أفرع الدوال المثلثية العكسية والقيم الرئيسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | القيمة الأساسية |
نسبة الارتفاع تعطي زوايا عجلة متعددة. كيف تختار الآلة الحاسبة واحدة منها فقط؟
- نسبة الارتفاع تعطي زوايا عجلة متعددة. كيف تختار الآلة الحاسبة واحدة منها فقط؟
- تدرس هذه الدرس القيمة الرئيسية: الناتج العكسي الوحيد المختار من فترة مقيدة محددة.
اختر البنية الرياضية
- اقتصار الجيب على [−π/2,π/2] لتعريف arcsin بمجال [−1,1] ونطاق [−π/2,π/2]. اقتصار الجيب التمام على [0,π] لتعريف arccos، بمجال [−1,1] ونطاق [0,π]. اقتصار الظل على (−π/2,π/2) لتعريف arctan، بكل إدخال حقيقي ونطاق (−π/2,π/2). تعكس هذه الرسوم البيانية العكسية الرسوم الأساسية المقيدة في y=x.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا arcsin(sin(5π/6)) يساوي π/6 وليس 5π/6؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تم تقييد جا على [-π/2,π/2] لجعلها دالة متباينة؛ يمكن للمعكوس إرجاع قيم من هذا الفرع فقط. يُسترد الزاوية الأصلية فقط عندما تقع بالفعل في الفترة المقيدة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
arcsin(1/2)=π/6، arccos(−1/2)=2π/3 و arctan(−1)=−π/4. على الرغم من أن sin(5π/6)=1/2، إلا أن arcsin(sin(5π/6))=π/6، وليس 5π/6. وبالمثل arccos(cos(4π/3))=2π/3 و arctan(tan(3π/4))=−π/4. بالنسبة لـ sin x=1/2 على [0,2π)، القيمة الرئيسية α=π/6 تولد كلًا من α و π−α=5π/6. أما بالنسبة لـ cos x=−1/2 فالحلول هي 2π/3 و 4π/3؛ حيث يتكرر التانجنس قيمته الرئيسية بعد π.
أفرع الدوال المثلثية العكسية والقيم الرئيسية
قيد الجيب بـ [−π/2,π/2] لتعريف arcsin بمجال [−1,1] ونطاق [−π/2,π/2]
اشرح أي قيد للمقام أو الفرع يجعل كل خطوة صالحة.
اكتب arcsin(1/2)=kπ. أوجد k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
زاوية الجيب الرئيسية هي π/6، لذا k=1/6.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- sin(arcsin u)=u فقط عندما −1≤u≤1؛ arcsin(sin x)=x فقط على فرع الجيب المقيد. دالة arccos متناقصة، لذا arccos(−1)=π و arccos(1)=0. يقترب Arctan من ±π/2 كلما زادت قيمة المدخل، لكنه لا يصل إلى هذه الحدود أبداً. القيمة الرئيسية وحدها ليست مجموعة حلول على شكل فترة كاملة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
تطبيق الدالة العكسية للجيب بعد الجيب يُعيد الزاوية الأصلية لكل زاوية حقيقية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
اكتب arccos(−1/2)=kπ. أوجد k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الجيب يساوي −1/2 عند 2π/3 في [0,π]، لذا k=2/3.
تطبيق الجيب العكسي بعد الجيب يعيد الزاوية الأصلية لكل زاوية حقيقية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(arcsin u)=u فقط عندما −1≤u≤1؛ arcsin(sin x)=x فقط على الفرع المقيد للجيب. Arccos دالة تناقصية، لذا arccos(−1)=π و arccos(1)=0. Arctan يقترب من ±π/2 كلما زادت قيمة المدخل في المقدار لكنها لا تصل إلى تلك الحدود أبداً. القيمة الأساسية وحدها ليست مجموعة حلول كاملة للفترة.
تفسير موقف جديد
- ضع حدود مجال ونطاقات المخرجات قبل تركيب الدوال. على الرسوم البيانية العكسية، يمتد arcsin من (−1,−π/2) إلى (1,π/2)، و arccos من (−1,π) إلى (1,0)، ويمر arctan عبر (0,0) بين المستقيمات الأفقية المقاربة. احتفظ بالإجابات بالراديان ما لم تُطلب الدرجات، وتحقق من جميع مرشحين المعادلات في المجال الأصلي.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
اكتب arctan(−1)=kπ. أوجد k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الظل يساوي −1 عند −π/4 في (−π/2,π/2)، لذا k=−1/4.
طابق كل دالة عكسية مع نطاقها المقيد.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يتم اختيار كل فرع لجعل الدالة الأصلية متباينة (واحد لواحد)؛ ثم تولد القيمة الرئيسية مجموعة الحلول الكاملة عبر التناظر والدورية.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
القيمة العكسية الواحدة المختارة من فترة مقيدة معلنة. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.