H · Integration

رياضيات مستوى AQA 7357، القسم H (التكامل)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تعليمية أصلية.

الشروط المسبقة: الاشتقاق من القسم G.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• ينخفض منحى سرعة عدّاء تحت محور الزمن لفترة، ثم يرتفع مرة أخرى. "المساحة تحت المنحنى" شبه صفر — هل لم يتحرك العدّاء؟
• قبل القراءة، اذكر ما تعنيه المساحة الموقعة، وكيف differs المسافة الكلية عن الإزاحة.

الطريقة

• التكامل يعكس الاشتقاق: الدالة الأصلية لـ axⁿ هي axⁿ⁺¹/(n+1) + C عندما n ≠ −1، بينما 1/x تكاملها هو ln|x| + C. التكامل المحدود من a إلى b هو تراكم موقّع: F(b) − F(a).
• تلغي المساحة الموقعة نفسها حيث يعبر المنحنى المحور، لذا تحتاج المساحة الإجمالية الموجبة إلى تقسيم التكامل عند كل نقطة عبور. النظرية الأساسية تربط الاتجاهين: اشتقاق دالة التراكم يُعيد الدالة المُتكاملة.
• الدالة الأصلية: دالة مشتقتها هي الدالة المُتكاملة المعطاة؛ التكامل المحدود: التراكم الموقّع للدالة بين حدَّين؛ النظرية الأساسية: الرابط ثنائي الاتجاه الذي يجعل اشتقاق دالة التراكم يُعيد الدالة المُتكاملة.

التحقق من عملك

• تحقق من كل دالة أصلية بالاشتقاق منها مرة أخرى، واحفظ الثابت C للتكاملات غير المحدودة — نقطة معطاة تثبته. حالة n = −1 منفصلة: 1/x تكاملها ln|x|، ولا تستخدم قاعدة القوة مع القسمة على الصفر أبداً.
• قبل حساب المساحة الكلية، ابحث عن تغيرات إشارة الدالة المُتكاملة على الفترة وقسّم عندها؛ السرعة التي بها تغير إشارة تُنتج إزاحة ومسافة كلية مختلفة كإجابات.

حالة محلولة

• معلوم: v(t) = 3t² − 3 من أجل 0 ≤ t ≤ 2. الدالة العكسية هي t³ − 3t. الإزاحة = [t³ − 3t] من 0 إلى 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m. لكن v = 0 عند t = 1، لذا المسافة الكلية = −[t³ − 3t] من 0 إلى 1 + [t³ − 3t] من 1 إلى 2 = 2 + 4 = 6 m.

مثال:

أوجد المساحة بين y = x² ومحور x من 0 إلى 1، ثم تقدير مستطيل النهاية اليمنى مع 4 شرائح، باستخدام نفس المتتالية. (الإجابة: التكامل الدقيق ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333؛ التقدير هو (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469، وهو مبالغة لهذه المنحنى المتزايد المحدب.)

حدود ومخاطر

• التكامل هوASE مجموع المستطيلات؛ عدد الشرائح المحدود يقدره فقط، ويعتمد الخطأ على الانحناء. لا تدمج عبر انقطاع مثل 1/x عند x = 0، وتذكر أن المساحة الموقعة يمكن أن تكون صفراً بينما المساحة الكلية موجبة.

تحذير:

التكامل المحدود يساوي دائماً المساحة الإجمالية الموجبة بين المنحنى والمحور. هذا الادعاء خاطئ: التكامل مُوقَع — المناطق تحت المحور تُحسب سالباً، لذا يمكن أن تكون الإزاحة صغيرة أو صفراً بينما المسافة المقطوعة كبيرة.

المفتاح:

التكامل: الدوال الأصلية مُتحقَّقة بالاشتقاق منها، مع تثبيت C بنقطة معطاة؛ التكاملات المحدودة هي تراكم موقّع F(b) − F(a)؛ المساحة الكلية تحتاج تقسيماً عند كل تغير إشارة، والنظرية الأساسية تربط التراكم بالدالة المُتكاملة.