All-angle definitions, exact values and periodic graphs
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | الدائرة الوحدة |
عجلة تدور تتجاوز الزاوية القائمة. أي إحداثي يعطي موقعها العمودي بعد أكثر من نصف دورة؟
- عجلة تدور تتجاوز الزاوية القائمة. أي إحداثي يعطي موقعها العمودي بعد أكثر من نصف دورة؟
- تدرس هذه الدرس دائرة الوحدة: دائرة نصف قطرها واحد موحدة المركز في نقطة الأصل الإحداثية.
اختر البنية الرياضية
- للزاوية الموجهة θ من المحور x الموجب، نقطة الدائرة الوحدة هي (cosθ,sinθ)؛ tanθ=sinθ/cosθ حيث cosθ≠0. الجيب وجيب التمام لهما دور 2π ونطاق [−1,1]. الظل له دور π، وجميع القيم الحقيقية كخارج، وتناظرات رأسية عند θ=π/2+kπ لكل عدد صحيح k. الجيب والظل دوال فردية؛ جيب التمام دالة زوجية.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why is sin(7π/6)=-1/2 rather than +1/2?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The unit-circle point at 7π/6 is (-√3/2,-1/2). The reference angle π/6 supplies the size 1/2 and the third quadrant supplies the minus sign.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
المثلثات الخاصة تعطي (sinθ,cosθ): عند 0 استخدم (0,1)؛ π/6 تعطي (1/2,√3/2)؛ π/4 تعطي (√2/2,√2/2)؛ π/3 تعطي (√3/2,1/2)؛ π/2 تعطي (1,0)؛ π تعطي (0,−1). اقسم للحصول على الظل، باستثناء π/2. زوايا المرجع وإشارات الربع تعطي sin(7π/6)=−1/2، cos(4π/3)=−1/2 و tan(3π/4)=−1. اطرح الدورات الكاملة قبل تحديد الربع: sin(19π/6)=sin(7π/6). بالنسبة لـ y=2 sin(3x−π)+1، السعة=2، الدور=2π/3، خط المركز y=1 والنطاق [−1,3]. كتابة 3x−π=3(x−π/3) تعطي إزاحة يمين π/3.
All-angle definitions, exact values and periodic graphs
For a signed angle θ from the positive x-axis, the unit-circle point is (cosθ,sinθ); tanθ=sinθ/cosθ where cosθ≠0
Explain each condition before using the corresponding trigonometric formula.
Find sin(7π/6) exactly as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
7π/6 is in quadrant III; sine is −sin(π/6)=−1/2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الزاوية السالبة تكون في اتجاه عقارب الساعة؛ لا تفترض تلقائياً أن الجيب موجب. Tan(π/2) غير معرفة وليس عدداً finite كبيراً جداً. اضرب تردد المدخل لتقصير الدورة؛ إضافة إزاحة رأسية لا تغير الدورة. يتقاطع منحنى الجيب مع خط منتصفه بدلاً من تقاطعه دائماً مع y=0.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
الجايب وجيب التمام يتكرر بعد π راديان لكل زاوية إدخال. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهك.
Find tan(3π/4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3π/4 is in quadrant II; tangent is −tan(π/4)=−1.
Sine and cosine repeat after π radians for every input angle.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A negative angle is clockwise; do not automatically make its sine positive. Tan(π/2) is undefined rather than a very large finite number. Multiply the input frequency to shorten the period; adding a vertical shift does not change the period. The sine graph crosses its centre line rather than always crossing y=0.
تفسير موقف جديد
- ارسم بيانياً من دورة كاملة من النقاط الرئيسية، وتماثلها ودورها. بالنسبة لـ cosθ استخدم التماثل الانعكاسي حول θ=0؛ أما sinθ/tanθ فاستخدم تماثل نقطة الأصل. احتفظ بالقيم المرجعية الدقيقة، ثم استخدم الآلة الحاسبة فقط عندما تحتاج زاوية غير مألوفة إلى قيمة عشرية. حدد وضع الزاوية وفترة المجال.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find the maximum of y=2 sin(3x−π)+1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sine can reach 1, so 2×1+1=3.
Match each function property to the correct function.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
On the unit circle the point is (cos θ, sin θ); tangent is their ratio and blows up wherever cosine vanishes.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
دائرة نصف قطرها واحد سنتيمتر مركزها نقطة الإحداثيات. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.