الهويات المقلوبة وسلاسل البرهان ذات الجانب الواحد
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | متطابقة |
يتفق صيغة واحدة عند زاوية واحدة. هل هذا يثبت أنهما يتفقان عند كل زاوية يكونان فيها معرّفتين؟
- تتفق صيغتان عند زاوية واحدة. هل هذا يثبت أنهما تتفقان عند كل زاوية يكونان فيها معرّفتين؟
- تدرس هذه الدرس الهوية: مساواة صحيحة لكل مدخل في مجالها المشترك المعلَن.
اختر البنية الرياضية
- معادلة دائرة الوحدة تعطي sin²θ+cos²θ=1. قسّم على cos²θ عندما cosθ≠0 لتحصل على tan²θ+1=sec²θ. قسّم على sin²θ عندما sinθ≠0 لتحصل على 1+cot²θ=cosec²θ. سجّل الاستثناءات قبل الاختصار أو القسمة. يبدأ البرهان من جهة واحدة ويصل إلى الأخرى عبر مساواتٍ صحيحة؛ لا تُعدّ الفحوصات العددية برهاناً بحد ذاتها.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا لا يُعد التحقق من tan²θ-sin²θ=tan²θsin²θ عند θ=π/4 إثباتاً؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يدعي المتطابقة التساوي في كل مدخل مسموح به. يربط الإثبات تساويات صالحة من جانب إلى آخر: sin²θ(1/cos²θ-1)=sin⁴θ/cos²θ=tan²θsin²θ، مع تسجيل الاستثناءات.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
أثبت أن tan²θ−sin²θ=tan²θ sin²θ من أجل cosθ≠0. الطرف الأيسر يساوي sin²θ(1/cos²θ−1)=sin²θ(1−cos²θ)/cos²θ=sin⁴θ/cos²θ=tan²θ sin²θ. لا حاجة للقسمة على sinθ، لذا يبقى سمح sinθ=0. من أجل sinθ≠0، تصبح (1−cosθ)/sinθ مساوية لـ (1−cosθ)(1+cosθ)/[sinθ(1+cosθ)]=sin²θ/[sinθ(1+cosθ)]=sinθ/(1+cosθ). الاستبعاد المذكور يجعل أيضًا 1+cosθ غير صفري. إذا كان secθ=2 مع θ حادة، فإن tan²θ=4−1=3، وcosθ=1/2، وsin²θ=3/4، وcosec²θ=4/3، وcot²θ=1/3.
الهويات المقلوبة وسلاسل البرهان ذات الجانب الواحد
معادلة الدائرة الوحدوية تعطي sin²θ+cos²θ=1
اشرح أي قيد للمقام أو الفرع يجعل كل خطوة صالحة.
إذا كان secθ=2 و θ حاد، أوجد tan²θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan²θ=sec²θ−1=4−1=3.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- إثبات هوية لا يعني افتراض تساوي الطرفين والتعامل مع هذا الافتراض بدون تبرير. الهوية المربعة لا تحدد إشارة الدالة: الربع يفعل ذلك. التعبير الأخير sinθ/(1+cosθ) معرّف عند θ=0، لكن التعبير الأصلي (1−cosθ)/sinθ ليس كذلك؛ التبسيط لا يعيد إصلاح مجال الدالة الأصلي.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
فحص هوية مقترحة عند زاوية واحدة يثبتها لجميع الزوايا المسموحة. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
أوجد cosec²θ لتلك الزاوية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin²θ=1−cos²θ=3/4؛ مقلوبها هو 4/3.
التحقق من هوية مقترحة عند زاوية واحدة لا يثبت صحتها لجميع الزوايا المسموحة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إثبات هوية لا يعني افتراض تساوي الطرفين والتعامل مع هذا الافتراض بدون تبرير. الهوية المربعة لا تحدد إشارة الدالة: الربع الهندسي هو الذي يفعل ذلك. التعبير الأخير sinθ/(1+cosθ) معرف عند θ=0، لكن الأصلي (1−cosθ)/sinθ غير معرف؛ التبسيط لا يصلح المجال الأصلي.
تفسير موقف جديد
- اختر الطرف الأكثر تعقيداً، واستبدل الدوال المقلوبة بالجيب/جيب التمام، واستخدم مقاماً مشتركاً وطبّق sin²+cos²=1. عرّف كل عامل تم اختصاره. لنفي هوية مُدّعى، يكفي مثال مضاد واحد صالح؛ ولإثباتها، اشرح لماذا تعمل السلسلة لجميع الزوايا في المجال المشترك.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد cot²θ لتلك الزاوية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cot²θ=cosec²θ−1=4/3−1=1/3.
طابق كل متطاقة مستنتجة بمصدرها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
التبسيط لا يصلح المجال الأصلي أبداً: خطوة صالحة فقط حيث sinθ≠0 تستبعد θ=0 من العبارة الأصلية.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
مساواة صحيحة لكل مدخل في مجالها المشترك المعلَن. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.