A-Level 物理

一个物理量(physical quantity)有两个部分:一个数字(它的大小(magnitude))和一个单位(unit)。单独一个数字什么也说明不了。你还必须说明测量的是什么、用的是哪个单位。

例子:"长度是 1.5"是不完整的。"长度是 1.5 m"才是一个物理量。

作估算

你应当能够估算(estimate)本大纲中各物理量的大小。第一卷通常以一道这样的题开始。记住这些粗略的数值:

• 成年人的质量(mass):$\sim 70\ \text{kg}$;一辆汽车:$\sim 1000\ \text{kg}$;一个苹果:$\sim 0.1\ \text{kg}$
• 成年人的重力(weight):$\sim 700\ \text{N}$;一个苹果:$\sim 1\ \text{N}$
• 成年人的身高:$\sim 1.7\ \text{m}$;房间的高度:$\sim 3\ \text{m}$
• 步行速率:$\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$;快速路上的汽车:$\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• 声音在空气中的速率:$\sim 340\ \text{m s}^{-1}$;光在真空(vacuum)中的速率:$3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• 自由落体(free fall)的加速度(acceleration):$g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• 水的密度(density):$1000\ \text{kg m}^{-3}$;空气:$\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$;钢:$\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• 大气压强(atmospheric pressure):$\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• 室温:$\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• 电热水壶的功率:$\sim 2\ \text{kW}$;一个人爬楼梯的功率:$\sim 300\ \text{W}$
• 可见光的波长:$\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$;原子的直径:$\sim 10^{-10}\ \text{m}$;原子核的直径:$\sim 10^{-15}\ \text{m}$

一个好的估算要有正确的数量级(order of magnitude,正确的十的幂)。对于人来说,70 kg 是个好的猜测;7 kg 就不是。

要估算一个不在表中的量,就用表中的量把它拼出来。一辆行驶中的汽车的动能是 $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$。一个人站立时对地面的压强是 $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$。往下做之前,一定先检查十的幂是否合理。

基本单位

SI 制中有七个基本量(base quantities);其中五个在本主题中用到。你必须知道这五个和它们的单位:

• 质量(mass)——千克,$\text{kg}$
• 长度(length)——米,$\text{m}$
• 时间——秒,$\text{s}$
• 电流(current)——安培(ampere),$\text{A}$
• 温度(temperature)——开尔文(kelvin),$\text{K}$

本大纲中其他所有单位都由这五个构成。

导出单位

导出单位(derived unit)是由基本单位相乘或相除得到的。你应当能够把本大纲中任何一个量用基本单位表示出来。

从定义某个单位的方程来构建它:

• 速率(speed)= 距离 / 时间,所以它的单位是 $\text{m s}^{-1}$
• 加速度= 速度(velocity)的变化 / 时间,所以它的单位是 $\text{m s}^{-2}$
• 力(force)= 质量 × 加速度,所以它的单位是 $\text{kg m s}^{-2}$。牛顿(newton)是 $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$。
• 功(work)和能量(energy)= 力 × 距离,所以单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$。焦耳(joule)是 $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$。
• 功率(power)= 能量 / 时间,所以单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。瓦特(watt)是 $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。
• 压强(pressure)和应力(stress)= 力 / 面积,所以单位是 $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$。帕斯卡(pascal)是 $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$。

当题目要求某个量的 SI 基本单位时,把每个有名称的单位换成它的基本单位,然后化简。例子:瓦特的 SI 基本单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。

检查单位是否一致

当一个方程两边有相同的基本单位时,它就是量纲一致的(homogeneous)。用大白话说:两边的单位相符。

把每一边都写成基本单位再比较。以方程 $v^{2} = u^{2} + 2as$ 为例:

• 左边:$(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• 右边第一项:$(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• 右边第二项:$\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

两边都得到 $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$,所以单位相符。

要小心:单位相符并不证明整个方程是正确的。它仍可能有错误的数字,或漏掉一个因子 2。但如果单位不相符,这个方程就一定是错的。

例题。 下落小球受到的阻力由 $F = kv^{2}$ 给出,其中 $v$ 是速率。求常量 $k$ 的 SI 基本单位。

整理得 $k = F / v^{2}$。用基本单位表示,$F$ 是 $\text{kg m s}^{-2}$,$v^{2}$ 是 $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$,所以

选择题常问"哪个方程可能是正确的?"。检查每个选项的基本单位;只有量纲一致的方程才可能正确。纯数(如 2、$\pi$ 或 $\tfrac{1}{2}$)没有单位,所以它从不影响这个检查。

