descendente: x=l sinθ y y=−l cosθ. Diferenciar ambas coordenadas da v²=l²θdot², no l² sin²θ θdot². Así T=ml²θdot²/2 y V=mgl(1−cosθ), con potencial cero en el fondo. La longitud fija es una restricción holónoma: es una relación entre coordenadas y posiblemente el tiempo. Una restricción de velocidad de rodadura requiere su propio análisis; no trate automáticamente cada restricción como una sustitución de coordenadas.

Para restricciones ideales y sistemas conservativos usuales, la ecuación de acción estacionaria es d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 con L=T−V. Las variaciones se anulan en los dos extremos temporales. Un péndulo da ∂L/∂θdot=ml²θdot y ∂L/∂θ=−mgl sinθ, así ml²θddot+mgl sinθ=0. La derivada del momento actúa sobre cada factor dependiente del tiempo: para un radio variable, d(mr²θdot)/dt contiene 2mr rdot θdot. El método variacional no implica que la energía mecánica se conserve en un sistema dependiente del tiempo.

Para movimiento central plano, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). El ángulo θ es cíclico porque L no tiene dependencia explícita en θ, aunque L depende de θdot. Su momento canónico pθ=mr²θdot es constante. La ecuación radial es m rddot=mrθdot²−dV/dr. El primer término es parte de la aceleración de coordenadas, no una nueva fuerza real hacia afuera en un marco inercial. La conservación de pθ hace que la velocidad angular aumente cuando r disminuye; una velocidad angular constante es una situación diferente, impulsada externamente.

Cerca de un equilibrio estable q0, expanda V al segundo orden y use una inercia local constante M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Luego la frecuencia de desplazamiento pequeño es sqrt(V″/M). Para un péndulo sinθ≈θ en radianes, ω=sqrt(g/l); la aproximación requiere pequeña amplitud. Un V″ negativo da inestabilidad, no una oscilación con una frecuencia medible imaginaria. Revise primero la ecuación no lineal completa, luego plantee la aproximación y compare unidades: V″/M debe tener unidades de inverso del tiempo al cuadrado.

Para una longitud fija de péndulo l, use theta desde la vertical descendente: x = l sin theta, y = -l cos theta. Ambas velocidades cartesianas dan $T=ml^2\dot\theta^2/2$ y $V=mgl(1-\cos\theta)$. La ecuación de Euler-Lagrange— es

Divida por $ml^2$ antes de linealizar: La aproximación usa radianes. Las variaciones en los extremos se anulan en la derivación de acción estacionaria.

Una coordenada cíclica está ausente en L mismo; su velocidad no necesita estar ausente. No descartar la derivada temporal de un factor cambiar r².

restricción holónoma: Una restricción expresable como una relación entre coordenadas y posiblemente el tiempo.

coordenada cíclica: Una coordenada ausente explícitamente en el Lagrangiano, con momento canónico conservado bajo la ecuación de Euler–Lagrange.

Una persona quieta sobre una plataforma giratoria necesita una fuerza real hacia adentro, aunque su aceleración relativa a la plataforma sea cero.

Prerrequisitos: 26.

• Transformar la aceleración con términos de marcos translacionales y rotacionales
• Determinar las direcciones centrífuga, de Coriolis y Euler a partir de productos cruzados
• Separar fuerzas aparentes de interacciones reales y verificar límites inerciales

En un marco translacional con aceleración de origen A, la ecuación de Newton se convierte en m a′=F_real−mA. Un ascensor que acelera hacia arriba tiene N−mg=ma en el marco del suelo, o N−mg−ma=0 para su pasajero estacionario en el marco del ascensor. Son las mismas predicciones. El término adicional es una fuerza aparente causada por las coordenadas aceleradas elegidas; no es un nuevo contacto con otro cuerpo. La traducción uniforme con A=0 cambia la velocidad pero no requiere fuerza aparente.

Para una base rotativa, derivar un vector añade Ω×a ese vector. Aplicarlo dos veces da a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Aquí r y v′ se miden relativas al origen móvil en sus ejes rotativos; todos los vectores en un cálculo deben expresarse en la misma base en el mismo instante. Mover los tres últimos términos rotacionales al lado de la fuerza da Coriolis −2mΩ×v′, centrífuga −mΩ×(Ω×r) y Euler −mΩdot×r. Una rotación constante elimina el término Euler, no el de Coriolis.

Tomar Ω a lo largo de +z, una plataforma antihoraria vista desde arriba, y una partícula en r a lo largo de +x. La fuerza centrífuga está a lo largo de +x con magnitud mΩ²r. Si la partícula se mueve hacia afuera con v′ a lo largo de +x, entonces Ω×v′ es +y, así que la fuerza de Coriolis apunta −y. Invertir la velocidad relativa invierte Coriolis; mantener v′=0 lo hace desaparecer. Coriolis es perpendicular a v′ y no realiza trabajo instantáneo sobre ese movimiento relativo. La fuerza centrífuga se aleja del eje de rotación, no necesariamente del origen elegido en una posición tridimensional arbitraria.

Un cuerpo en reposo sobre la plataforma tiene a′=v′=0. Con rotación constante y origen fijo, su fuerza real debe ser mΩ×(Ω×r), hacia adentro, cancelando el término aparente hacia afuera en la ecuación rotativa. Si la rotación cambia, también debe haber una fuerza real tangencial para balancear el término Euler. Siempre verificar Ω→0 y A→0: el movimiento newtoniano inercial ordinario debe recuperarse. No mezclar el requisito real centripeto hacia adentro con una reacción real añadida hacia afuera sobre el mismo cuerpo; los socios de interacción pertenecen a diagramas de cuerpo libre separados.

En un marco rotativo, la fuerza de Coriolis usa la velocidad relativa.

Para m = 2 kg, Omega = 2 rad/s a lo largo de z, r = 1 m a lo largo de x y v' = 3 m/s a lo largo de x, La fuerza Euler es cero solo porque Omega es constante. Estos son términos de coordenadas, no contactos físicos adicionales.

La velocidad relativa v′ pertenece en el término de Coriolis. Usar la velocidad inercial completa cuenta la rotación dos veces.

Fuerza de Coriolis: La fuerza aparente del marco rotativo −2mΩ×v′ causada por el movimiento relativo.

Fuerza centrífuga: La fuerza aparente del marco rotativo −mΩ×(Ω×r), dirigida lejos del eje de rotación.

Una tubería estrecha transporta la misma tasa de flujo estable que una tubería ancha, pero su comportamiento de presión depende tanto de la velocidad como de las pérdidas viscosas.

Requisitos previos: 10, 47.

• Combinar la continuidad incompresible con presión, altura y energía cinética
• Aplicar las relaciones hidrostáticas y de Bernoulli solo bajo sus condiciones establecidas
• Usar viscosidad, escalado de Poiseuille y número de Reynolds para distinguir regímenes de flujo

Para un flujo estable, la masa que pasa por secciones transversales sucesivas por unidad de tiempo es igual: ρAv es constante. Un líquido incompresible tiene casi densidad (ρ) constante, por lo que Q=Av es la tasa de volumen. Reducir a la mitad el radio de la tubería reduce el área a la cuarta parte y multiplica la velocidad media en cuatro para el mismo Q. La presión no determina Q sin un modelo del resto del sistema. En un líquido estacionario, dp/dz=−ρg con z hacia arriba; por lo tanto, la presión aumenta en ρgh a una distancia h debajo de una superficie. Use presión absoluta o manométrica consistentemente en ambos lados.

Para un flujo estable, incompresible e inviscido a lo largo de una línea de corriente sin bomba ni pérdida disipativa, la ecuación de Bernoulli da p+ρv²/2+ρgz=constante. Estos tres términos son energía por volumen y tienen unidades de presión. A igual altura, mayor velocidad requiere menor presión estática bajo estas suposiciones. Una salida más alta también usa energía de presión/cinética para ganar energía gravitatoria. Bernoulli a lo largo de una sola línea de corriente no implica necesariamente la misma constante en líneas de corriente diferentes en flujos rotacionales. Un punto de estancamiento tiene v=0 y convierte la energía de velocidad local en un aumento de presión en el modelo ideal.

