حالة قانون الجيب الغامضة وعدد المثلثات الصالحة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | الحالة الغامضة |
طرفان وزاوية غير محصّرة يمكن أن يصفوا مملكتين مختلفتين من الأراضي. كيف نتحقق مما إذا كان كلا المثلثين موجودين؟
- طرفان وزاوية غير محصّرة يمكن أن يصفوا مملكتين مختلفتين من الأراضي. كيف نتحقق مما إذا كان كلا المثلثين موجودين؟
- تدرس هذه الدرس الحالة الغامضة: بيانات مثلث يمكن أن تنتج مثلثين صحيحين مختلفين.
اختر البنية الرياضية
- ليكن A مقابل a، مع b ضلعاً آخر معلوماً. قاعدة الجيب تعطي sinB=b sinA/a. إذا كان هذا النسب أكبر من 1 فلا يوجد مثلث. وإلا فاختبر كلا B=arcsin(b sinA/a) ومكمله 180°−B. احتفظ فقط بـ C موجبة=180°−A−B؛ عندما B=90° يتطابق الفرعان. يجب أن يكون كل ضلع موجباً.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
معطى A=30°، a=7، b=10، لماذا يوجد مثلثان صالحان؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يوفر الجيب التمام مرشحاً حاداً، ومكمله مرشحاً ثانياً. كلاهما صحيح فقط لأن h<a<b حيث h=b sinA=5؛ ومع a=5 يوجد مثلث قائم واحد فقط، ومع a=4 لا يوجد مثلث.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
اختر A=30°، a=7 و b=10. ثم sinB=5/7، لذا B≈45.5847° أو 134.4153°. كلاهما يعطي C موجباً، حوالي 104.4153° أو 15.5847°. الأضلاع الثالثة المقابلة هي c=5√3+2√6≈13.5592 و c=5√3−2√6≈3.7613. لاستنتاجها، ضع A عند نقطة الأصل و C=(10cos30°,10sin30°)=(5√3,5)؛ B=(c,0). الشرط BC=7 يعطي (c−5√3)²+25=49. تقع التقاطعات كلاهما على الخط الأساسي الموجب. مساحاتهما هي bc sinA/2=25√3/2±5√6، لذا نفس البيانات لا تحدد مساحة واحدة.
حالة قانون الجيب الغامضة وعدد المثلثات الصالحة
ليكن A مقابلة لـ a، مع b كضلع معروف آخر
برر كل مرشح لمثلث أو نقطة رئيسية محولة مقابل شروطها التعريفية.
كم عدد المثلثات التي تتوافق مع A=30°، a=7 و b=10؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
h=10sin30°=5؛ 5<7<10 يعطي نقطتي تقاطع موجبتين على القاعدة.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- القيمة الثانية للجيب العكسي هي مجرد مرشح: فقد تجعل الزاوية المتبقية صفراً أو سالبة. بالنسبة للزاوية الحادة A و h=b sinA، الحالات هي: a<h: لا شيء؛ a=h: مثلث قائم واحد؛ h<a<b: اثنان؛ a≥b: واحد. عند a=b، يكون تقاطع الخط الإضافي هو c=0، وهو شكل متدهور. بالنسبة للزاوية القائمة أو المنفرجة A، يجب أن يتجاوز a b للحصول على مثلث واحد؛ وإلا فلا يوجد.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
دائمتان من قيم الجيب العكسي تعطان دائمًا مثلثين صالحين. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
كم عدد المثلثات التي تتوافق مع A=30°، a=5 و b=10؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a=h=5 يعطي مثلثاً قائماً واحداً؛ تتطابق فروع الجيب العكسي.
قيمتان للجيب العكسي تعطان دائماً مثلثين صالحين.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
قيمة الجيب العكسية الثانية هي مجرد مرشح: قد تجعل الزاوية المتبقية صفراً أو سالبة. بالنسبة للزاوية الحادة A و h=b sinA، الحالات هي: a<h: لا شيء؛ a=h: مثلث قائم واحد؛ h<a<b: اثنان؛ a≥b: واحد. عند a=b يكون نقطة التقاطع الإضافية للقاعدة هي c=0، وهو شكل متدهور. بالنسبة للزاوية القائمة أو المنفرجة A، يجب أن يتجاوز a b للحصول على مثلث واحد؛ وإلا فلا يوجد.
تفسير موقف جديد
- في المثال h=5: تغيير a إلى 5 يعطي مثلثًا قائمًا واحدًا، و4 لا يعطي أي مثلث، و10 يعطي مثلثًا بزاويتين A=B=30°. تحقق من مجموع الزوايا، وترتيب الأضلاع، وإعادة بناء قاعدة جيب التمام لكل مرشح. حدد كلا التكوينين عندما لا تحدد المعلومات المعطاة مثلثًا واحدًا، واحفظ الأطوال/المساحات الدقيقة قدر الإمكان.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
كم عدد المثلثات التي تتوافق مع A=30°، a=4 و b=10؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a=4<h=5 makes sinB=5/4>1، لذا لا يوجد مثلث.
طابق كل شرط للحالة الغامضة (زاوية حادة A، h=b sinA) مع عدد المثلثات.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المرشح المتمم هو مرشح فقط: يجب أن يترك زاوية ثالثة موجبة وأضلاعاً موجبة قبل أن يُحسب.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى أ · هـ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
معطيات مثلثية يمكن أن تنتج مثلثين صالحين مختلفين. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.