E · Trigonometry

AQA A-level Mathematics 7357، القسم E (المثلثيات)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تعليمية أصلية.

الشروط المسبقة: حساب المثلثات للمثلث القائم GCSE والقيم الدقيقة.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• طُلب من طالبين A = 30°، a = 7 و b = 10. أحدهما أبلغ عن مثلث واحد، والآخر insiste على وجود اثنين، وكلاهما قائم الزاوية. ما المعلومات التي تفصل بين الحالتين؟
• قبل القراءة، حدد أي قاعدة تربط الأضلاع بالزوايا المقابلة، وما التحقق الإضافي الذي يحتاجه إجابة جيب التمام العكسي.

الطريقة

• على الدائرة الوحدة، النقطة عند الزاوية θ هي (cos θ, sin θ)، لذا تتبع الإشارات الربع وتأتي القيم الدقيقة من مثلثات 30-60-90 و45-45-90. الراديان هو الزاوية التي يساوي طول قوسها نصف القطر: s = rθ ومساحة القطاع = r²θ/2 يتطلب راديان.
• قانون الجيب يربط الأضلاع المقابلة والزوايا: a/sin A = b/sin B. أما قانون جيب التمام a² = b² + c² − 2bc cos A فيستخدم الزاوية المقابلة لـ a. في الحالة الغامضة، يمكن أن يعطي sin B = b sin A / a قيمتي B أو متممها 180° − B — وكلاهما يجب اختباره ضد الزاوية المتبقية.
• دائرة الوحدة: دائرة نصف قطرها 1 تكون فيها (cos θ, sin θ) هي النقطة عند الزاوية θ؛ الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر؛ قانون الجيب: القاعدة a/sin A = b/sin B التي تربط الأضلاع المقابلة والزوايا؛ قانون جيب التمام: القاعدة a² = b² + c² − 2bc cos A؛ الحالة الغامضة: موقف قانون الجيب حيث قد يتناسب مثلثان مع نفس البيانات.

التحقق من عملك

• اختر القانون من المعلومات المعطاة: زوج ضلع-زاوية مناسب يتطلب قانون الجيب؛ ضلعان مع الزاوية المحصورة بينهما، أو ثلاثة أضلاع، تتطلب قانون جيب التمام. للمساحة، ab sin C / 2 تحتاج إلى الزاوية بين a و b.
• اختبر كل زاوية مرشحة: يجب أن تكون الزاوية المتبقية C = 180° − A − B موجبة، وأن يكون كل الضلع موجباً. عكس الجيب في الآلة الحاسبة يعطي فقط القيمة الرئيسية الحادة — والمكمّل هو مرشح منفصل.

حالة محلولة

• معلوم: الضلعان 6 و8 يحيطان بزاوية 60°. استخدم قاعدة جيب التمام: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. إذن c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. المساحة هي (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

مثال:

من أجل A = 30°, a = 7, b = 10، أوجد القيم الممكنة لـ B باستخدام نفس المتتالية: معلوم → قانون الجيب → الفرعين كلاهما → التحقق من الصلاحية. (الإجابة: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7، لذا B ≈ 45.6° أو B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. كلاهما يترك زاوية ثالثة موجبة، لذا يناسب TWO مثلثات.)

حدود ومخاطر

• تتطلب حالة عدم الوضوح عدداً: مع h = b sin A وزاوية حادة A، فإن a < h لا يوجد شيء، a = h مثلث قائم واحد، h < a < b يعطي اثنين، و a ≥ b يعطي واحداً. معادلات المثلثات على فترة ما يجب أن تذكر كل الحلول: sin x = 1/2 على [0, 2π) له كل من π/6 و 5π/6.

تحذير:

قيمة عكس الجيب في الآلة الحاسبة هي الزاوية الوحيدة الممكنة في مسألة قانون الجيب. هذا الادعاء خاطئ: الجيب موجب في ربعين، لذا المكمّل 180° − B هو مرشح ثانٍ ويجب فحصه، وهو بالضبط حالة عدم الوضوح.

المفتاح:

المثلثات: دائرة الوحدة للقيم والإشارات، الراديان للأقواس والمجالات، قانون الجيب مع حالته غير الواضحة، قانون جيب التمام للزوايا المحصورة، و ab sin C / 2 للمساحة — دائماً مع فحص صلاحية الزاوية المتبقية.