La viscosidad transporta momento entre capas adyacentes de fluido. Para un flujo laminar completamente desarrollado estable de un líquido newtoniano incompresible en un tubo circular, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Aquí Δp es la caída de presión a lo largo del tubo, η es la viscosidad dinámica y L es la longitud del tubo. Duplicar el radio a Δp, η y L fijos multiplica Q en dieciséis. Duplicar Q a geometría fija necesita el doble de caída de presión. Esta pérdida de presión viscosa no puede sumarse a una ecuación de Bernoulli sin pérdidas como si nada cambiara; incluya una pérdida de presión/carga disipativa o use el modelo viscoso.

El número de Reynolds Re=ρvD/η compara efectos inerciales y viscosos usando velocidad característica v y longitud D. Para una tubería, use la velocidad media y el diámetro interno, no el radio. Re es adimensional: densidad por velocidad por longitud tiene las mismas unidades que la viscosidad dinámica. Un Re pequeño favorece el dominio viscoso; la transición a turbulencia depende de la geometría y perturbaciones, por lo que un umbral único no es una ley universal. El escalado de Poiseuille no es seguro después de asumir un flujo turbulento. Verifique la continuidad volumétrica, el signo del cambio de presión y el régimen antes de seleccionar una fórmula.

Un flujo estable, incompresible, horizontal e ideal tiene áreas 4 y 1 centímetros cuadrados. En la primera sección la velocidad es 1 m/s. La continuidad y Bernoulli dan

Estas relaciones asumen ausencia de bomba, pérdida de viscosidad o cambio de altura. Un tubo real estrecho puede violarlas.

La continuidad mantiene Q constante a través de una sola tubería estacionaria; Poiseuille compara Q entre diferentes sistemas a una caída de presión especificada. Indique qué se mantiene fijo antes de comparar potencias de radio.

tasa de flujo volumétrico: Volumen que cruza una sección por unidad de tiempo, Q=Av para velocidad media v.

viscosidad dinámica: Coeficiente que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidad en un fluido newtoniano.

Introducir un dieléctrico en un capacitor cambia el campo de forma diferente según si la batería permanece conectada o no.

Prerrequisitos: 13, 15.

• Relacionar carga libre y ligada con D, E y polarización
• Comparar cambios dieléctricos con carga fija y voltaje fijo
• Usar respuesta constitutiva magnética y condiciones de contorno de corriente libre

La polarización eléctrica P es el momento dipolar eléctrico por unidad de volumen, medido en C/m². Definir D=ε₀E+P para que ∇·D=ρ_libre; la carga total, incluyendo la ligada, sigue apareciendo en ∇·E=ρ_total/ε₀. La carga volumétrica ligada es ρ_b=−∇·P y la carga superficial ligada es σ_b=P·n, donde n apunta hacia afuera del material. Una P uniforme no produce carga ligada en el volumen, pero puede generar cargas superficiales de signo opuesto. Un dieléctrico no es un metal ideal: la polarización no necesariamente anula su campo eléctrico interno.

Para un dieléctrico lineal e isótropo, P=ε₀χ_e E y D=εE con ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. Estas simples relaciones escalares asumen una respuesta lineal e ignoran la anisotropía, la dispersión fuerte y los efectos no lineales. En un capacitor de placas paralelas grande y completamente lleno, con efectos de borde despreciables, D normal a las placas iguala a la densidad superficial de carga libre. Si σ_libre se mantiene fijo, aumentar ε reduce E=σ_libre/ε. Las cargas ligadas se oponen al campo aplicado; su magnitud no es automáticamente igual a la carga de las placas libres.

Para área de placa A y separación d, C=εA/d. Desconectar la batería fija la carga libre Q: V=Q/C disminuye y la energía almacenada U=Q²/(2C) disminuye cuando un dieléctrico aumenta C. Dejar una fuente de voltaje ideal conectada fija V: Q=CV y la energía almacenada U=CV²/2 aumentan. La fuente suministra energía y mover el dieléctrico puede implicar trabajo mecánico; comparar la cantidad de energía eléctrica declarada en lugar de asumir que el capacitor solo es un sistema aislado. En una interfaz de material n·(D₂−D₁)=σ_libre, mientras que E tangencial estático es continuo. E normal generalmente cambia cuando cambia la permitividad.

La magnetización M es el momento dipolar magnético por unidad de volumen, medido en A/m. En el SI, B=μ₀(H+M); para una respuesta lineal e isótropa M=χ_m H y B=μ₀(1+χ_m)H. B y H tienen diferentes unidades y roles. Un solenoide largo y uniforme tiene H≈nI cuando los efectos de extremo y desmagnetizantes son despreciables; la respuesta del material entonces cambia B. La corriente superficial libre establece n×(H₂−H₁)=K_libre, y B normal permanece continuo. La histéresis ferromagnética y la saturación no pueden representarse con una sola constante χ_m para todo el campo.

Un capacitor se desconecta antes de insertar un dieléctrico lineal con permitividad relativa 4. La carga libre se mantiene fija; la capacitancia se vuelve cuatro veces su valor original.

Si una batería ideal permanece conectada en cambio, V se mantiene fijo: La fuente intercambia energía. No comparar carga aislada y voltaje fijo como el mismo experimento.

Utilice la carga libre en la ecuación de D y la carga total en la ecuación de E. No confunda Q fija con V fija, ni identifique numéricamente B con H.

polarización eléctrica: Momento dipolar eléctrico por unidad de volumen, P, que contribuye a la carga ligada.

magnetización: Momento dipolar magnético por unidad de volumen, M, que entra en B=μ₀(H+M).

A capacitor voltage and an inductor current cannot change instantly under finite ordinary circuit drives, but their steady-state behaviour is different.

Prerequisites: 14.

• Solve RC charging and discharging with stated initial conditions
• Solve RL current response and account for stored energy
• Use complex impedance, phase and resonance in sinusoidal circuits

For a resistor R in series with a capacitor C and a DC source V_s, Kirchhoff’s voltage law is R dq/dt+q/C=V_s. Define V_C=q/C and τ=RC. After a switch to a constant source, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). An initially uncharged capacitor therefore has V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) and charging current I=(V_s/R)exp(−t/τ). With the source removed and the resistor connected across it, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Capacitor voltage is continuous across the switch if there is no impulsive current; the resistor current may change instantly.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

An RC circuit switches to fixed source voltage Vs. Charge conservation and Kirchhoff's law give

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, The time constant 时间常数 controls the remaining difference from the final state.

RC has τ=RC, while RL has τ=L/R. Do not confuse current amplitude with rms current, or resonance of a driven impedance with damped free-oscillation frequency.

time constant: The exponential response scale, RC for an RC circuit and L/R for an RL circuit.

impedance: The complex voltage-to-current phasor ratio in sinusoidal steady state.

Inserting a third polariser 偏振片 between crossed filters can increase the transmitted intensity, even though every filter removes energy.

Prerequisites: 3.

• Calculate successive ideal analyser transmissions from the immediate input state
• Distinguish linear, circular and elliptical field motion using relative phase
• Use Brewster incidence with refractive-index and plane-of-incidence conventions

For propagation along z, a transverse electric field can have x and y components. Linear polarisation means the field oscillates along one fixed line; an ideal analyser transmits the projection along its axis. Field amplitude becomes E cosθ, so intensity becomes I cos²θ. Here θ is between the incoming polarisation and that analyser, and I is the intensity immediately before it. An unpolarised beam is a statistical mixture of transverse orientations; an ideal first polariser passes half its mean intensity. The outgoing beam is then linearly polarised along the filter axis. Do not apply a new factor of one half at every later filter, or use one angle to the original source for the whole chain.

After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.

Write E_x=A cosωt and E_y=B cos(ωt+δ) at a fixed point. Equal or opposite phases give a line, including a line at an oblique angle; equal nonzero amplitudes and a quarter-cycle phase difference give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.

For incidence from transparent nonmagnetic medium n₁ into n₂, Brewster’s angle measured from the normal satisfies tanθ_B=n₂/n₁. At that angle, the reflected p component, whose electric field lies in the plane of incidence, vanishes in the ideal dielectric model. Reflected light from unpolarised input is then s polarised, perpendicular to that plane. Snell’s law gives a refracted angle complementary to θ_B. This is distinct from the critical-angle condition sinθ_c=n₂/n₁, which needs n₁>n₂ and concerns total internal reflection. Brewster reflection does not imply that the entire incident intensity is reflected or that the transmitted beam is completely polarised.

