D · Sequences and series

رياضيات مستوى AQA 7357، القسم د (المتتاليات والمتسلسلات)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تدريس أصلية.

المواصفات السابقة: المتتاليات الحسابية في GCSE والمعادلات المتزامنة.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• مدخر يودع نفس المبلغ كل عام بينما يستثمر استثماراً ينمو بنفس النسبة المئوية كل عام. بعد ثماني سنوات، أي رصيد يمكنك جمعها بدقة في سطر واحد؟
• قبل القراءة، حدد أيًا من الاثنين ينمو بالجمع وأيًا بالتضرب، وما الذي تحتاجه كل صيغة مجموع.

الطريقة

• المتتالية الحسابية تضيف فرقًا ثابتًا: uₙ = a + (n − 1)d. مجموع متسلسلتها يُحساب بجمع الأطراف المتقابلة: Sₙ = n(a + uₙ)/2. أما المتتالية الهندسية فتضرب في نسبة ثابتة: uₙ = arⁿ⁻¹، مع Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) عندما r ≠ 1.
• يوجد مجموع هندسي لا نهائي فقط عندما |r| < 1، لأن الحدود تتناقص نحو الصفر: S∞ = a/(1 − r). أما العلاقة التكرارية فهي تُعرّف كل حد بناءً على السابق وتحتاج قيمة ابتدائية؛ والمتتالية الدورية تتكرر بعد عدد ثابت من الخطوات.
• المتتالية الحسابية: متتالية يكون الفرق بين حدودها ثابتًا؛ المتتالية الهندسية: متتالية تكون النسبة بين حدودها ثابتة؛ العلاقة التكرارية: قاعدة تعطي كل حد من القيمة السابقة؛ المتتالية الدورية: متتالية تتكرر حدودها بعد عدد ثابت من الخطوات.

التحقق من عملك

• استعد a و d من حدين مذكورين باستخدام معادلتين متزامنتين قبل استخدام الصيغة: u₃ = 10 و u₇ = 22 تعطيان 4d = 12، إذن d = 3 و a = 4. يجب أن يكون عدد الحدود عددًا صحيحًا موجبًا؛ يُرفض الكسر أو الجذر السالب، ولا يتم تقريبه.
• تحقق من مجموع مُدَّعٍ مقابل أول عدة حدود مباشرة، وتحقق من هدف كحد أدنى مقابل الأعداد الصحيحة على كلا جانبي نقطة التقاطع.

حالة محلولة

• معلوم: a = 5، d = 3، n = 8. الحد الثامن هو u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. والمجموع هو S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. كل زوج من الأطراف الأربعة مجموعها 31، و4 × 31 = 124 ✓.

مثال:

لـ a = 12، r = 0.5، أوجد المجموع اللانهائي والعدد الأول n whose partial sum exceeds 23.9، باستخدام نفس المتتالية: معلوم ← صيغة ← تعويض ← التحقق من العدد الصحيح. (الإجابة: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. المجاميع الجزئية هي Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 و S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9، إذن n = 8.)

حدود ومخاطر

• صيغة المجموع اللانهائي غير صالحة عند r = 1 أو r = −1، حيث لا تتناقص الحدود؛ والنسبة السالبة تتقارب إذا كانت قِيْمَتُهَا المطلقة أقل من 1. تحتاج العلاقة التكرارية إلى الحفاظ على ترتيب العملية بدقة: B التالي = 1.1B + 50 يختلف عن 1.1(B + 50).

تحذير:

لكل سلسلة هندسية مجموع نهائي إلى ما لا نهاية. هذا الادعاء خاطئ: الوجود موجود فقط عندما |r| < 1. عند r = 2 تنمو الحدود بلا حدود، وعند r = −1 تتذبذب المجاميع الجزئي forever — neither converges.

المفتاح:

المتتاليات والسلاسل: الحسابية تجمع (أزج الأطراف للحصول على المجموع)، الهندسية تضرب (Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)، و S∞ = a/(1−r) فقط عندما |r| < 1). استعد المعلمات من الحدود المعلنة، وطالب بالإجابات الصحيحة للعدد.