العلاقات العودية المتزايدة والمتناقصة والدورية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| periodic sequence/ˌpɪərɪˈɒdɪk ˈsiːkwəns/ | متتالية دورية |
قاعدة التحديث نفسها يمكن أن تزيد قيمة ابتدائية واحدة وتقلل أخرى. ما الذي يحدد سلوكها؟
- قاعدة التحديث نفسها يمكن أن تزيد قيمة ابتدائية واحدة وتقلل أخرى. ما الذي يحدد سلوكها؟
- تدرس هذه الدرس متتالية دورية: متتالية تتكرر حدودها بعد عدد ثابت من الخطوات.
اختر البنية الرياضية
- تحتاج المتتالية العودية إلى حد أولي بالإضافة إلى قاعدة. احسب كل حد جديد من السابق، مع الحفاظ على القيم الدقيقة إن كان مفيداً. قارن u_(n+1)−u_n وتحقق من الحدود قبل ادعاء السلوك المتزايد أو المتناقص. المتتالية الدورية تتكرر بعد عدد ثابت من الخطوات؛ أصغر خطوة إيجابية متكررة هي دورها.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بالنسبة لـ u next=u/2+3 بدءًا من 1، لماذا تزداد المتتالية نحو 6 دون تجاوزه؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بينما u_n<6، يضيف التحديث نصف الفجوة المتبقية، فتتزايد الحدود وتبقى تحت 6. البدء فوق 6 يجعل نفس القاعدة تنقص نحوه: نقطة الثبات تجذب من كلا الجانبين.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
من أجل u₁=1 و u_(n+1)=u_n/2+3، الحدود الأولى هي 1,7/2,19/4,43/8. القيمة الثابتة تحل L=L/2+3، مما يعطي L=6. إذا u_n<6, the next term remains below 6 and u_(n+1)−u_n=(6−u_n)/2>0. إذن هذه المتتالية تزداد نحو 6. البدء بدلالة 11 يعطي 11,17/2,29/4,…، متناقصة مع البقاء فوق 6. الصيغة الدقيقة هي u_n=6+(u₁−6)/2^(n−1). منفصلًا، v₁=2 و v_(n+1)=6−v_n تعطي 2,4,2,4,… بدور 2 لأن تطبيق القاعدة مرتين يعيد الحد الأصلي. البدء بهذه القاعدة الثانية من 3 يعطي متتالية ثابتة بأصغر دور 1.
العلاقات العودية المتزايدة والمتناقصة والدورية
تحتاج العلاقة العودية إلى حد أولي بالإضافة إلى قاعدة
تحقق مما إذا كانت متتالية أو حجة مجموع تحافظ على جميع معلومات تعريفها.
من أجل u₁=1 و u_(n+1)=u_n/2+3، أوجد u₂.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₂=1/2+3=7/2=3.5.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الحدود العددية المبكرة توحي بالسلوك لكنها لا تثبت ذلك لكل n. معادلة نقطة ثابتة وحدها لا تثبت التقارب: يجب أن تستمر عملية التحديث في الاقتراب منها. القيم المتناوبة لا necessarily تكون دورية؛ (−2)^n يتناوب في الإشارة بينما يكبر مقدارها. حدد ما إذا كان "متزايد" يعني متزايدًا تمامًا أو غير متناقص.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل متتالية عودية ذات قيمة ثابتة يجب أن تتقارب إليها من كل قيمة ابتدائية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد ₃ لتلك المتتالية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₃=(7/2)/2+3=19/4=4.75.
كل علاقة عودية بقيمة ثابتة يجب أن تتقارب إليها من أي قيمة ابتدائية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تشير الحدود العددية المبكرة إلى السلوك لكنها لا تثبته لكل n. معادلة نقطة ثابتة وحدها لا تثبت التقارب: يجب أن يواصل التحديث الاقتراب منها. القيم المتناوبة قد لا تكون دورية؛ (−2)^n تتناوب في الإشارة بينما تكبر مقدارها. حدد ما إذا كان "متزايد" يعني متزايد تمامًا أم غير متناقص فقط.
تفسير موقف جديد
- تحقق من الصيغة الصريحة عن طريق تعويضها في العلاقة التكرارية والتحقق من الحد الأول. المسافة من 6 تنقص إلى النصف في كل تحديث، مما يفسر التقارب في هذا المثال. تغيير الحد الأول يغير الاتجاه أو يعطي متسلسلة ثابتة، على الرغم من أن صيغة العلاقة التكرارية تبقى كما هي.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد أصغر دورة لـ 2,4,2,4,… .
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تحديثان يعيدان إلى 2، بينما يعطي واحد 4؛ أصغر دورة هي 2.
طابق كل سلوك متكرر مع اختباره.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ادعاءات السلوك تحتاج إلى فرق أو حجة الحد؛ الدورية هي أصغر خطوة تكرار موجبة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · د. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
متسلسلة تتكرر حدودها بعد عدد ثابت وموجب من الخطوات. اختر العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.