An ideal first polariser transmits half of unpolarised incident intensity I0. Each later analyser uses the angle from the immediately preceding axis. For axes 0, 30 and 90 degrees,

The field after each filter points along that filter's axis. Using only the first and last axes would predict zero incorrectly.

Malus intensity uses cos² of the angle to the immediately preceding polarisation; a phase plate changes relative phase, while a polariser removes a field component.

Malus’s law 马吕斯定律: Ideal linear-analyser intensity law I_out=I_in cos²θ for linearly polarised input.

Brewster angle 布儒斯特角: Incidence angle at which the reflected p component vanishes for the ideal dielectric interface.

Two equal slits can have the right path difference for constructive interference and still deliver no intensity at that angle.

Prerequisites: 3, 17.

• Derive and evaluate the far-field single-slit intensity using amplitude superposition
• Separate double-slit interference spacing from finite-aperture envelope 包络线 width
• Identify missing orders and state the limits of far-field and small-angle formulas

For a uniformly illuminated slit of width a, far-field contributions across its opening arrive with a phase gradient k sinθ. Add their complex amplitudes before squaring: the normalised integral over x from −a/2 to a/2 is sinβ/β, where β=πa sinθ/λ. The intensity ratio is (sinβ/β)². At θ=0 take the limit sinβ/β→1, rather than calling the centre undefined or dark. Zeros occur at a sinθ=mλ with nonzero integer m. The central peak lies between the first zeros and is twice as wide as one adjacent zero-to-zero interval in sinθ. Side-peak maxima are not exactly halfway between their zeros.

At small angles on a distant screen L away, y≈Lθ and sinθ≈θ give first zeros y≈±Lλ/a. Thus the central width is 2Lλ/a. Use metres consistently: a millimetre slit and a nanometre wavelength differ by six powers of ten. For a wider angle, use θ=asin(mλ/a) and y=L tanθ; the small-angle y expression then becomes inaccurate. Far-field conditions need nearly parallel rays from different parts of the aperture, for example L much greater than a²/λ, or the equivalent focal-plane arrangement. Near-field Fresnel patterns cannot be assigned this intensity law blindly.

For two coherent identical uniformly illuminated slits of width a and centre separation d, the normalised pattern is (sinβ/β)² cos²α, with α=πd sinθ/λ and central intensity as the normalisation. The cos² factor produces interference orders d sinθ=nλ; the single-slit factor gives the broader envelope zeros. Small-angle neighbouring interference spacing is λL/d. Increasing d narrows fringe spacing; increasing a narrows the envelope. These are separate changes. The equal-height narrow-slit interference formula alone does not predict the diminishing brightness or missing orders of finite apertures. Incoherent sources do not maintain the same phase-dependent cross term.

A missing order 缺级 occurs when nλ/d=mλ/a simultaneously, giving n=m d/a. If d/a is an integer r, orders ±r, ±2r and so on are cancelled by aperture zeros. Do not count an order at an envelope boundary as a visible bright fringe. In the central envelope, the nominal interference-order centres satisfy |n|<d/a; when r is an integer there are 2r−1 such centres. For finite slit width, exact local maxima are shifted slightly by the changing envelope, so the interference-order locations are an approximation to observed peak centres. Identify what quantity is being requested before treating every cos² maximum as an exact maximum of the product.

For two finite slits, separate interference spacing from the single-slit envelope.

If d = 5a, the first envelope zero $a\sin\theta=\lambda$ coincides with order n = 5. Nominal order centres in the central envelope are n = -4 through +4: nine in total. These are interference centres; the envelope can shift the exact product maxima slightly.

Add field amplitudes before squaring, distinguish a from d, and exclude dark boundary orders. An interference maximum alone does not guarantee a maximum of the full pattern.

diffraction envelope 衍射包络: The aperture-dependent intensity factor that modulates the interference pattern.

missing order: An interference order cancelled because it coincides with an aperture intensity zero.

Una distancia de imagen negativa es un resultado geométrico que localiza una imagen virtual, no un cálculo fallido para reemplazar por su valor absoluto.

Prerrequisitos: 3.

• Localizar imágenes de lentes delgadas paraxiales y espejos esféricos con una convención de signo declarada
• Usar la magnificación con signo para clasificar la orientación y el carácter real o virtual
• Rastrear ubicaciones de imagen sucesivas como objeto del siguiente elemento sin restablecer la geometría

Use la convención de positivo-real para esta unidad: un objeto real envía rayos incidentes divergentes hacia el elemento, por lo tanto s>0; un haz incidente ya convergente puede representar un objeto virtual, s<0. A real image has s′>0, mientras que una imagen virtual tiene s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification 横向放大率 M=−s′/s. A converging lens 会聚透镜 has f>0 y una lente divergente f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; un s′ negativo coloca su imagen virtual en el lado de entrada. Enuncie la convención antes de la sustitución, ya que otras convenciones de coordenadas con signo producen ecuaciones visualmente diferentes.

Para una lente delgada convergente, un rayo paralelo al eje sale por el punto focal lejano, y un rayo a través del centro óptico ideal continúa sin desviarse. Su intersección identifica una imagen real; las extensiones hacia atrás pueden localizar una imagen virtual. La aproximación paraxial usa rayos cercanos al eje y descarta el espesor y las aberraciones. Con s>f>0, s′ es positivo y M es negativo: la imagen es real e invertida. Con 0<s<f, s′ es negativo y M es positivo: la imagen es virtual, derecha y aumentada. En s=f, los rayos emergentes son paralelos y no existe un plano de imagen finito. Una lente divergente con un objeto real produce una imagen virtual derecha, reducida.

Para un espejo esférico en la misma convención de positivo-real, cóncavo f>0 y convexo f<0, con f=R/2 en el límite paraxial. Una imagen reflejada real está frente al espejo en el lado de la luz entrante; una imagen virtual está detrás de él. Por lo tanto, una distancia de imagen positiva tiene un lado físico diferente para un espejo que para una lente transmisora. Un rayo paralelo se refleja a través del foco cóncavo; un rayo dirigido hacia el centro de curvatura reconduce su camino. Los rayos reflejados convexos divergen como si provenieran del foco detrás del espejo. Use la misma ecuación y M=−s′/s con valores con signo, en lugar de combinar silenciosamente la geometría del espejo con un diagrama de coordenadas de lente.

Para una secuencia de lentes separadas, primero calcule la coordenada de imagen real de la primera lente. Respecto a la siguiente lente, decida si los rayos entrantes divergen desde un punto antes de ella o aún convergen hacia un punto más allá; estos son objetos reales y virtuales respectivamente. Solo entonces asigne su distancia de objeto con signo y resuelva nuevamente. La magnificación transversal total es el producto de las magnificaciones individuales con signo para elementos alineados paraxiales. La separación de elementos no es automáticamente la segunda distancia de objeto. El carácter geométrico real/virtual depende de la convergencia, no de si la imagen final está aumentada. Estos resultados ideales no modelan la resolución de óptica de ondas ni las aberraciones esféricas/cromáticas.

Utilice distancias reales-positivas y longitud focal positiva para una lente convergente. Con f = 12 cm y distancia del objeto real s = 8 cm,

Así, s' = -24 cm y $M=-s'/s=+3$. La imagen virtual es derecha y se ubica en el mismo lado que el objeto. Las distancias con signo identifican el lado físico; una distancia negativa no es un error aritmético.

Mantenga los signos hasta que se interprete la geometría; una imagen de espejo positiva se ubica en el lado de incidencia, mientras que una imagen de lente transmisora positiva se ubica en el lado de salida.

imagen virtual: Imagen aparente localizada por extensiones hacia atrás de los rayos en lugar de convergencia real de rayos salientes.

magnificación transversal: Cociente con signo entre la altura de la imagen y la altura del objeto, −s′/s según la convención declarada.

Dos capas de pared en serie transportan la misma tasa de calor constante, pero sus caídas de temperatura pueden no ser iguales.

