QM · Quantum mechanics and atomic physics

Una partícula en una caja no puede tener energía cinética de estado fundamental cero. Su confinamiento cambia los estados permitidos.

Requisitos previos: 24, 37, 38, 39.

• Usar funciones de onda, operadores y probabilidades de medición
• Resolver modelos estándar de estados ligados y razonamiento de túnel
• Aplicar momento angular, espín y principios espectrales atómicos

La función de onda de un estado debe satisfacer las condiciones de contorno del modelo y tener probabilidad total uno: integra |ψ(x)|² sobre el dominio permitido. Para estados ortonormales φ_j, una superposición ψ=Σc_jφ_j tiene norma al cuadrado Σ|c_j|² porque los términos cruzados se integran a cero. Así, una superposición igual de N estados ortonormales tiene magnitud de coeficiente 1/sqrt(N). La probabilidad de encontrar una componente energética es |c_j|², no c_j. Las fases relativas pueden afectar las probabilidades de posición aunque las probabilidades energéticas permanezcan inalteradas.

Un observable se representa mediante un operador hermítico. Sus autovalores son reales, y un estado normalizado da valor esperado ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. La esperanza es un promedio sobre preparaciones repetidas, no necesariamente el resultado de una sola medición. Si A satisface una identidad polinómica, aplícala a un autostado: para A⁴=I, un autovalor real debe ser +1 o −1. Una raíz cuarta compleja está excluida por la hermiticidad aunque resuelva el polinomio.

Para un pozo infinito 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 permite modos senoidales sin(nπx/L), con n=1,2,… . Sus energías son E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), así que el estado fundamental no es cero y duplicar L divide cada energía entre cuatro. La expresión equivalente h es n²h²/(8mL²); nunca sustituyas h por $\hbar$ sin su factor 2π. Una barrera finita en cambio permite colas exponenciales, y una onda viajera en una región clásicamente permitida tiene dependencia espacial oscilatoria en lugar de decrecimiento exponencial.

Los operadores conmutan cuando [A,B]=AB−BA=0; los observables compatibles pueden tener una base común de eigenestados. Dado que la energía cinética p²/(2m) es una función de p, conmuta con p. Un potencial dependiente de la posición generalmente hace que H=p²/(2m)+V(x) no conmute con p. El momento angular obedece [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z y permutaciones cíclicas, mientras J² conmuta con cada componente. Las transiciones atómicas intercambian energía fotónica positiva igual a la diferencia de niveles; el momento angular y reglas de selección específicas del mecanismo restringen cuáles transiciones ocurren.

Un pozo infinito se extiende desde 0 hasta L. La función de onda nula en ambos extremos da

Prepara $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. La ortogonalidad hace que su norma sea uno. Las mediciones de energía dan E1 o 4E1 con probabilidad igual: Este promedio no es un resultado de energía único permitido. La fase relativa cambia con el tiempo, así que una superposición de diferentes energías no es un estado estacionario.

Un estado estacionario puede tener energía distinta de cero aunque su densidad de probabilidad sea independiente del tiempo.

normalización: Hacer que la probabilidad total sea igual a uno.

operador: Una acción matemática que representa un observable.