الدوال المثلثية المقلوبة والزاويات المستبعدة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | القاطع |
صيغة تقسم على الإحداثي الأفقي لنقطة دوارة. ماذا يحدث عندما يقترب ذلك الإحداثي من الصفر؟
- صيغة تقسم على الإحداثي الأفقي لنقطة دوارة. ماذا يحدث عندما يقترب ذلك الإحداثي من الصفر؟
- تدرس هذه الدرس القطعة (secant): المقلوب للجايب التمام حيثما يكون الجيب التمام لا يساوي صفراً.
اختر البنية الرياضية
- secθ=1/cosθ و cosecθ=1/sinθ. عرّف cotθ=cosθ/sinθ، بحيث يوجد عندما sinθ≠0. تستبعد القطعة θ=π/2+kπ؛ بينما تستبعد القاطع والظل θ=kπ، لكل عدد صحيح k. القطعة/القاطع لهما فترة 2π ونطاق (−∞,−1]∪[1,∞). الظل له فترة π وكل ناتج حقيقي. القطعة دالة زوجية؛ القاطع والظل دوال فردية.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا cot(π/2)=0 بينما tan(π/2) غير معرفة؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تعريف الظا كـ cos/sin بدلاً من 1/tan يحافظ على صلاحيته بالضبط حيث تفشل الظا. عند π/2، يُلغي cos=0 الظا لكن يعطي cot=0/1=0.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
عند θ=2π/3، cosθ=−1/2 و sinθ=√3/2، إذن secθ=−2، cosecθ=2√3/3 و cotθ=−√3/3. عند θ=π/2، cotθ=0/1=0 و cosecθ=1، لكن secθ غير معرّف. ارسم فروع القاطع خارج الشريط −1<y<1: y=1 عند 0، y=−1 عند π، مع تناظرات رأسية عند π/2 و 3π/2. يصل القاطع إلى 1 عند π/2 و −1 عند 3π/2، مع تناظرات عند 0، π و 2π. ينخفض الظل التمام من موجب إلى سالب ما لا نهاية على (0,π)، متقاطعاً الصفر عند π/2؛ كرر بعد π.
الدوال المثلثية المقلوبة والزاويات المستبعدة
secθ=1/cosθ و cosecθ=1/sinθ
اشرح أي قيد للمقام أو الفرع يجعل كل خطوة صالحة.
أوجد sec(2π/3).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos(2π/3) = −1/2، لذا فإن مقلوبه هو −2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- cotθ=1/tanθ يمكن استخدامه فقط حيثما توجد كلتا التعبيرتين وتكون tanθ≠0. لا يمكنه تعريف cot(π/2)، لأن tan(π/2) غير معرفة بينما cot(π/2)=0. الأس −1 في sin⁻¹ يشير غالباً إلى جايب العكس وليس المقلوب؛ اكتب cosecθ عندما تعني 1/sinθ.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
الظل غير معرفة عند كل زاوية يكون فيها الظل غير معرفة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد cot(π/2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cot(π/2) = cos(π/2)/sin(π/2) = 0/1 = 0.
التانجس غير معرف عند كل زاوية يكون عندها التانجنت غير معرفة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
cotθ = ⟨1⟩/tanθ يمكن استخدامه فقط عندما يوجد كلا التعبيرين و tanθ≠0. لا يمكنه تعريف cot(π/2)، لأن tan(π/2) غير معرفة بينما cot(π/2) = 0. الأس −1 في sin⁻¹ يشير غالباً إلى الزاوية العكسية وليس المقلوب؛ اكتب cosecθ عندما تعني ⟨1⟩/sinθ.
تفسير موقف جديد
- ارسم أصفار الجيب/الجيب التمام الأساسية أولاً: هذه تحدد مواقع التقاربات المقلوبة. القيم 1 و −1 تبقى دون تغيير عند أخذ المقلوب. قسّم المجال عند كل زاوية مستبعدة ولا تصل أبداً بين الفروع عبر تقارب. حدد مجال الدالة قبل إعادة ترتيب معادلة تتضمن مقامها.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد cosec(π/2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cosec(π/2)=1/sin(π/2)=1.
طابق كل دالة مقلوبة مع زواياها المستبعدة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
كل دالة مقلوبة ترث مجالها من أصفار مقامها؛ لا تنخفض |sec| و |cosec| أبدًا دون 1.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
المقلوب للجايب التمام حيثما يكون الجيب التمام لا يساوي صفراً. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.