Prerrequisitos: 4.

• Combine resistencias térmicas conductivas y diferencie la tasa de calor del flujo de calor
• equilibre el calor sensible y latente con las condiciones de aislamiento y capacidad térmica indicadas
• Calcule la expansión térmica libre y la tensión térmica restringida con sus límites

Para la conducción estacionaria unidimensional a través de una placa uniforme, la ley de Fourier da el flujo de calor q_x=−κ dT/dx. Con conductividad constante κ, área A, longitud L y diferencia de temperatura ΔT de caliente a frío, la tasa de calor es Qdot=κAΔT/L. Defina la resistencia térmica R_th=L/(κA), medida en K/W; la caída de temperatura es Qdot R_th. Las capas en serie sin fuentes internas transportan el mismo Qdot y sus resistencias se suman. Los caminos paralelos a las mismas temperaturas terminales tienen tasas de calor que se suman, por lo que se suman las inversas de las resistencias. El flujo de calor es tasa por unidad de área, W/m², y puede no coincidir entre capas de diferente área. Deben incluirse la resistencia de contacto interfacial y las pérdidas de calor si se especifican.

La capacidad térmica C=dQ/dT depende de la termodinámica del proceso y no es lo mismo que el calor específico c por unidad de masa. Para un intervalo de material sin transición de fase, Q=∫mc(T)dT, o mcΔT cuando c es constante. En un calorímetro aislado, sume los cambios de energía de todos los objetos, incluyendo el recipiente cuando sea relevante, e iguale la suma a cero. En una transición de fase a su temperatura de equilibrio, la energía añadida puede cambiar la fracción de fase en lugar de la temperatura: Q=mℓ usa el calor latente ℓ en J/kg. Primero suministre el calor sensible para alcanzar la transición, luego presupueste el calor latente. No permita que un promedio simple de temperatura ponderada prediga una temperatura imposible cuando la fusión o congelación forma parte del proceso.

Para una barra en expansión libre y cambio de temperatura pequeño, ΔL≈αL₀ΔT con coeficiente de expansión lineal α. Para un sólido isotrópico con deformación pequeña, cada dimensión adquiere factor 1+αΔT, así que ΔA/A≈2αΔT y ΔV/V≈3αΔT. Un agujero se expande con el material circundante como si su región faltante también se hubiera expandido. Estas relaciones asumen un coeficiente casi constante y ninguna restricción mecánica; los cristales anisotrópicos necesitan coeficientes direccionales. Si una barra elástica se impide que cambie de longitud, su deformación mecánica cancela la deformación térmica. Con tensión de tracción positiva, σ≈−YαΔT durante el calentamiento, donde Y es el módulo de Young. Esta estimación de deformación pequeña requiere respuesta elástica sin fluencia ni pandeo.

La conducción transfiere energía a través de un gradiente de temperatura, la convección la transporta con materia en movimiento y la radiación térmica puede atravesar el vacío. Para una superficie a T expuesta a grandes alrededores a T_env, un modelo simple de cuerpo gris da una tasa neta de radiación εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Use kelvin absolutos en estas potencias cuartas, en lugar de valores en Celsius. Un cuerpo concentrado cuya temperatura interna permanece casi uniforme puede obedecer C dT/dt=−hA(T−T_env) bajo enfriamiento de Newton con h constante. Entonces el exceso de temperatura decae con τ=C/(hA), en lugar de que toda la temperatura en Celsius o kelvin decaiga hacia cero. Esta aproximación requiere gradientes internos suficientemente pequeños; un cuerpo limitado por la conducción necesita un modelo de temperatura espacial.

Dos láminas en serie transportan la misma tasa de calor estacionaria. Sean las resistencias 0.08 y 0.24 K/W. Las temperaturas de los bordes son 60 y 20 grados Celsius.

La interfaz está a 50 grados Celsius cuando la lámina 1 toca el lado caliente. La tasa de calor tiene unidades de vatios; el flujo la divide por área.

Mantenga W separado de W/m², incluya el calorímetro o la energía latente cuando sea necesario, y no use la longitud de expansión libre junto con supuestos de tensión restringida.

resistencia térmica: Diferencia de temperatura por tasa de transferencia de calor estacionaria, medida en K/W.

calor latente: Energía transferida durante un cambio de fase a su temperatura de transición; el calor latente específico es por unidad de masa.

A thermal energy gap can keep heat capacity small at both low and high temperatures, even while the excited-state probability keeps increasing.

Prerequisites: 20.

• Obtain canonical mean energy and free energy from a fixed energy spectrum
• Relate energy variance to constant-volume heat capacity with fixed-spectrum conditions
• Evaluate entropy and low/high-temperature limits for an original finite-level model

For a system exchanging energy with a bath at T while N and V remain fixed, let β=1/(kBT). Sum Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) over energy levels with their degeneracies. Level probability is g_i exp(−βE_i)/Z; mean energy U is the probability-weighted energy sum. Differentiating a temperature-independent spectrum gives U=−∂lnZ/∂β. Keep the energy gap and degeneracies fixed during the derivative. Writing Δ=kBT ln3 to describe one evaluation temperature must not be read as making Δ change with T. For N independent distinguishable identical two-level subsystems, Z_total=z^N and U_total=N u. Indistinguishable particles and interactions need their own state counting rather than this product assumption.

The Helmholtz free energy 亥姆霍兹自由能 is F=−kBT lnZ. Canonical entropy follows from S=kB(lnZ+βU), equivalently −kBΣ p_j ln p_j over individual microstates. Constant-volume heat capacity is C_V=(∂U/∂T)_V,N. These quantities carry different units and describe different derivatives. Adding a constant energy offset ε to every state multiplies Z by exp(−βε), increases U and F by ε, and leaves probabilities, entropy and heat capacity unchanged when ε is independent of T. A negative chosen mean energy is therefore not evidence of a negative heat capacity. Use the same energy reference in the probabilities and thermodynamic expressions.

The second β derivative of lnZ gives variance Var(E)=⟨E²⟩−U². For the same fixed-spectrum canonical model, C_V=Var(E)/(kBT²), so C_V/kB=β²Var(E). Nonnegative variance implies nonnegative C_V within these conditions. The denominator includes kB, not kB², when heat capacity retains its ordinary J/K units. This fluctuation formula concerns the canonical energy distribution; it does not say each particle has exactly the mean energy. For independent subsystems variances add, while means add too. Relative energy fluctuations typically shrink like 1/√N when the mean and per-subsystem variance remain finite and nonzero.

For one ground state at E=0 and one excited state at fixed E=Δ>0, put x=Δ/(kBT). Then z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc and C/kB=x²e^x/(1+e^x)². At low T, excitation and heat capacity vanish exponentially. At high T, p_exc tends to one half and energy saturates, so heat capacity tends to zero again. Entropy rises from zero for the unique ground state toward kB ln2 as the two states become equiprobable. The resulting finite-temperature heat-capacity peak is specific to the finite-level model; it is not the constant classical oscillator value. Ground-state degeneracy or additional levels would change the limiting entropy and temperature response.

Hold the two energy levels 0 and Delta fixed when differentiating the partition function 配分函数.

At $\beta\Delta=\ln3$, excited probability is 1/4, mean energy Delta/4, variance $3\Delta^2/16$ and $C_V/k_B=3(\ln3)^2/16=0.2263$. Degeneracy, if present, belongs in Z before differentiation.

Hold Δ fixed when differentiating, include degeneracies in Z, and use energy variance rather than the square of mean energy in the heat-capacity formula.

energy fluctuation 能量涨落: Canonical spread of energy about its ensemble mean, quantified by the energy variance.

Helmholtz free energy: Thermodynamic potential F=U−TS, equal to −kBT lnZ for the canonical ensemble.

A fermionic energy level can contain several particles when it contains several distinct states; the exclusion rule applies per complete state.

Prerequisites: 20, 35, 38.

