MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

Al escribir el Laplaciano de una función radial como f″ se pierde un término; el operador pertenece a las coordenadas, no al símbolo.

Requisitos previos: Álgebra, derivación y componentes vectoriales.

• Use la divergencia y el Laplaciano en el sistema de coordenadas seleccionado por la simetría
• Resolver un problema simple de modo de valor en frontera separado
• Verificar convergencia, unidades y estabilidad de una actualización numérica original

Elegir coordenadas por simetría antes de escribir operadores. Para una función radial en coordenadas esféricas, ∇²f=f″+(2/r)f′, y la divergencia de un campo radial A=A_r r̂ es (1/r²)d(r²A_r)/dr. Comprobación: A=k r̂/r² tiene divergencia (1/r²)dk/dr=0 lejos del origen, y f=1/r satisface ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 lejos del origen. Las formas cartesianas aplican solo a dependencias cartesianas.

La separación de variables convierte un problema de valores en la frontera en modos ordinarios. Para una cuerda fija en ambos extremos, escriba u=X(x)T(t); la ecuación de onda da X″/X=(1/c²)T″/T=−k², los extremos fijos obligan X=sin(nπx/L), y las frecuencias permitidas son ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Cada modo debe satisfacer las condiciones de frontera antes de cualquier suma sobre modos.

Una actualización explícita de Euler para y′=−λy es y_{n+1}=(1−λh)y_n, acotada cuando |1−λh|≤1, es decir, 0<h≤2/λ for λ>0; el decaimiento asintótico necesita 0<h<2/λ. Con λ=10 /s, h no debe exceder 0.2 s; h=0.25 s multiplica por −1.5 cada paso y diverge con signo alternante. La estabilidad es una propiedad de la recurrencia, no de la solución verdadera.

Verifique una respuesta numérica de tres formas antes de confiar en ella: unidades de cada término (λh debe ser adimensional), convergencia bajo refinamiento (halve h y compare; el error de Euler explícito es de primer orden) y un caso límite con una respuesta exacta conocida. Para y′=−4y con y0=8 y h=0.2, cinco pasos dan 8×0.2⁵=0.00256 frente al exacto 8e^(−4)≈0.1465: estable pero inexacto, así que refine.

Un campo radial esférico tiene divergencia

Para $A_r=Cr$, da 3C, no C. Los extremos de cuerda fija requieren $X(0)=X(L)=0$, por lo tanto $X_n=\sin(n\pi x/L)$ con entero positivo n. Euler para $\dot y=-\lambda y$ da $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. Para h positivo, la estabilidad absoluta acotada permite $h\leq2/\lambda$; el decaimiento a cero requiere la desigualdad estricta $0<h<2/\lambda$. En el extremo superior, la solución numérica alterna sin decaer. La estabilidad no establece precisión.

Aplicar el laplaciano cartesiano a una función radial, sumar modos que violan las condiciones de frontera, o considerar convergida una ejecución que parece acotada sin refinar el paso. Empareje operador, fronteras y condición de estabilidad con el problema real.

separación de variables: Resolver una ecuación diferencial parcial escribiendo la incógnita como producto de factores de variable única.

condición de estabilidad: La restricción del tamaño de paso que evita que una recurrencia numérica amplifique errores.