متتاليات حسابية والمسائل العكسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | الفرق المشترك |
حدان معروفان يكشفان عن متسلسلة حسابية. هل يمكن للمجموع المعلن أن يخبرنا بدقة كم عدد الحدود التي تمت إضافتها؟
- حدان معروفان يكشفان عن متسلسلة حسابية. هل يمكن للمجموع المعلن أن يخبرنا بدقة كم عدد الحدود التي تمت إضافتها؟
- تدرس هذه الدرس الفرق المشترك: الكمية الثابتة المضافة إلى كل حد للحصول على الحد التالي.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة للحد الأول a والفرق المشترك d، u_n=a+(n−1)d. مجموع n حدود هو S_n=n[2a+(n−1)d]/2=n(a+u_n)/2. تجميع الحد الأول والأخير يعطي نفس مجموع الأزواج طوال الوقت. قد يتطلب المسألة العكسية حل معادلات متزامنة لـ a,d أو معادلة تربيعية لـ n؛ يجب أن يكون عدد الحدود عدداً صحيحاً موجباً.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بحل 3n²+5n-350=0 لإيجاد عدد الحدود نحصل على n=10 و n=-35/3. لماذا نحتفظ فقط بـ 10؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عدد الحدود هو عدّاد: موجب وسليم. n=-35/3 يفشل في كلا الشرطين، وتقريبه سيعطي مجتموعاً لا يحقق صيغة المجموع - تحقق من S_10=175 مباشرة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بما أن u₃=10 و u₇=22، اكتب a+2d=10 و a+6d=22. الطرح يعطي d=3 و a=4، لذا u_n=3n+1 و S_n=n(3n+5)/2. لإيجاد مجموع 175، حل 3n²+5n−350=0=(n−10)(3n+35). الجذور هي 10 و −35/3؛ فقط n=10 عدد صحيح موجب. تحقق من u₁₀=31 و S₁₀=10(4+31)/2=175. مجموع بالضبط 200 ليس له عدد صحيح n: S₁₀=175 و S₁₁=209، وهذه الحدود الموجبة تجعل المجاميع متزايدة تماماً.
متتاليات حسابية والمسائل العكسية
من أجل الحد الأول a والفرق المشترك d، u_n=a+(n−1)d
تحقق من أي صيغة لمجموع المتتاليات تجيب على السؤال وهل شروطها محققة.
أوجد a عندما u₃=10 وu₇=22 في متتالية حسابية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
اطرح معادلات الحدين للحصول على 4d=12، ثم a=10−2×3=4.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الحد n والحد n من المتسلسلة كميات مختلفة. يحتوي الحد n على n−1 فروقات، وليس n. لا تقرب الحل غير الصحيح لعدد حدود دقيق. إذا طلب السؤال أول مجموع يصل إلى هدف معين، تحقق من المجاورات العددية للمجاميع. ليست كل متسلسلات حسابية لها مجاميع جزئية متزايدة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
يمكن تقريب أي حل غير صحيح لعدد حدود دقيق إلى أقرب عدد صحيح. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد الفرق المشترك d.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d=(22−10)/(7−3)=3.
الحل غير الصحيح لعدد حدود دقيق يمكن دائماً تقريبه لأقرب عدد صحيح.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الحد n والمجموع n من الحدود كميات مختلفة. يحتوي الحد n على n−1 فروقات، وليس n. لا تقرب الحل غير الصحيح لعدد حدود دقيق. إذا طلب السؤال أول مجموع يصل على الأقل إلى هدف، فافحص مجاميع الأعداد الصحيحة المجاورة. ليس لكل متتالية حسابية مجاميع جزئية متزايدة.
تفسير موقف جديد
- لهذا التسلسل، أقل قيمة لـ n تعطي S_n≥200 هي 11، لأن المجموع السابق هو 175. حدد ما إذا كان السؤال يطلب مجموعاً دقيقاً أو عتبة. صيغة المجموع تعمل أيضاً للفروقات السالبة، لكن يجب التحقق من أي فرضية للقيمة الموجبة أو الترتيب من الحدود الفعلية.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
كم عدد الحدود التي تعطي مجموعاً 175 في هذه المتتالية؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
معادلة المجموع تُحلل إلى (n−10)(3n+35)=0؛ احتفظ بالعدد الصحيح الموجب 10.
طابق كل صيغة لسلسلة حسابية مع الكمية المقابلة لها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الحد n-يحتوي على n-1 فروق، وليس n؛ تُحل المسائل العكسية عن طريق حل المعادلات المتزامنة لإيجاد a و d قبل التعامل مع أي مجموع.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · د. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
المبلغ الثابت المضاف إلى كل حد للحصول على الحد التالي. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.