التكامل كحد لمجموع المستطيلات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | مجموع ريمان |
مجموعة محدودة من المستطيلات تفقد جزءًا من المنطقة المنحنية. ماذا يتغير عندما يؤول عرض الشريط إلى الصفر؟
- مجموعة محدودة من المستطيلات تفقد جزءًا من المنطقة المنحنية. ماذا يتغير عندما يؤول عرض الشريط إلى الصفر؟
- تدرس هذه الدرس مجموع ريمان: هو مجموع مساهمات المستطيلات الموجهة التي تقترب من التكامل كلما أصبحت التقسيمات أدق.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لـ n شريطًا متساوية على [a,b]، العرض h=(b−a)/n. مجموع الطرف الأيمن هو h مضروبًا في مجموع f(a+kh) من k=1,…,n؛ أما مجموع الطرف الأيسر فيستخدم k=0,…,n−1. بالنسبة لـ f المتصلة، كلا الحدين عند n يؤول إلى ما لا نهاية يساوي التكامل. المجموع المحدود هو تقريب؛ والحد هو التراكم الموجه الدقيق.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بالنسبة لـ x² على [0,1]، فإن L₂=1/8 و R₂=5/8. لماذا تحصر هذه القيم التكامل الدقيق؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
في الدالة المتزايدة، يكون ارتفاع المستطيل الأيسر هو الحد الأدنى للشرطة، وارتفاعها الأيمن هو الحد الأقصى، مما يحبس المساحة الحقيقية. الفاصل R_n-L_n=1/n→0 يجبر كلا الحدين على趋向 1/3.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ f(x)=x² على [0,1]، h=1/n. المجموع الأيمن R_n=(1/n³) مجموع من k=1 إلى n من k²=(n+1)(2n+1)/(6n²)=1/3+1/(2n)+1/(6n²). المجموع الأيسر L_n=(n−1)n(2n−1)/(6n³)=1/3−1/(2n)+1/(6n²). مع n=2، L_2=1/8 وR_2=5/8؛ كلاهما يحصر التكامل الدقيق 1/3 لأن x² متزايدة في هذه الفترة. الفرق بينهما هو 1/n، ويميل إلى الصفر. نفس التعريف يعطي مساهمات موقعة: بالنسبة لـ f=−2 على [0,1]، كل هذا المجموع يساوي −2، بينما المساحة الهندسية الموجبة هي 2.
التكامل كحد لمجموع المستطيلات
بالنسبة لـ n شريطاً متساوية على [a,b]، يكون العرض h=(b−a)/n
تحقق من الفرضيات والنقاط النهائية ومعاملات كل حساب تكامل.
أوجد L_2 لـ x² على [0,1].
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الارتفاعات اليسرى 0 و1/4، كل منها بعرض 1/2، تعطي 1/8.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- اضرب في عرض الشريط: جمع الارتفاعات وحدها يعطي وحدات خاطئة والحد الخاطئ. المجموع الأيسر يتضمن k=0 ويستبعد k=n؛ المجموع الأيمن يفعل العكس. الدوال المتزايدة تعطي حدوداً يمينية ويسرى، ولكن يجب التحقق من القاعدة على الفترة الفعلية. مجموعات المستطيلات وقاعدة شبه المنحرف هما تقريبات نهائية مختلفة. الارتفاعات السالبة تساهم بمساحة موقعة سالبة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
مجموع مستطيلات النهاية اليمنى النهائي هو بالفعل التكامل الدقيق لكل منحنى مستمر. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
أوجد R_2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الارتفاعات اليمنى 1/4 و1 تعطي (1/2)(5/4)=5/8.
مجموع المستطيلات الأيمن المحدود هو بالفعل التكامل الدقيق لأي منحنى مستمر.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
اضرب في عرض الشريط: جمع الارتفاعات وحدها يعطي وحدات وحدوداً خاطئة. يتضمن المجموع الأيسر k=0 ويستبعد k=n؛ بينما يقوم المجموع الأيمن بالعكس. تعطي الدوال المتزايدة حدوداً يمينية ويسرى، لكن يجب التحقق من القاعدة على الفترة الفعلية. مجموع المستطيلات وقاعدة شبه المنحرف هما تقريبات محدودة مختلفة. تساهم الارتفاعات السالبة في مساحة موقعة سالبة.
تفسير موقف جديد
- اكتب التقسيم ونقاط التقييم وحدود سيغما قبل التبسيط. استخدم هوية المجموع النهائي، ثم احسب الحد. قارن الحدود النهائية بنتيجة المشتقة العكسية كفحص مستقل. هذا هو تفكير H4 للحد الدقيق؛ شبه المنحرف العددي ينتمي إلى I3 ولا يعتبر بديلاً عن حجة الحد.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد الحد المشترك لـ L_n و R_n.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يؤول الحدان 1/(2n) و1/(6n²) إلى الصفر، متروكين 1/3.
طابق كل ميزة في مجموع ريمان مع قاعدتها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الارتفاعات بدون عامل العرض تحمل وحدات غير صحيحة وحدوداً خاطئة؛ بينما تعطي الارتفاعات الموقعة مساهمات موجبة وسالبة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى A · H. طابقTier المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
مجموع مساهمات مستطيلات موقعة يقترب من تكامل عندما يصبح التقسيم أدق. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.