• Compute mean occupation 平均占据数 per complete quantum state for fermions and bosons
• Count allowed identical-particle occupations and identify the classical dilute limit
• Compare classical quadratic-mode heat capacity with a quantum oscillator response

For noninteracting particles in thermal and particle exchange equilibrium, use chemical potential μ and x=(ε−μ)/(kBT). Mean occupation of one complete state is n_F=1/(e^x+1) for fermions and n_B=1/(e^x−1) for bosons. Fermionic occupation of that state is zero or one; its mean lies between them. Bosonic occupation can exceed one. A level of degeneracy g has total mean g times the single-state occupation when its states share the same energy. Count spin as part of a complete state. The Bose denominator requires ε>μ for the ordinary finite expression, with the ground-state limit treated separately. For equilibrium photons μ=0 because photon number is not conserved; do not set μ=0 for every material particle gas.

Count occupation patterns rather than labelling identical particles. Two identical fermions distributed among four distinct complete states have choose(4,2)=6 allowed patterns. Two identical bosons among those states have choose(4+2−1,2)=10 patterns because both may share one state. Two labelled distinguishable particles would have 4²=16 assignments. These are different counting models, not three interchangeable answers to the same specification. If a question supplies spin degeneracy, first decide whether its stated number counts complete states or just orbital levels. A Pauli prohibition on two identical complete states does not prohibit opposite-spin fermions in one spatial orbital.

When x is large and positive, occupation is small and both denominators are dominated by e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), the Maxwell–Boltzmann dilute limit. At x=ln4 the means are 1/5 for fermions, 1/3 for bosons and 1/4 in the classical approximation; the difference is still significant. A large total particle number alone does not justify classical statistics: density, temperature and accessible states control occupation. For fermions at low T, states below μ become nearly occupied and those above nearly empty. At ε=μ a fermionic state has mean one half; inserting that value into the ordinary Bose formula would instead produce a divergent denominator and requires different limiting treatment.

Classical equipartition assigns kBT/2 of mean energy to each independent quadratic term in an equilibrated Hamiltonian. A monatomic ideal gas has three translational terms, giving U=3NkBT/2 and C_V=3NkB/2. One classical one-dimensional harmonic oscillator has kinetic and potential terms, giving mean kBT and C=kB. For a quantum oscillator with fixed spacing ε=$\hbar$ω, the thermal energy above its temperature-independent zero point is ε/(e^x−1), now x=ε/(kBT), and C/kB=x²e^x/(e^x−1)². At high T it approaches the classical value; at low T excitation freezes out and C→0. A zero-point energy ε/2 shifts U but not C. Molecular rotational/vibrational contributions likewise need their energy scales checked before assigning classical quadratic terms.

Occupation number 占据数 refers to one complete single-particle state. For $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

The classical dilute approximation gives $e^{-x}=1/4$; it is not exact here. A g-fold level has mean total occupation $g\bar n$, so a fermionic level can contain more than one particle while each complete state still obeys exclusion.

Exclude two fermions from one complete state, not from an entire degenerate energy level. State which x is used; chemical-potential occupations and fixed oscillator excitation formulas are different models.

mean occupation: Ensemble average number of particles in one complete quantum state or a specified group of states.

equipartition: Classical equilibrium rule assigning kBT/2 to each independent quadratic Hamiltonian term.

A zero first-order energy shift 一阶能量修正 can coexist with a changed state and a nonzero higher-order shift.

Prerequisites: 5, 24.

• Calculate nondegenerate first-order energy shifts as normalised expectation values
• Use symmetry and matrix elements to assess weak-coupling limits
• Diagonalise the perturbation within an exactly degenerate subspace 简并子空间

Let H=H₀+λW, where λ is a small dimensionless parameter and the eigenstates of H₀ are known and normalised. For a nondegenerate level n, the first-order energy correction is λ⟨n|W|n⟩. In position space this is λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx for a multiplicative potential, with integration over the allowed domain. A potential value at one point is not an expectation value; the state’s probability density weights the whole domain. For an infinite well 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Reflection about its centre makes ⟨x⟩=L/2, so a weak added potential γx has shift γL/2 for every nondegenerate well level at first order. γ has units of energy per length.

For a perturbation odd about the centre, such as γ(x−L/2), the probability density of an unperturbed well eigenstate is even, so its diagonal expectation vanishes. A centred quadratic perturbation η(x−L/2)² instead gives shift ηL²[1/12−1/(2π²n²)], which is positive for η>0 and depends on n. Parity makes the first-order integral zero only for the specified state and operator symmetry. Off-diagonal matrix elements can still change the wavefunction. Do not turn a symmetry cancellation into a claim that every energy correction vanishes or that the original state remains exact.

For a nondegenerate state, the leading admixture of another unperturbed state m is proportional to λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). The useful smallness condition therefore compares coupling matrix elements with the relevant level separations, not just with an arbitrary absolute energy zero. To second order, the energy correction contains Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). For the lowest nondegenerate state, all these denominators are negative, so the second-order correction is nonpositive in this model. Near a degeneracy, a small denominator defeats the nondegenerate expansion; use a coupled subspace instead of dividing by zero.

If a level of H₀ is exactly degenerate, choose an orthonormal basis within that subspace and form the Hermitian matrix of the perturbation there. Its eigenvalues are the first-order energy shifts, and its eigenvectors specify the combinations that diagonalise the leading splitting. For a two-state subspace with perturbation ε[[2,1],[1,2]], the normalised symmetric and antisymmetric combinations have shifts 3ε and ε. Reading only the two diagonal entries would incorrectly predict two shifts of 2ε. A common scalar multiple of the identity shifts both states equally and does not split their degeneracy; off-subspace couplings can matter at higher order.

A degenerate subspace requires matrix diagonalisation before first-order shifts. Suppose the perturbation restricted to two states is $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Shifts are epsilon and 3 epsilon. Normalised states are $(1,-1)/\sqrt2$ and $(1,1)/\sqrt2$. Reading only the diagonal entries would miss the splitting. Couplings to other levels must remain weak relative to their energy gaps.

Use normalised state weights, keep perturbation units, and diagonalise a degenerate block. First-order cancellation and exact invariance are different claims.

first-order energy shift: Leading weak-perturbation correction given by the unperturbed state’s expectation value.

degenerate perturbation theory 简并微扰理论: Method that first diagonalises the perturbation within an unperturbed degenerate subspace.

Two electrons can share one spatial orbital if their complete spatial-plus-spin state has the required antisymmetry.

Prerequisites: 5, 36.

• Construct normalised symmetric and antisymmetric 反对称 two-orbital spatial states
• Combine spatial and spin symmetry to produce allowed two-electron states
• Count complete-state occupations and interpret exchange-induced correlations

For identical particles, exchanging every coordinate and spin label changes a fermionic total wavefunction by a minus sign and leaves a bosonic one unchanged. Mathematical slots 1 and 2 label arguments, not permanently distinguishable particles. For two distinct orthonormal orbitals a and b, spatial combinations are Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Orthogonality makes these combinations normalised and gives exchange eigenvalues ±1. If the two orbitals are identical, the antisymmetric combination is identically zero and the displayed symmetric formula is not correctly normalised; the double-occupation spatial state is simply a(1)a(2). Recheck normalization whenever orbitals or their overlaps change.

Two spin-1/2 particles have one spin singlet 自旋单态 (↑↓−↓↑)/√2 with total spin S=0; it is antisymmetric under exchange. The three triplets ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 and ↓↓ have S=1 and are symmetric. Electrons require an antisymmetric total state, so a symmetric spatial state pairs with the singlet, while an antisymmetric spatial state pairs with a triplet. Two electrons in the same spatial orbital can form the singlet, but cannot form a triplet there in this simple two-electron state. Pauli exclusion prevents occupation of the same complete single-particle state, including spin. Opposite-spin electrons in one orbital are two different complete states; describing exclusion as one electron per orbital discards this distinction.

For two spatial orbitals a,b and two spin states each, there are four complete single-particle states. Two identical electrons have choose(4,2)=6 occupation patterns: two double-occupation singlets, one different-orbital singlet, and three different-orbital triplets. For three spatial orbitals, there are six complete states and choose(6,2)=15 patterns. Counting ordered assignments overcounts identical particles. Spinless bosons in two orbitals instead have three occupations: both in a, one in each, both in b. These counts assume no additional energy restriction and the stated accessible single-particle states; restricting total energy or spin projection changes the allowed subset.

