متطابقات زوايا مركبة وإثباتات هندسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | زاوية مركبة |
نقطتا وحدة نصف القطر تُعرّفان وترًا. هل يمكن لطوله أن يفسر لماذا جيب تمام الفرق ليس فرق جيبَي تمام؟
- نقطتا وحدة نصف القطر تُعرّفان وترًا. هل يمكن لطوله أن يفسر لماذا جيب تمام الفرق ليس فرق جيبَي تمام؟
- تدرس هذه الدرس زاوية مركبة: زاوية تُعبَّر كمجموع أو فرق زاويتين.
اختر البنية الرياضية
- sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB. cos(A±B)=cosA cosB∓sinA sinB: إشارتا جيب التمام تتغيران. tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanA tanB) حيث تكون الظلال والمقام معرّفين. اشتق الظل بقسمة صيغ الجيب وجيب التمام المقابلة؛ لا تمدد خارجاً عبر مقام صفري.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا تكون cos(A+B)=cosA cosB - sinA sinB بينما تحمل sin(A+B) علامة الجمع؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تحقق من A=B=45°: cos 90°=0 وcosAcosB-sinAsinB=1/2-1/2=0، بينما الجمع سيعطي 1. إن عكس إشارة جيب التمام هو بالضبط ما تنتجه الهندسة المركبة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
لتكن P=(cosA,sinA) و Q=(cosB,sinB) على الدائرة الوحدة. تعطي المسافة الإحداثية PQ²=2−2(cosA cosB+sinA sinB). يعطي قانون جيب التمام على نصفَي قطر وحدة PQ²=2−2cos(A−B)، ومنه صيغة فرق جيب التمام. استبدل B بـ −B، مستعيناً بأن جيب التمام دالة زوجية وجيب دالة فردية، للحصول على صيغة مجموع جيب التمام. طبق صيغة فرق جيب التمام على (π/2−A) و B للحصول على sin(A+B)؛ ثم غيّر إشارة B لجيب الطرح. التقييمات الدقيقة: sin75°=sin(45°+30°)=(√6+√2)/4؛ cos75°=(√6−√2)/4؛ sin15°=(√6−√2)/4، cos15°=(√6+√2)/4 و tan15°=2−√3.
متطابقات زوايا مركبة وإثباتات هندسية
sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB
اشرح كيف يتبع متطابقة الزاوية من الشروط الهندسية أو معاملية.
أوجد sin(π/12) كعدد عشري.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
استخدم sin(π/4−π/6)=(√6−√2)/4≈0.258819.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- sin(A+B) لا يساوي sinA+sinB. وترس جيب التمام يستخدم الزاوية الأصغر المحصورة عند الحاجة، لكن جيب تمامه يظل cos(A−B). المسافة الإحداثية والمتطابقات الناتجة صالحة لجميع الزوايا ذات الإشارة؛ المخطط الأول هو حالة توضيحية واحدة. tan(45°+45°) غير معرّف لأن 1−tan45°tan45°=0.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
جيب تمام المجموع يساوي دائماً مجموع قيمتي جيب التمام. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد cos(π/12) كعدد عشري.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
استخدم cos(π/4−π/6)=(√6+√2)/4≈0.965926.
جيب تمام المجموع لا يساوي دائماً مجموع قيم جيب التمام.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(A+B) ليس مساوياً لـ sinA+sinB. يُستخدم قانون الجيب في الأوتار الزاوية المحصورة الأصغر عند الحاجة، لكن جيب تمامه يبقى cos(A−B). مسافة الإحداثيات والمتطابقات الناتجة صالحة لجميع الزوايا الموقعة؛ الرسم البياني الأول هو حالة توضيحية واحدة. tan(45°+45°) غير معرّف لأن 1−tan45°tan45°=0.
تفسير موقف جديد
- اختر زوايا مألوفة يكون مجموعها أو الفرق منها هو الهدف. احتفظ بالجذور الدقيقة وحسّن كسر الظل إذا لزم الأمر. في الدليل الهندسي، اذكر التعبيرين لنفس الوتر بدلاً من افتراض المتطابقة المطلوبة. تحقق من المقام قبل تطبيق صيغة مجموع/طرح الظل.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد tan(π/12) كعدد عشري.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
استخدم tan(π/4−π/6)=2−√3≈0.267949.
طابق كل قيمة دقيقة مع حساب الزاوية المركبة المقابل لها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تغذي قيم المثلثات الخاصة الصيغ المركبة لإنتاج قيم دقيقة عند 15° و75° بدون الآلة الحاسبة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
زاوية مُعبَّرة كمجموع أو فرق زاويتين. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.