CM.5 · Accelerating and rotating reference frames

Una persona quieta sobre una plataforma giratoria necesita una fuerza real hacia adentro, aunque su aceleración relativa a la plataforma sea cero.

Prerrequisitos: 26.

• Transformar la aceleración con términos de marcos translacionales y rotacionales
• Determinar las direcciones centrífuga, de Coriolis y Euler a partir de productos cruzados
• Separar fuerzas aparentes de interacciones reales y verificar límites inerciales

En un marco translacional con aceleración de origen A, la ecuación de Newton se convierte en m a′=F_real−mA. Un ascensor que acelera hacia arriba tiene N−mg=ma en el marco del suelo, o N−mg−ma=0 para su pasajero estacionario en el marco del ascensor. Son las mismas predicciones. El término adicional es una fuerza aparente causada por las coordenadas aceleradas elegidas; no es un nuevo contacto con otro cuerpo. La traducción uniforme con A=0 cambia la velocidad pero no requiere fuerza aparente.

Para una base rotativa, derivar un vector añade Ω×a ese vector. Aplicarlo dos veces da a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Aquí r y v′ se miden relativas al origen móvil en sus ejes rotativos; todos los vectores en un cálculo deben expresarse en la misma base en el mismo instante. Mover los tres últimos términos rotacionales al lado de la fuerza da Coriolis −2mΩ×v′, centrífuga −mΩ×(Ω×r) y Euler −mΩdot×r. Una rotación constante elimina el término Euler, no el de Coriolis.

Tomar Ω a lo largo de +z, una plataforma antihoraria vista desde arriba, y una partícula en r a lo largo de +x. La fuerza centrífuga está a lo largo de +x con magnitud mΩ²r. Si la partícula se mueve hacia afuera con v′ a lo largo de +x, entonces Ω×v′ es +y, así que la fuerza de Coriolis apunta −y. Invertir la velocidad relativa invierte Coriolis; mantener v′=0 lo hace desaparecer. Coriolis es perpendicular a v′ y no realiza trabajo instantáneo sobre ese movimiento relativo. La fuerza centrífuga se aleja del eje de rotación, no necesariamente del origen elegido en una posición tridimensional arbitraria.

Un cuerpo en reposo sobre la plataforma tiene a′=v′=0. Con rotación constante y origen fijo, su fuerza real debe ser mΩ×(Ω×r), hacia adentro, cancelando el término aparente hacia afuera en la ecuación rotativa. Si la rotación cambia, también debe haber una fuerza real tangencial para balancear el término Euler. Siempre verificar Ω→0 y A→0: el movimiento newtoniano inercial ordinario debe recuperarse. No mezclar el requisito real centripeto hacia adentro con una reacción real añadida hacia afuera sobre el mismo cuerpo; los socios de interacción pertenecen a diagramas de cuerpo libre separados.

En un marco rotativo, la fuerza de Coriolis usa la velocidad relativa.

Para m = 2 kg, Omega = 2 rad/s a lo largo de z, r = 1 m a lo largo de x y v' = 3 m/s a lo largo de x, La fuerza Euler es cero solo porque Omega es constante. Estos son términos de coordenadas, no contactos físicos adicionales.

La velocidad relativa v′ pertenece en el término de Coriolis. Usar la velocidad inercial completa cuenta la rotación dos veces.

Fuerza de Coriolis: La fuerza aparente del marco rotativo −2mΩ×v′ causada por el movimiento relativo.

Fuerza centrífuga: La fuerza aparente del marco rotativo −mΩ×(Ω×r), dirigida lejos del eje de rotación.