Los métodos energéticos conectan un oscilador de resorte y una órbita, pero sus coordenadas y supuestos físicos difieren.
Prerrequisitos: 26, 41.
- Construir un Hamiltoniano simple
- Usar ecuaciones canónicas
- Aplicar escalado gravitacional y radiativo
AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling
GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · Tema 9
9.1
Mecánica hamiltoniana y escalado astrofísico
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| canonical momentum/kəˈnɒnɪkl məʊˈmentəm/ | momento canónico |
| luminosity/ˌluːmɪˈnɒsɪti/ | luminosidad |
9.2
Elegir el sistema y el modelo
El momento canónico es p=∂L/∂qdot. La transformada de Legendre H=p qdot−L da un Hamiltoniano cuando las velocidades pueden expresarse mediante coordenadas y momentos.
9.3
Utilizar la relación rectora
Las ecuaciones de Hamilton son qdot=∂H/∂p y pdot=−∂H/∂q. Para un oscilador ordinario H=p²/(2m)+kq²/2, estas reproducen la ecuación de Newton.
9.4
Aplicar las condiciones
Para una órbita circular gravitacional v²=GM/r y período²=4π²r³/(GM). Las suposiciones incluyen una masa central dominante y una aproximación circular; las órbitas elípticas usan el semieje mayor en la ley de Kepler. Para un satélite circular de masa m, la magnitud del momento angular es mrv=m sqrt(GMr), por lo que satélites idénticos tienen L proporcional a sqrt(r). Una relación de radios 9 implica entonces una relación de momento angular 3, mientras que la relación de períodos es 27. Esta distinción se deriva de la misma relación de fuerza centrípeta; no usar el escalado de períodos para el momento angular.
9.5
Verificar la conclusión
La luminosidad y el flujo recibido obedecen F=L/(4πd²) para radiación isotrópica. Un cuerpo negro tiene L=4πR²σT⁴; su pico espectral se desplaza inversamente con la temperatura. Distinguir la luminosidad intrínseca del brillo observado.
9.6
Método resuelto
Para un Lagrangiano regular $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, el momento canónico es
$$p=\partial L/\partial\dot q=m\dot q,\qquad \dot q=p/m.$$
Sustituir la velocidad en la transformada de Legendre:
$$H=p\dot q-L=p^2/(2m)+kq^2/2.$$
$$\dot q=\partial H/\partial p=p/m,\qquad\dot p=-\partial H/\partial q=-kq.$$
Combinar esto da $\ddot q=-(k/m)q$. La inversión del momento a velocidad
es necesaria; no puede asumirse para todo Lagrangiano restringido o singular.
9.7
Verificar condiciones y vocabulario
Un Hamiltoniano equivale a la energía mecánica total solo bajo los supuestos relevantes del sistema; no inferir esto universalmente solo por su nombre.
momento canónico: La derivada del Lagrangiano con respecto a una velocidad generalizada.
luminosidad: Potencia total emitida, distinta del flujo en un observador.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.