An antisymmetric spatial state satisfies Ψ_−(x,x)=0, so its joint position density vanishes on the coincidence line. A symmetric spatial state need not vanish there. The difference arises from interference between exchanged amplitudes, even for noninteracting particles; it is not a separately imposed classical repulsive force. For a well of length L, choose a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). At x₁=L/4 and x₂=3L/4, the antisymmetric spatial amplitude is −2/L and its density is 4/L²; the symmetric amplitude is zero. These are joint probability densities per two lengths, not dimensionless probabilities at exact points. Physical spin compatibility still decides which total electronic state uses each spatial combination.

For orthonormal different orbitals a and b, symmetric and antisymmetric spatial states are

A two-electron total state must be antisymmetric under simultaneous exchange of position and spin. Thus symmetric space pairs with the spin singlet; antisymmetric space pairs with triplet spin. If both electrons occupy a, the spatial product is symmetric and only singlet spin is allowed. The different-orbital normalisation formula cannot simply be reused for a = b.

Exchange all spatial and spin arguments. Do not confuse antisymmetric space with antisymmetric total state, or use the distinct-orbital √2 factor for two identical orbitals.

spin singlet: Antisymmetric two-spin-1/2 state with total spin S=0.

Slater determinant 斯莱特行列式: Antisymmetric fermionic construction from complete single-particle states; duplicate states make it vanish.

Una función de onda ligada puede extenderse fuera de un pozo finito aunque la energía de la partícula sea inferior al potencial externo.

Prerrequisitos: 5, 24, 37.

• Emparejar estados de pozo finito con decaimiento y derivar condiciones de cuantización dependientes de paridad
• Interpretar raíces adimensionales de estados ligados y distinguir confinamiento de dispersión
• Usar números cuánticos hidrogenoides, momento angular y medidas de probabilidad radial

Declarar un pozo simétrico V=−V₀ para |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 y la misma masa en toda parte. Una energía ligada se encuentra entre −V₀ y cero. Adentro, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ da soluciones oscilatorias; afuera, κ=√(−2mE)/$\hbar$ da colas de decaimiento. Rechazar exponenciales crecientes para obtener un estado normalizable. La simetría de reflexión permite estados cos(kx) pares o sin(kx) impares interiores. En bordes finitos sin interacciones delta, tanto ψ como ψ′ son continuos. El ajuste par da k tan(ka)=κ; el ajuste impar da −k cot(ka)=κ. Un pozo finito no requiere que ψ se anule en sus bordes como lo hace una pared infinita.

Introducir z=ka y ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Entonces κa=√(ρ²−z²) y 0<z<ρ. Resolver z tan z=√(ρ²−z²) para un estado par, o −z cot z=√(ρ²−z²) para uno impar, en intervalos con el signo apropiado y lejos de los polos de tangente. La energía sigue como E/V₀=z²/ρ²−1. Para ρ=1, la raíz fundamental está en 0<z<1 y la ecuación par es equivalente allí a z=cos z. Bisección o un solucionador de raíces convergente da z≈0.739085 y E/V₀≈−0.453753. Dado que ρ<π/2, ningún ramo impar de estado ligado cabe. En una dimensión, un pozo cuadrado atractivo tiene un estado fundamental par independientemente de cuán poco profundo sea; una cola umbral en E=0 no es cuadrable integrable.

Para un estado ligado par escribir ψ=A cos(kx) adentro y ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] afuera. La continuidad establece la amplitud relativa de la cola; integrar |ψ|² sobre tanto el interior como las colas para determinar A. La probabilidad fuera del pozo es distinta de cero y depende de su profundidad, ancho y estado seleccionado. Los estados ligados tienen energías discretas y asintóticos de decaimiento normalizables. Un estado de dispersión con E>0 tiene ondas externas propagantes y se normaliza o interpreta usando una convención de continuo/flujo. Una cola de decaimiento no es evidencia de que el estado viola la conservación de energía, y la amplitud cruda de la cola no es la probabilidad exterior hasta que ha sido integrada y normalizada.

Para un ión de Coulomb de un electrón con carga nuclear Ze, usar el modelo de potencial central no relativista y la aproximación de núcleo pesado a menos que se especifique masa reducida. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; los números orbitales permitidos son n≥1, l=0,…,n−1 y m_l=−l,…,l. L² tiene autovalor l(l+1)$\hbar$² y L_z=m_l$\hbar$; el orbital fundamental ⟨1⟩s tiene l=0, a pesar de la regla histórica de órbita circular de Bohr. La degeneración espacial a n fijo es Σ_l(2l+1)=n² antes de correcciones de espín y estructura fina. Si ψ=R_nl(r)Y_lm con parte angular normalizada, la probabilidad radial en dr es r²|R|²dr, no solo |R|²dr. Para hidrógeno ⟨1⟩s, la densidad radial es 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: alcanza su máximo en r=a₀ y tiene media 3a₀/2, mientras que la densidad puntual tridimensional es máxima en el origen. Distinguir estas medidas antes de localizar un radio más probable.

Un pozo finito tiene V = -V0 para $|x|<a$ y cero afuera. Una energía ligada se encuentra estrictamente entre -V0 y cero. Definir

Paridad par da un coseno interior y colas de decaimiento. Ajustando valor y derivada en a da Paridad impar da en cambio $-k\cot(ka)=\kappa$. Resolver solo dentro de intervalos de paridad válidos; una raíz en un polo de tangente no es un estado ligado.

Usar el potencial cero declarado, emparejar también ψ′ e incluir la medida de capa radial. Una cola ligada y una onda viajera de continuo tienen regímenes de energía diferentes.

estado ligado: Estado estacionario normalizable con probabilidad confinada y energía discreta en el modelo especificado.

densidad de probabilidad radial: Probabilidad por distancia radial, incluyendo la medida de la capa esférica tras la integración angular.

The same magnetic field needs different quantum labels when its energy scale crosses the spin-orbit splitting.

Prerequisites: 7, 37.

• Calculate orbital and spin magnetic shifts in the appropriate coupling regime
• Find photon-energy shifts from allowed upper-minus-lower level changes
• Contrast parity cancellation with degenerate electric-field splitting

An electron has a negative magnetic moment: μ_L=−μ_B L/$\hbar$ and μ_S≈−2μ_B S/$\hbar$. With B along positive z, the interaction −μ·B therefore gives H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/$\hbar$. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. In an uncoupled basis with orbital projection m_l and spin projection m_s=±1/2, the shift is μ_B B(m_l+2m_s). Use this uncoupled rule when the magnetic interaction is large relative to the relevant spin-orbit splitting but still small relative to orbital energy gaps, so quadratic diamagnetic and orbital restructuring effects can be neglected. Large and small are comparisons of energies, not universal Tesla thresholds. In the opposite weak-field regime, m_l and m_s are not independently conserved labels for an LS-coupled eigenstate.

When LS coupling dominates a weak magnetic perturbation, J=L+S and m_J label the multiplet. The first-order shift is μ_B B g_J m_J, with g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] in the approximation g_s=2. L,S,J here are dimensionless quantum numbers. For L=1,S=1/2, J=3/2 gives g_J=4/3 and shifts −2,−2/3,+2/3,+2 times μ_B B. J=1/2 gives g_J=2/3 and shifts ±μ_B B/3. Do not substitute J=0 into the singular formula; a J=0 state has no first-order vector projection shift. Intermediate fields require a coupled Hamiltonian rather than mixing weak-field and uncoupled formulas.

A photon’s energy is the upper atomic energy minus the lower energy. Its field-induced change is therefore ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. Count allowed transitions using the stated selection rules as well as the two level patterns. Several transitions can share one frequency; the number of split states is not automatically the number of spectral lines. In a spin-neglected orbital model, an upper L=1 triplet has shifts m_l μ_B B with m_l=−1,0,+1, and a lower L=0 state has zero shift. Electric-dipole Δm_l=0,±1 permits three photon shifts −μ_B B,0,+μ_B B. This normal-triplet model does not describe every real atom or fine-structure multiplet. Polarisation and observation direction can change which components are detected.

