المشتقات العكسية الأساسية والمعاملات والمجالات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | الدالة الأصلية |
الاشتقاق يضرب أس أو حجة مثلثية في معاملها. كيف يجب أن يلغي التكامل هذا العامل؟
- الاشتقاق يضرب أس أو حجة مثلثية في معاملها. كيف يجب أن يلغي التكامل هذا العامل؟
- تدرس هذه الدرس المشتقة العكسية: دالة مشتقتها هي المقامMcC integrand المحدد على الفترة المذكورة.
اختر البنية الرياضية
- للأسس الحقيقية على مجال قابل للاشتقاق مسموح به، أدمج x^n كـ x^(n+1)/(n+1)+C عندما n≠−1. أدمج 1/x كـ ln|x|+C على فترة تستبعد الصفر. بالنسبة لـ k≠0، تكاملات e^(kx)، sin(kx)، cos(kx) هي e^(kx)/k، −cos(kx)/k، sin(kx)/k على التوالي، زائد ثوابت. طبق الخطية على المجموع والضرائب الثابتة؛ تحقق بالاشتقاق.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا لا يكون تكامل 1/x هو x⁰/0 أو أي حالة لقاعدة القوة؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تقسم قاعدة القوة على n+1، وهو ما يفشل تماماً عند n=-1. يتم ملء هذه الفجوة بالدالة اللوغاريتمية: (ln|x|)′=1/x على كلا جانبي الصفر، مع |x| التي تغطي المدخلات السالبة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ f(x)=6x²−4e^(2x)+3cos(3x)−2sin(2x)+5/x مع x>0، فإن F=2x³−2e^(2x)+sin(3x)+cos(2x)+5ln x+C. كل مشتق يستعيد حدّه المماثل. بالنسبة لـ x<0، اكتب 5/x كـ 5ln(−x)، أو 5ln|x|؛ يمكن أن تختلف الثوابت على الفترات غير المتصلة. تكامل 3cos(3x) من 0 إلى π/6 هو sin(π/2)−sin 0=1. إذا كان F′=6x² و F(1)=7، فإن F=2x³+5. إذا كانت k=0، فإن e^(kx)=1 و cos(kx)=1 يدمجان في x+C، بينما sin(kx)=0 يدمج في C؛ لا تقسّم أبدًا على k=0.
المشتقات العكسية الأساسية والمعاملات والمجالات
بالنسبة للأسس الحقيقية على مجال قابل للتفاضل مسموح به، أكمل x^n كـ x^(n+1)/(n+1)+C عندما n≠−1
تحقق من الفرضيات والنقاط النهائية ومعاملات كل حساب تكامل.
بما أن F′=6x² وF(1)=7، أوجد ثابت التكامل.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
7=2×1³+C يعطي C=5.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الأس n=−1 هو حالة لوغاريتمية منفصلة، وليس قسمة على صفر في صيغة الأس. احتفظ بالإشارة في المشتقة العكسية للجيب واقسم على معامل الحجة. ln x وحدها لا تغطي القيم السالبة. التكامل غير المحدد يحتاج إلى ثابت؛ التكامل المحدد له قيمة عددية عند تزويد حدود صالحة. قد يقيد الأس الكسري الحقيقي المجال.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
تكامل cos(kx) يعطي دائماً k sin(kx)، بما في ذلك k=0. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
أوجد التكامل المحدود المحلول لـ 3cos(3x).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يعطي المشتقة العكسية sin(3x) قيمة sin(π/2)−sin 0=1.
تكامل cos(kx) يعطي دائماً k sin(kx)، بما في ذلك عندما k=0.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الأس n=−1 هو حالة لوغاريتمية منفصلة، وليس قسمة على الصفر في صيغة الأس. احتفظ بالإشارة في الدالة العكسية للجايب وقسّمها على معامل الحجة. ln x وحدها لا تغطي القيم السالبة لـ x. التكامل غير المحدد يحتاج إلى ثابت؛ والتكامل المحدد له قيمة عددية عند توفير حدود صالحة. قد يقيد الأس الكسري الحقيقي المجال.
تفسير موقف جديد
- اشتق حداً تلو الآخر للتحقق من المعاملات والإشارات، وأجب عن الفترة قبل استخدام اللوغاريتمات أو الأسس الكسرية. الأشكال الأساسية المسمى H2 هي الأسس، e^(kx)، 1/x، sin(kx) وcos(kx). تتطلب الأشكال الأخرى تبريراً منفصلاً وليست مثبتة كشكل إضافي إلزامي H2.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
قيّم المشتقة 5ln|x| عند x=−2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المشتقة هي 5/x على أي فترة مسموحة، مما يعطي −5/2.
طابق كل دالة مكاملة مع دالتها الأولية المقابلة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تحقق من كل دالة أولية عن طريق اشتقاقها عائدةً؛ حيث يحمل الجيب الإشارة السالبة، وتصبح k=0 حالة ثابتة تحتاج إلى معالجة منفصلة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى A · H. طابقTier المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
دالة مشتقتها هي المقامMcC integrand المحدد على الفترة المذكورة. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.