CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

La tensión de un péndulo cambia durante el balanceo, pero su ecuación angular puede derivarse sin resolver para la tensión.

Requisitos previos: 1, 47.

• Derivar el movimiento de Euler–Lagrange tras imponer una restricción holonómica
• Utilice una coordenada cíclica para identificar el momento canónico conservado
• Linealice un equilibrio estable y verifique la frecuencia resultante

Una restricción elimina una coordenada independiente antes de formar la energía cinética. Para un péndulo de longitud fija, elija θ desde la vertical descendente: x=l sinθ y y=−l cosθ. Diferenciar ambas coordenadas da v²=l²θdot², no l² sin²θ θdot². Así T=ml²θdot²/2 y V=mgl(1−cosθ), con potencial cero en el fondo. La longitud fija es una restricción holónoma: es una relación entre coordenadas y posiblemente el tiempo. Una restricción de velocidad de rodadura requiere su propio análisis; no trate automáticamente cada restricción como una sustitución de coordenadas.

Para restricciones ideales y sistemas conservativos usuales, la ecuación de acción estacionaria es d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 con L=T−V. Las variaciones se anulan en los dos extremos temporales. Un péndulo da ∂L/∂θdot=ml²θdot y ∂L/∂θ=−mgl sinθ, así ml²θddot+mgl sinθ=0. La derivada del momento actúa sobre cada factor dependiente del tiempo: para un radio variable, d(mr²θdot)/dt contiene 2mr rdot θdot. El método variacional no implica que la energía mecánica se conserve en un sistema dependiente del tiempo.

Para movimiento central plano, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). El ángulo θ es cíclico porque L no tiene dependencia explícita en θ, aunque L depende de θdot. Su momento canónico pθ=mr²θdot es constante. La ecuación radial es m rddot=mrθdot²−dV/dr. El primer término es parte de la aceleración de coordenadas, no una nueva fuerza real hacia afuera en un marco inercial. La conservación de pθ hace que la velocidad angular aumente cuando r disminuye; una velocidad angular constante es una situación diferente, impulsada externamente.

Cerca de un equilibrio estable q0, expanda V al segundo orden y use una inercia local constante M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Luego la frecuencia de desplazamiento pequeño es sqrt(V″/M). Para un péndulo sinθ≈θ en radianes, ω=sqrt(g/l); la aproximación requiere pequeña amplitud. Un V″ negativo da inestabilidad, no una oscilación con una frecuencia medible imaginaria. Revise primero la ecuación no lineal completa, luego plantee la aproximación y compare unidades: V″/M debe tener unidades de inverso del tiempo al cuadrado.

Para una longitud fija de péndulo l, use theta desde la vertical descendente: x = l sin theta, y = -l cos theta. Ambas velocidades cartesianas dan $T=ml^2\dot\theta^2/2$ y $V=mgl(1-\cos\theta)$. La ecuación de Euler-Lagrange— es

Divida por $ml^2$ antes de linealizar: La aproximación usa radianes. Las variaciones en los extremos se anulan en la derivación de acción estacionaria.

Una coordenada cíclica está ausente en L mismo; su velocidad no necesita estar ausente. No descartar la derivada temporal de un factor cambiar r².

restricción holónoma: Una restricción expresable como una relación entre coordenadas y posiblemente el tiempo.

coordenada cíclica: Una coordenada ausente explícitamente en el Lagrangiano, con momento canónico conservado bajo la ecuación de Euler–Lagrange.