QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

Una onda cuántica puede reflejarse en un escalón de potencial descendente, aunque una partícula clásica no tenga punto de retorno allí.

Prerrequisitos: 5.

• Hacer coincidir ondas viajeras y flujos a través de cambios de potencial finitos
• Contar estados degenerados del oscilador isotrópico
• Evaluar productos de Pauli y distinguir la anticonmutación de la igualdad

Para un potencial constante V y energía E>V, las soluciones espaciales son factores viajeros exp(±ikx), con k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. En escalones finitos con la misma masa de partícula, la función de onda y su primera derivada son continuas. En un problema de dispersión incidente desde la izquierda sin haz entrante desde la derecha, la solución lejana a la derecha contiene únicamente el factor de viaje hacia la derecha Ae^(ikx). Si un pozo finito vuelve al potencial externo original, el número de onda externo transmitido es igual al incidente, aunque el número de onda interior difiere. Las soluciones exponencialmente decrecientes describen regiones E<V, no todos los pozos de potencial.

Para un escalón de V1 a V2 con ambas regiones clásicamente permitidas, escriba la amplitud incidente más reflejada en la región 1 y la amplitud transmitida en la región 2. La continuidad da r=(k1−k2)/(k1+k2) y t=2k1/(k1+k2). La probabilidad de reflexión es R=|r|²; la transmisión es T=(k2/k1)|t|² porque la corriente de probabilidad depende del número de onda. Así R+T=1 para un escalón sin pérdidas. No sume la amplitud transmitida cuadrada bruta a R sin su factor de corriente. Con k2=3k1, R=1/4 y T=3/4 a pesar de un escalón descendente.

Un oscilador isotrópico tridimensional se separa en modos x, y, z con enteros no negativos n_x, n_y, n_z. Su energía es (N+3/2)$\hbar$ω, donde N=n_x+n_y+n_z. Para una sola partícula distinguible de espín cero, la degeneración espacial es el número de tales triples: (N+1)(N+2)/2. Esto cuenta asignaciones diferentes, no solo particiones desordenadas distintas. Para N=2, los seis estados son permutaciones de (2,0,0) y (1,1,0). Para N=3, la degeneración es 10. Restricciones adicionales de espín o partículas idénticas cambiarían el problema de conteo.

Las matrices de Pauli son σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Cada una se eleva al cuadrado para dar la identidad. La multiplicación directa da σ_xσ_y=iσ_z y σ_yσ_x=−iσ_z, por lo que las matrices de Pauli distintas anticonmutan. Los productos cíclicos x→y→z tienen i positivo; invertir el orden cambia el signo. La identidad general es σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. El orden matricial importa: σ_xσ_z=−iσ_y, no iσ_y ni simplemente σ_y. Estas matrices adimensionales se convierten en operadores de espín S_i=$\hbar$σ_i/2, añadiendo unidades físicas y factores.

En un escalón de potencial finito, hacer coincidir la función de onda y la derivada para la misma masa de partícula.

La probabilidad de transmisión usa corriente, no solo amplitud. Para $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. La reflexión ocurre incluso para un escalón descendente. Su signo de fase desaparece al tomar la probabilidad.

La probabilidad de transmisión necesita la razón de corrientes del número de onda. La degeneración del oscilador cuenta triples ordenados de modos. No invierta el orden de las matrices de Pauli sin cambiar su signo.

coeficiente de reflexión: Fracción de corriente de probabilidad reflejada respecto a la corriente incidente.

degeneración: Número de estados independientes que comparten la energía especificada.