Multiple-angle equations and transformed intervals
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| transformed interval/trænsˈfɔːmd ˈɪntəvl/ | الفترة المحوّلة |
مضاعفة الزاوية تضاعف عدد الدورات المدروسة. كيف يمكننا تجنب فقدان نصف الحلول؟
- مضاعفة الزاوية تضاعف عدد الدورات التي يتم البحث عنها. كيف يمكننا تجنب فقدان نصف الحلول؟
- تدرس هذه الدرس الفترة المحولة: الفترة الخاصة بالزاوية المبدلة بعد تطبيق نفس تغيير المدخلات على طرفيها.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لمدخل u=kx+c، حوّل الفترة الكاملة لـ x إلى الفترة المقابلة لـ u. إذا كان k سالباً، اعكس ترتيب الأطراف مع الحفاظ على ما إذا كان كل طرف مشمولاً أم لا. حل في u باستخدام جميع دورات التكرار، ثم استعد x=(u−c)/k وتحقق من الفترة الأصلية. يتكرر الجيب/جيب التمام بعد 2π؛ يتكرر الظل بعد π.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why does solving sin 2x=1/2 on [0,2π) need the interval [0,4π) for u=2x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Transforming the whole interval gives 0≤u<4π, where sine hits 1/2 four times: π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6. Halving recovers four x values; a single u-cycle finds only two.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
حل sin2x=1/2 على 0≤x<2π. إذن 0≤u=2x<4π، مما يعطي u=π/6,5π/6,13π/6,17π/6. اقسم على 2: x=π/12,5π/12,13π/12,17π/12. بالنسبة لـ cos(2x−π/3)=1/2 على [0,2π)، فإن الفترة الجديدة هي [−π/3,11π/3). قيم u المسموحة هي −π/3, π/3,5π/3,7π/3، وبالتالي x=0, π/3, π, 4π/3. بالنسبة لـ tan3x=1 على [0, π)، تتراوح u في [0,3π)، لذا x=π/12,5π/12,3π/4. بالنسبة لـ sin(−2x)=0 على [0, π)، فإن الفترة المحولة هي (−2π, 0]؛ جذورها u=−π, 0 تعطي x=π/2,0.
Multiple-angle equations and transformed intervals
For an argument u=kx+c, transform the whole interval for x into the corresponding interval for u
Explain the original interval, denominator or physical reference before using a trig equation.
How many solutions does sin2x=1/2 have on [0,2π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2x covers two full turns, producing four sine roots.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- حل دورة واحدة فقط من u يفوت الجذور. الطرف العلوي المستبعد لـ x قد لا يكون الطرف العلوي لـ u عندما k<0. القسمة على عامل مثلثي يمكن أن تحذف أصفاراً؛ التربيع يمكن أن يُدخل جذوراً إضافية. عوض في المعادلة الأصلية، حيث قد تستمر مقامات مقلوب/ظل في استبعاد مرشح.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
حل sin2x على دورة كاملة واحدة من 2x يجد دائماً كل حلول x على [0,2π). هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
How many solutions does tan3x=1 have on [0,π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x covers three tangent periods, giving three roots.
Solving sin2x on one full turn of 2x always finds every x solution on [0,2π).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Solving only one cycle of u misses roots. An excluded upper endpoint for x need not be the upper endpoint for u when k<0. Dividing by a trig factor can remove zero roots; squaring can introduce extra roots. Substitute into the original equation, whose reciprocal/tangent denominators may still exclude a candidate.
تفسير موقف جديد
- استخدم العائلات العامة مثل u=α+2jπ أو π−α+2jπ للجيب، u=±arccos a+2jπ لجيب التمام، وu=arctan a+jπ للظل، مع j صحيح. احتفظ فقط بالقيم في الفترة المحولة. عند أقصاء الجيب/جيب التمام، قم بإزالة التكرار من العائلات. أعد الإجابة بوحدة الزاوية المطلوبة والمتغير الأصلي.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
How many solutions does sin(−2x)=0 have on [0,π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The transformed interval is (−2π,0], giving u=−π,0 and hence two x values.
Match each multiple-angle step to its rule.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tangent repeats after π, sine and cosine after 2π; the number of cycles scales with |k|.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
الفترة الخاصة بالزاوية المبدلة بعد تطبيق نفس تغيير المدخلات على طرفيها. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.