Small-angle approximations and their limits
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | تقريب |
دوران صغير يحرك مؤشراً بشكل شبه أفقي. متى يكون استبدال الدالة المثلثية بالزاوية نفسها دقيقاً بما يكفي؟
- دوران صغير يحرك مؤشراً بشكل شبه أفقي. متى يكون استبدال الدالة المثلثية بالزاوية نفسها دقيقاً بما يكفي؟
- تدرس هذه الدرس التقريب: قيمة أبسط قريبة تُستخدم مع تحديد حد دقة مذكور.
اختر البنية الرياضية
- عندما تكون θ قريبة من الصفر ومقاسة بالراديان، sinθ≈θ، tanθ≈θ و cosθ≈1−θ²/2. هذه تقديرات وليست متطابقات. الحدود التي تم استبعادها للساين/التانجي تبدأ من رتبة θ³؛ الحد المستبعد للكوساين يبدأ من رتبة θ⁴. عادة ما تحسن الزوايا الأصغر مطلقاً دقة هذه التقديرات المحلية.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why does sin θ≈θ fail for an angle entered in degrees?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The small-angle limits come from radian geometry, where arc equals radius times angle. In degrees every value shrinks by π/180, so writing sin 1°≈1 is wrong by a factor of about 57.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
عند θ=0.1 راديان، sinθ≈0.1 (القيمة الفعلية 0.0998334)، tanθ≈0.1 (القيمة الفعلية 0.100335) وcosθ≈0.995 (القيمة الفعلية 0.995004). الأخطاء المطلقة تقارب 0.000167، 0.000335 و0.00000417. بالنسبة لـ 6(1−cos x)=0.03، نقدر 1−cos x بـ x²/2: 3x²≈0.03، لذا x≈±0.1 راديان. تحقق من افتراض الزاوية الصغيرة بعد الحل؛ التعويض عند x=0.1 يعطي 0.0299750 بدلاً من 0.03 تمامًا. كما أن sin(2x)/x≈2 للزوايا الصغيرة غير الصفرية، بينما 1−cos(2x)≈2x².
Small-angle approximations and their limits
When θ is close to zero and measured in radians, sinθ≈θ, tanθ≈θ and cosθ≈1−θ²/2
Explain each condition before using the corresponding trigonometric formula.
Using the small-angle formula, approximate sin(0.2 radians).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ, with θ=0.2 radians.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الدرجات لا تعمل في هذه الصيغ: sin(1°)≈π/180، وليس 1. اكتب ≈ بدلاً من =. الطرح قد يجعل الخطأ النسبي أكثر أهمية؛ احتفظ بمصطلح θ² في 1−cosθ. نسبة عند θ=0 قد تكون غير معرفة حتى لو كاننها القريب موجودًا.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
الصيغة sinθ≈θ صالحة تماماً لزاوية مدخلة بالدرجات. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهك.
Approximate cos(0.2 radians).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1−0.2²/2=0.98.
The formula sinθ≈θ is equally valid for an angle entered in degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Degrees do not work in these formulas: sin(1°)≈π/180, not 1. Write ≈ rather than =. Subtraction can make relative error more important; preserve the θ² term in 1−cosθ. A ratio at θ=0 may be undefined even when its nearby limit exists.
تفسير موقف جديد
- حول إلى الراديان أولاً وحدد الحجة لكل دالة مثلثية: sin(3x)≈3x، وليس x. بالنسبة لنموذج رياضي، قارن خطأ التقدير بالدقة المطلوبة. إذا لم يكن الحل صغيراً، استخدم المعادلة المثلثية الأصلية؛ هذه الصيغ ليس لها حد دقة عالمي ثابت.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Give the positive approximate solution of 6(1−cos x)=0.03 in radians.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x²≈0.03 gives x²≈0.01, so the positive root is 0.1.
Match each small-angle approximation to its first discarded term.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
These are approximations with accuracy limits - write ≈, keep θ in radians, and preserve the θ² term where subtraction would cancel the 1.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
قيمة أبسط قريبة تُستخدم مع تحديد حد دقة مذكور. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.