In a uniform electric field F along z, an electron’s perturbation is +eFz for the stated electrostatic potential convention. A nondegenerate parity eigenstate has ⟨z⟩=0, so its first-order diagonal Stark shift vanishes, although a quadratic shift can remain. Exactly degenerate opposite-parity states instead allow an off-diagonal dipole matrix element. In an original two-state model, suppose the dipole matrix is [[0,d],[d,0]], with real d in charge×length units. The perturbation F times this matrix has eigenvalues ±dF and opposite superpositions of the two states. Changing a basis phase changes the off-diagonal sign but not the splitting 2|dF|. Actual near-degenerate atoms require comparison with fine structure and other small splittings before an exactly degenerate approximation is adopted; this supplied matrix is not a universal hydrogen coefficient.

In weak LS-coupled magnetic fields, the Zeeman effect 塞曼效应 uses J, not uncoupled ml and ms.

For L = 1, S = 1/2 and J = 3/2, $g_J=4/3$. Select the field regime before inserting quantum numbers. Photon shifts subtract the lower-level shift.

Declare the coupling regime, keep the negative electron moment sign, and subtract lower-level shifts. Zero diagonal dipole expectation does not exclude degenerate mixing or quadratic shifts.

Landé factor 朗德因子: Projection factor relating a weak-field LS-coupled magnetic shift to g_J m_J.

Stark splitting 斯塔克分裂: Electric-field-induced separation of atomic energy levels, with symmetry and degeneracy controlling leading order.

A spectral peak, a total radiation flux and an atomic transition energy are three different observables.

Prerequisites: 7, 9, 34.

• Distinguish wavelength spectral peak, integrated radiation and photon energy
• Derive Bohr radius and energy scaling under one-electron assumptions
• Calculate Coulomb-ion transitions, series limits and ionisation thresholds

For ideal thermal equilibrium radiation, Planck’s wavelength spectral radiance 光谱辐亮度 is B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ is per wavelength interval and per solid angle, not a total power. A blackbody’s hemispheric surface flux spectrum is M_λ=πB_λ; integrating over all wavelengths gives σ_SB T⁴. All temperatures are absolute Kelvin. The wavelength peak obeys λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. A spectrum per frequency has a different peak because B_ν dν and B_λ dλ include a Jacobian; c/λ_max is not the peak frequency of B_ν. Increasing T moves the wavelength peak shorter and increases the integrated flux by T⁴, not by the peak-position ratio alone.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

In the historical Bohr one-electron model with a heavy nucleus of charge Ze, Coulomb force m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) and angular momentum m_e vr=n$\hbar$ lead to r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n and E_n≈−13.6Z²/n² eV. The radius scales with n²/Z while binding energy scales with Z²/n²; do not use the same charge power in both. These circular-orbit assumptions are a historical scaling model. Wave-mechanical angular momentum is √[l(l+1)]$\hbar$ with l=0,…,n−1, so a 1s orbital has zero orbital angular momentum rather than the Bohr n$\hbar$ value. Reduced-mass corrections replace m_e with μ: Coulomb radius scales as 1/μ and energy as μ. Multielectron screening, large-Z relativistic corrections and fine structure are outside the simple model.

For an emission ni→nf with ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convert this positive difference to λ≈1240/E_γ nm. Ionisation from n requires energy 13.6Z²/n² eV to reach the continuum zero. Absorption reverses the level ordering and needs the corresponding positive incoming photon energy. For a series ending at fixed nf, the largest bound-bound photon energy occurs as ni→∞, giving E_limit=13.6Z²/nf² and the shortest series wavelength. For one-electron helium Z=2, n=3→2 gives 7.5556 eV and λ≈164.12 nm. Its Bohr n=3 radius is 4.5a₀; this radius describes the historical orbit, not a universal radial mode for every l at n=3.

Wien's law 维恩定律 refers to the wavelength-density peak of a blackbody spectrum.

A photon at that wavelength has energy The source emits a distribution of photon energies. Its integrated surface flux is $\sigma T^4$, and the frequency-density peak is not obtained by simply using c divided by this peak wavelength.

Declare a wavelength or frequency density, use Kelvin for fourth powers, and distinguish transitions from ionisation. A Bohr circular radius and angular momentum are not every wave orbital’s radius and L.

spectral radiance: Radiation intensity per projected area, solid angle and stated spectral interval.

series limit 谱线系限: Limiting bound-bound photon energy or wavelength as the initial level approaches the continuum for a fixed final level.

Two observers can disagree about which of two events happened first, and both can be right.

Prerequisites: 22.

• Transform event separations and identify proper length 固有长度 versus simultaneous endpoint readings
• Apply relativistic velocity addition and check a four-vector invariant
• Classify the interval sign to order events and rule out causal contact

Use the Lorentz transformation with declared frame motion: if frame S′ moves at +v along x relative to S, then x′=γ(x−vt) and t′=γ(t−vx/c²) with γ=1/sqrt(1−v²/c²). Apply it to event separations Δx and Δt, not only to single coordinates. Two events simultaneous in S (Δt=0) at different places have Δt′=−γvΔx/c²: the event further in the +x direction happens earlier in S′. Simultaneity is frame-dependent, not a bookkeeping error.

A moving rod length must be read from endpoint positions at the same lab time (Δt=0). Then Δx′=γΔx gives L=L0/γ with L0 the rest-frame (proper) length. Reading the endpoints simultaneously in the rod frame instead does not produce the lab length; the two reading conditions answer different questions. State the frame and the reading condition before quoting any length.

The interval s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, declared once) is invariant. s²>0 is timelike: a frame exists with the events co-located, and Δτ=s/c is the proper time between them. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

Two lab events have Delta x = 900 m and Delta t = 2 microseconds. Their spacetime interval 时空间隔 is spacelike because c Delta t = 600 m is less than Delta x. A frame making them simultaneous satisfies

Their separation in that frame is $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. No frame can put these spacelike events at the same position.

Quoting L=L0/γ without the simultaneous-endpoint condition, or adding velocities as u=u′+v at relativistic speeds. A simultaneity difference is physical, not a mistake.

spacetime interval: The invariant combination c²Δt²−Δx² under the declared sign convention, whose sign classifies an event separation.

proper length: The endpoint separation measured in the object's rest frame; any other frame must read both endpoints simultaneously in its own time.

A voltmeter 电压表 changes the circuit it measures; the reading is a divider output, not the open-circuit voltage.

Prerequisites: 14, 21, 30.

• Calculate measurement loading from finite meter and source impedances
• Determine simple amplifier gain and first-order filter response
• Interpret detector efficiency, resolution, dead time 死时间 and calibration bias

Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.

An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is $1/\sqrt{2}$ (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.

Detector efficiency ε is detected events divided by incident events; energy resolution is quoted as FWHM/E, such as 13.2 keV on a 662 keV line, about 2%. A non-paralyzable detector with dead time τ records m=n/(1+nτ) from true rate n; inverting gives n=m/(1−mτ), which fails as mτ→1. State which dead-time model you assume; paralyzable behaviour differs.

A linear calibration against known standards can correct offset and scale error; it does not remove noise or guarantee correction of nonlinearity. A calibration curve maps indicated to true values; interpolation between points assumes local smoothness. Report resolution and efficiency separately: sharp peaks with poor efficiency still miss events, and high efficiency with broad resolution still mixes nearby lines.

A voltmeter of finite input resistance forms a divider with the source resistance.

For a nonparalysable detector with observed rate m and dead time tau, Efficiency, dead time and spectral resolution are different corrections; one cannot replace the others.

Treating the $1/\sqrt{2}$ cutoff as one half, ignoring that a finite meter reads low through the divider, or applying the non-paralyzable correction beyond its range.

dead time: The minimum interval after one recorded event during which the detector cannot record another.

input impedance 输入阻抗: The effective load a measuring instrument presents to the circuit under test.

Un haz de fotones no tiene un alcance definido, pero una partícula cargada pesada sí; los cálculos de blindaje fallan si se intercambian ambos.

Requisitos previos: 7, 17, 21.

