QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

Una función de onda ligada puede extenderse fuera de un pozo finito aunque la energía de la partícula sea inferior al potencial externo.

Prerrequisitos: 5, 24, 37.

• Emparejar estados de pozo finito con decaimiento y derivar condiciones de cuantización dependientes de paridad
• Interpretar raíces adimensionales de estados ligados y distinguir confinamiento de dispersión
• Usar números cuánticos hidrogenoides, momento angular y medidas de probabilidad radial

Declarar un pozo simétrico V=−V₀ para |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 y la misma masa en toda parte. Una energía ligada se encuentra entre −V₀ y cero. Adentro, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ da soluciones oscilatorias; afuera, κ=√(−2mE)/$\hbar$ da colas de decaimiento. Rechazar exponenciales crecientes para obtener un estado normalizable. La simetría de reflexión permite estados cos(kx) pares o sin(kx) impares interiores. En bordes finitos sin interacciones delta, tanto ψ como ψ′ son continuos. El ajuste par da k tan(ka)=κ; el ajuste impar da −k cot(ka)=κ. Un pozo finito no requiere que ψ se anule en sus bordes como lo hace una pared infinita.

Introducir z=ka y ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Entonces κa=√(ρ²−z²) y 0<z<ρ. Resolver z tan z=√(ρ²−z²) para un estado par, o −z cot z=√(ρ²−z²) para uno impar, en intervalos con el signo apropiado y lejos de los polos de tangente. La energía sigue como E/V₀=z²/ρ²−1. Para ρ=1, la raíz fundamental está en 0<z<1 y la ecuación par es equivalente allí a z=cos z. Bisección o un solucionador de raíces convergente da z≈0.739085 y E/V₀≈−0.453753. Dado que ρ<π/2, ningún ramo impar de estado ligado cabe. En una dimensión, un pozo cuadrado atractivo tiene un estado fundamental par independientemente de cuán poco profundo sea; una cola umbral en E=0 no es cuadrable integrable.

Para un estado ligado par escribir ψ=A cos(kx) adentro y ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] afuera. La continuidad establece la amplitud relativa de la cola; integrar |ψ|² sobre tanto el interior como las colas para determinar A. La probabilidad fuera del pozo es distinta de cero y depende de su profundidad, ancho y estado seleccionado. Los estados ligados tienen energías discretas y asintóticos de decaimiento normalizables. Un estado de dispersión con E>0 tiene ondas externas propagantes y se normaliza o interpreta usando una convención de continuo/flujo. Una cola de decaimiento no es evidencia de que el estado viola la conservación de energía, y la amplitud cruda de la cola no es la probabilidad exterior hasta que ha sido integrada y normalizada.

Para un ión de Coulomb de un electrón con carga nuclear Ze, usar el modelo de potencial central no relativista y la aproximación de núcleo pesado a menos que se especifique masa reducida. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; los números orbitales permitidos son n≥1, l=0,…,n−1 y m_l=−l,…,l. L² tiene autovalor l(l+1)$\hbar$² y L_z=m_l$\hbar$; el orbital fundamental ⟨1⟩s tiene l=0, a pesar de la regla histórica de órbita circular de Bohr. La degeneración espacial a n fijo es Σ_l(2l+1)=n² antes de correcciones de espín y estructura fina. Si ψ=R_nl(r)Y_lm con parte angular normalizada, la probabilidad radial en dr es r²|R|²dr, no solo |R|²dr. Para hidrógeno ⟨1⟩s, la densidad radial es 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: alcanza su máximo en r=a₀ y tiene media 3a₀/2, mientras que la densidad puntual tridimensional es máxima en el origen. Distinguir estas medidas antes de localizar un radio más probable.

Un pozo finito tiene V = -V0 para $|x|<a$ y cero afuera. Una energía ligada se encuentra estrictamente entre -V0 y cero. Definir

Paridad par da un coseno interior y colas de decaimiento. Ajustando valor y derivada en a da Paridad impar da en cambio $-k\cot(ka)=\kappa$. Resolver solo dentro de intervalos de paridad válidos; una raíz en un polo de tangente no es un estado ligado.

Usar el potencial cero declarado, emparejar también ψ′ e incluir la medida de capa radial. Una cola ligada y una onda viajera de continuo tienen regímenes de energía diferentes.

estado ligado: Estado estacionario normalizable con probabilidad confinada y energía discreta en el modelo especificado.

densidad de probabilidad radial: Probabilidad por distancia radial, incluyendo la medida de la capa esférica tras la integración angular.