متطابقات الزاوية المزدوجة، إشارات الأرباع والأشكال المربعة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | زاوية مضاعفة |
مضاعفة زاوية عجلة يمكن أن تنقل نقطة إلى ربع آخر. أي الإشارات تبقى بعد الحساب؟
- مضاعفة زاوية عجلة يمكن أن تنقل نقطة إلى ربع آخر. أي الإشارات تبقى بعد الحساب؟
- تدرس هذه الدرس الزاوية المضاعفة: زاوية تساوي ضعف الزاوية الأصلية.
اختر البنية الرياضية
- ضع B=A=θ في الصيغ المركبة: sin2θ=2sinθ cosθ؛ cos2θ=cos²θ−sin²θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1. حيثما كان tanθ و tan2θ موجودين، فإن tan2θ=2tanθ/(1−tan²θ). بإعادة الترتيب نحصل على sin²θ=(1−cos2θ)/2 و cos²θ=(1+cos2θ)/2. تعتمد هذه المتطابقات على الزاوية الكاملة 2θ، وليس على تربيع الدالة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
مع cos θ=-3/5 في الربع الثاني، لماذا يكون sin θ=+4/5 بدلاً من -4/5؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يعطي المتطابقة المربعة فقط المقدار. يحدد الربع المذكور الإشارة: الجيب موجب في الربع الثاني، لذا sin θ=+4/5 وsin2θ=2(4/5)(-3/5)=-24/25.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
إذا كان cosθ=−3/5 و θ يقع في الربع الثاني، فإن sinθ=+4/5. حينها sin2θ=2(4/5)(−3/5)=−24/25 و cos2θ=9/25−16/25=−7/25. كلاهما سالب، لذا تقع الزاوية المضاعفة في الربع الثالث modulo دورة واحدة؛ tan2θ=24/7. صيغة التانجنس تعطي نفس الجواب من tanθ=−4/3. استعد sin²θ من cos2θ: [1−(−7/25)]/2=16/25. عند θ=π/4، لا تزال صيغ مضاعفات الجيب وجيب التمام تعمل، لكن tan2θ غير معرفة. عند θ=π/2، tanθ غير معرفة بينما tan2θ=0؛ استخدم الجيب/جيب التمام بدلاً من كسر التانجنس.
متطابقات الزاوية المزدوجة، إشارات الأرباع والأشكال المربعة
ضع B=A=θ في الصيغ المركبة: sin2θ=2sinθ cosθ؛ cos2θ=cos²θ−sin²θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1
اشرح كيف يتبع متطابقة الزاوية من الشروط الهندسية أو معاملية.
بالنسبة للزاوية في الربع الثاني المحلولة، أوجد sin2θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2sinθcosθ=2×(4/5)×(−3/5)=−24/25=−0.96.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- sin2θ تعني sin(2θ)؛ sin²θ تعني (sinθ)². القيمة المربعة تعطي المقدار لكنها لا تحدد الإشارة؛ استخدم الربع المحدد قبل أخذ الجذر. لا تستنتق أبداً ربع الزاوية المضاعفة من الربع الأصلي دون التحقق من الإشارات. المتطابقات المبسطة لا تلغي استثناءات الظل الأصلية.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
الدالتان sin2θ و sin²θ لهما نفس القيمة لكل زاوية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد cos2θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos²θ−sin²θ=9/25−16/25=−7/25=−0.28.
الدالتان sin2θ و sin²θ لهما نفس القيمة لكل زاوية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin2θ تعني sin(2θ)؛ sin²θ تعني (sinθ)². القيمة المربعة تعطي المقدار لكن لا الإشارة؛ استخدم الربع المذكور قبل استخراج الجذر. لا تستنتج ربع الزاوية المضاعفة من الربع الأصلي دون التحقق من الإشارات. المتطابقات المبسطة لا تزيل استثناءات الظل الأصلية.
تفسير موقف جديد
- اختر شكل جيب التمام الذي يتوافق مع الكمية المعروفة: 2cos²θ−1 عندما يُعطى جيب التمام، أو 1−2sin²θ عندما يُعطى الجيب. استخدم الصيغ المربعة لاستبدال مربع مثلثي بثابت وحدد زاوية مضاعفة. تحقق من الإشارة المستنتجة مقابل دائرة الوحدة واحتفظ بالكسور الدقيقة حتى يُطلب رقم عشري.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد tan2θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
قسّم الجيب على جيب التمام: (−24/25)/(−7/25)=24/7.
طابق كل صيغة للزاوية المزدوجة مع تعبيرها المقابل.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin2θ تعني sin(2θ)، وليس (sin θ)²؛ تبديل الأشكال المعادة تربيعاً بزاوية مزدوجة في التكاملات والأدلة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
زاوية تساوي ضعف الزاوية الأصلية. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.