Quadratic trigonometric equations and complete root sets
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| candidate/ˈkændɪdeɪt/ | حلول محتملة |
المعادلة تعطي قيمتين جيبيتين محتملتين. كم عدد الزوايا التي تنتجها في دورة واحدة كاملة؟
- المعادلة تعطي قيمتين جيبيتين محتملتين. كم عدد الزوايا التي تنتجها في دورة واحدة كاملة؟
- تدرس هذه الدرس المرشح: وهو حل محتمل يحتاج إلى التحقق في المعادلة والفترة الأصليتين.
اختر البنية الرياضية
- استبدل دالة مثلثية بـ u، وحل المعادلة الجبرية، ثم حل كل قيمة مثلثية صالحة على الفترة المحددة. بالنسبة للجيب/الكوسين، تخلص من u خارج [−1,1]. يقبل الظل كل u حقيقي محدود لكن يستبعد الزوايا التي يكون فيها الكوسين صفراً. قم بالتحليل قبل القسمة على دالة مثلثية، حتى تُحفظ حالات الصفر.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
For 2cos²x-5cosx+2=0, the roots are cosx=1/2 and cosx=2. Why is only 1/2 usable?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The substitution u=cos x carries the range restriction [-1,1]. The algebraic root u=2 has no angle, leaving x=π/3 and 5π/3 from u=1/2 on [0,2π).
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
على 0≤x<2π، حل 2sin²x−sinx−1=0. ضع u=sinx: (2u+1)(u−1)=0، لذا u=−1/2 أو 1. الحلول هي 7π/6، 11π/6 و π/2؛ رتبها كـ π/2، 7π/6، 11π/6. بالنسبة لـ 2cos²x−5cosx+2=0، القيم الجبرية هي 1/2 و 2؛ تخلص من 2، متروكةً x=π/3,5π/3. بالنسبة لـ tan²x−3tanx+2=0، tanx=1 أو 2. بالتالي x=π/4,5π/4،arctan2،π+arctan2، مع التحقق من جميع الأربعة في المعادلة الأصلية. بالنسبة لـ sinx cosx=sinx، حلّل sinx(cosx−1)=0: x=0 أو π. اختصار sinx سيؤدي إلى فقدان π.
Quadratic trigonometric equations and complete root sets
Replace one trig function by u, solve the algebraic equation, then solve each valid trig value on the stated interval
Explain the original interval, denominator or physical reference before using a trig equation.
How many solutions does 2sin²x−sinx−1=0 have on [0,2π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinx=1 gives π/2; sinx=−1/2 gives 7π/6 and 11π/6: three angles.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- عدّ الزوايا بدلاً من الجذور الجبرية فقط: قيمة الجيب 1 لها زاوية واحدة لكل دورة، بينما معظم القيم الداخلية لها اثنتان. ارفض مخرجات الجيب/الكوسين المستحيلة قبل أخذ الدوال العكسية. لا تتضمن 2π في فترة نصف مفتوحة، ولا تسرد نقطة نهاية مكررة مرتين.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل جذر حقيقي لمعادلة تربيعية في cosx هو قيمة كوسين مسموحة. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهكه.
How many solutions remain for 2cos²x−5cosx+2=0 on that interval?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Reject cosx=2; cosx=1/2 gives π/3 and 5π/3.
Every real root of a quadratic in cosx is an allowed cosine value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Count angles rather than only algebraic roots: a sine value 1 has one angle per turn, while most interior values have two. Reject impossible sine/cosine outputs before taking inverse functions. Do not include 2π in a half-open interval, and do not list a repeated endpoint twice.
تفسير موقف جديد
- استخدم المتطابقة أولاً إذا كان كل من الجيب والكوسين موجودين: 2sin²x+cosx−2=0 تصبح cosx(1−2cosx)=0، مما يعطي x=π/2,3π/2،π/3,5π/3 على [0,2π). يكون حاصل الضرب المحلل مساويًا للصفر عندما يكون أحد العاملين صفراً. تحقق من كل مرشح ضد المجال الأصلي والفترة، خاصة بعد القسمة أو التربيع.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
How many solutions does sinx cosx=sinx have on that interval?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Factor sinx(cosx−1)=0; x=0 and π, with 0 appearing only once.
Match each trig-equation step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Count ANGLES, not algebraic roots: sin x=1 gives one angle per turn while an interior value like -1/2 gives two.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
حل محتمل لا يزال بحاجة إلى التحقق في المعادلة والفترة الأصليتين. اختر العلاقة، وعرض الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.