• Distinguir la detención y el alcance de partículas cargadas de la atenuación exponencial de fotones
• Calcular la intensidad atenuada y los conteos detectados con coeficientes dados
• Explicar la emisión estimulada, la inversión de población y las condiciones de resonancia de la cavidad óptica

Las partículas cargadas pesadas pierden energía continuamente a través de muchas colisiones pequeñas, por lo que tienen un alcance aproximado: bajo un modelo de pérdida constante, una partícula con energía inicial E0 y tasa de pérdida dE/dx se detiene después de E0/(dE/dx). Los electrones tienen mayor dispersión y radian. Los fotones, en cambio, interactúan en eventos individuales, por lo que un haz estrecho se atenúa exponencialmente según I=I0 e^(−μx) sin profundidad máxima definida; la capa de mitad de valor es ln2/μ.

Aplicar la exponencial solo a la geometría de haz estrecho dada: μ=0.2 /cm da una capa de mitad de valor de 3.47 cm y I/I0=e^(−2)≈0.135 después de 10 cm. Multiplicar por la eficiencia del detector para conteos registrados: con μx=ln4 y ε=0.25, la fracción registrada es 0.25×1/4=1/16. La acumulación de fotones dispersos hace que el blindaje de haz ancho transmita más que la exponencial de haz estrecho; indique la geometría.

La emisión estimulada produce un fotón que coincide con el fotón estimulador en frecuencia, dirección y fase, generando amplificación coherente. Compite con la absorción; la ganancia neta requiere inversión de población N2/g2>N1/g1 (N2>N1 para degeneraciones iguales). El equilibrio a temperatura positiva tiene N2/g2<N1/g1 por el factor de Boltzmann, por lo que un sistema de dos niveles en equilibrio no puede lasear continuamente; los láseres prácticos bombean un tercer nivel o un estado metástable.

Una cavidad lineal de longitud L soporta modos estacionarios con L=mλ/2, es decir, frecuencias ν_m=mc/(2L) con separación c/(2L): para L=30 cm, la separación es 500 MHz. La ganancia debe superar las pérdidas de ida y vuelta para la oscilación. Interferómetros como el de Michelson usan esta misma coherencia: el recuento de franjas sigue los cambios en la trayectoria óptica, como en la medición con celda de gas.

Un haz estrecho tiene atenuación $I=I_0e^{-\mu x}$ y capa de valor medio $x_{1/2}=\ln2/\mu$.

Tres capas de valor medio transmiten 1/8. Este modelo excluye el aumento por dispersión hacia el detector. Para una cavidad láser lineal al vacío, los modos longitudinales adyacentes están separados por $c/(2L)$. La ganancia neta por estimulación requiere $N_2/g_2>N_1/g_1$; la aproximación más simple $N_2>N_1$ asume degeneraciones iguales.

Asignar a los fotones un rango definido o a las partículas cargadas una ley exponencial única, y olvidar que las poblaciones de dos niveles en equilibrio no pueden invertirse. Verificar qué modelo de interacción requiere la especie del haz.

capa de valor medio: El espesor de material que reduce a la mitad un haz atenuado exponencialmente, igual a ln2/μ.

inversión de población: Un estado no equilibrado con mayor población en el nivel superior del láser que en el inferior, permitiendo emisión estimulada neta.

Rotating a crystal in an X-ray beam maps its atomic planes, because constructive reflection happens only at discrete angles.

Prerequisites: 8, 36.

• Apply the Bragg condition 布拉格条件 to find plane spacings or diffraction angles
• Estimate free-electron Fermi energy 费米能 and Fermi temperature
• Distinguish electronic and lattice heat-capacity contributions

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.

The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.

Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. At room temperature the lattice part approaches the classical Dulong–Petit value and dominates; the electronic term matters at low T, where the T³ lattice term collapses faster.

Bragg diffraction uses angle theta from the crystal plane, not from its normal.

Low-temperature metal heat capacity has separate electronic and lattice terms: A plot of C/T against T squared has intercept gamma and slope beta. A straight line identifies this model's regime.

Measuring θ from the plane normal instead of the plane, or assigning the whole low-T heat capacity to electrons. The sine condition and the two-term decomposition are where these calculations fail.

Bragg condition: Constructive reflection from lattice planes when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane.

Fermi energy: The highest occupied electron energy at zero temperature in the free-electron model.

One atomic mass unit is 931.5 MeV, so a reaction energy is a small difference between large masses.

Prerequisites: 8, 25, 21.

• Compute reaction energy from complete atomic or nuclear mass bookkeeping
• Calculate activity from half-life and a simple decay-chain balance
• Compare fission and fusion binding changes with charge and nucleon conservation

The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².

Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18.

Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.

In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

Activity is $A=\lambda N$, with $\lambda=\ln2/T_{1/2}$. For N = $6.0\times10^{12}$ and half-life 2 hours, convert time before calculating.

A decay chain requires both production and loss terms: $\dot N_B=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$. Equal activities do not imply equal populations. Atomic-mass beta-plus Q values require subtracting $2m_ec^2$.

Mixing atomic and nuclear masses without tracking electrons, or reporting a positive Q for a reaction that needs energy input. Balance charge and nucleon number first, then check the sign of Q.

Q value Q值: The rest-mass energy converted to kinetic energy in a reaction, (m_initial−m_final)c².

activity: The decay rate λN of a radioactive sample, measured in becquerel.

Al escribir el Laplaciano de una función radial como f″ se pierde un término; el operador pertenece a las coordenadas, no al símbolo.

Requisitos previos: Álgebra, derivación y componentes vectoriales.

• Use la divergencia y el Laplaciano en el sistema de coordenadas seleccionado por la simetría
• Resolver un problema simple de modo de valor en frontera separado
• Verificar convergencia, unidades y estabilidad de una actualización numérica original

Elegir coordenadas por simetría antes de escribir operadores. Para una función radial en coordenadas esféricas, ∇²f=f″+(2/r)f′, y la divergencia de un campo radial A=A_r r̂ es (1/r²)d(r²A_r)/dr. Comprobación: A=k r̂/r² tiene divergencia (1/r²)dk/dr=0 lejos del origen, y f=1/r satisface ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 lejos del origen. Las formas cartesianas aplican solo a dependencias cartesianas.

La separación de variables convierte un problema de valores en la frontera en modos ordinarios. Para una cuerda fija en ambos extremos, escriba u=X(x)T(t); la ecuación de onda da X″/X=(1/c²)T″/T=−k², los extremos fijos obligan X=sin(nπx/L), y las frecuencias permitidas son ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Cada modo debe satisfacer las condiciones de frontera antes de cualquier suma sobre modos.

Una actualización explícita de Euler para y′=−λy es y_{n+1}=(1−λh)y_n, acotada cuando |1−λh|≤1, es decir, 0<h≤2/λ for λ>0; el decaimiento asintótico necesita 0<h<2/λ. Con λ=10 /s, h no debe exceder 0.2 s; h=0.25 s multiplica por −1.5 cada paso y diverge con signo alternante. La estabilidad es una propiedad de la recurrencia, no de la solución verdadera.

Verifique una respuesta numérica de tres formas antes de confiar en ella: unidades de cada término (λh debe ser adimensional), convergencia bajo refinamiento (halve h y compare; el error de Euler explícito es de primer orden) y un caso límite con una respuesta exacta conocida. Para y′=−4y con y0=8 y h=0.2, cinco pasos dan 8×0.2⁵=0.00256 frente al exacto 8e^(−4)≈0.1465: estable pero inexacto, así que refine.

Un campo radial esférico tiene divergencia

Para $A_r=Cr$, da 3C, no C. Los extremos de cuerda fija requieren $X(0)=X(L)=0$, por lo tanto $X_n=\sin(n\pi x/L)$ con entero positivo n. Euler para $\dot y=-\lambda y$ da $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. Para h positivo, la estabilidad absoluta acotada permite $h\leq2/\lambda$; el decaimiento a cero requiere la desigualdad estricta $0<h<2/\lambda$. En el extremo superior, la solución numérica alterna sin decaer. La estabilidad no establece precisión.

Aplicar el laplaciano cartesiano a una función radial, sumar modos que violan las condiciones de frontera, o considerar convergida una ejecución que parece acotada sin refinar el paso. Empareje operador, fronteras y condición de estabilidad con el problema real.

separación de variables: Resolver una ecuación diferencial parcial escribiendo la incógnita como producto de factores de variable única.

condición de estabilidad: La restricción del tamaño de paso que evita que una recurrencia numérica amplifique errores.