词头

词头(prefix)是加在单位前面的一个字母,用来把它按十的幂放大或缩小。你必须知道这些:

要把带词头的单位换成基本单位,就把词头换成它的因子,然后化简。例子:把 $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ 换成 $\text{N m}^{-2}$:

对像 $\text{mm}^{2}$ 这样的平方单位要格外小心:因子也必须平方。

每一次测量(measurement)都有一些不确定度(uncertainty)——我们从来无法完全确定这个数值。一个好的实验者知道不确定度来自哪里,对它作出合理的估计,并把它一直带到最终答案中。

系统误差和随机误差

系统误差(systematic error)使每个读数都朝同一方向改变相同的量。你无法通过重复测量来发现它。常见原因:

• 零点误差(zero error,当真值为零时刻度不指零)
• 校准(calibration)误差(刻度本身就是错的)
• 视差(parallax,你的眼睛总是偏在刻度的一侧)

系统误差使准确度(accuracy)变差,但它不改变精密度(precision)。

随机误差(random error)使读数在真值上下无规律地跳动。原因包括你读刻度时有多仔细、条件在变化,以及仪器(instrument)能显示的最小步长。如果你把测量重复许多次并取平均值(mean,平均数),随机误差会部分相互抵消。

随机误差使精密度变差。但只要重复足够多次,平均值仍可以是准确的。

在图像上,这两种误差看起来不同。系统误差把每个点移动相同的量,所以最佳拟合直线保持斜率不变,但不再通过原点:截距(intercept)改变了。随机误差使各点散布在直线的上下两侧;从散点中间画出的最佳拟合直线仍能给出可靠的斜率。

精密度和准确度

精密度是重复读数彼此有多接近。精密的读数彼此聚得很近。

准确度是一个读数(或若干读数的平均值)与真值有多接近。

一组读数可以是:

• 精密且准确——彼此接近且靠近真值
• 精密但不准确——彼此接近,但偏离真值(存在系统误差)
• 准确但不精密——分散,但平均值靠近真值
• 两者都不是——分散且偏离真值

当题目给出一张重复读数的表格时,分别看分散程度(精密度)和平均值(准确度)。

估计一次读数的不确定度

在合并不确定度之前,你需要给每个原始读数一个合理的不确定度:

• 模拟刻度上的单次读数:最小分度(division)的一半(米尺读到 $1\ \text{mm}$,所以一次读数为 $\pm 0.5\ \text{mm}$)。一个长度需要两次读数,两端各一次,所以它的不确定度为 $\pm 1\ \text{mm}$。
• 数字仪表:所显示的最后一位 $\pm 1$(显示 $2.47\ \text{s}$ 的秒表为 $\pm 0.01\ \text{s}$)。
• 手动计时的测量:你的反应时间(reaction time)比显示位数更重要。留出约 $\pm 0.1$ 到 $0.2\ \text{s}$,并且计时多个振动周期而不是一个,这样同一个不确定度就被所有周期分摊。
• 重复读数:不确定度是极差的一半(half the range)。三次计时 $2.42$、$2.48$ 和 $2.45\ \text{s}$ 的平均值是 $2.45\ \text{s}$,极差是 $0.06\ \text{s}$,所以 $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$。

要诚实。如果影子的边缘很难看清,它位置的不确定度就是好几毫米,不管刻度有多细。对于一个很难读的读数,考官不接受把"最小分度"当作它的不确定度。

导出量的不确定度

一个测量常写成 $x \pm \Delta x$。这里 $\Delta x$ 是绝对不确定度(absolute uncertainty)。百分比不确定度(percentage uncertainty)是

导出量(derived quantity)是你从测得的值算出来的量。它的不确定度由几条简单规则求得:

• 相加或相减——把绝对不确定度相加。若 $y = a + b$ 或 $y = a - b$,则 $\Delta y = \Delta a + \Delta b$。
• 相乘或相除——把百分比不确定度相加。若 $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$,则
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• 乘方——把百分比不确定度乘以那个幂。若 $y = a^{n}$,则 $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$。

例题。 一个球的直径(diameter)测得为 $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$。球的体积(volume)是 $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$,所以 $V \propto d^{3}$($V$ 与 $d$ 的立方成正比)。

$d$ 的百分比不确定度是

因为 $V \propto d^{3}$,$V$ 的百分比不确定度是它的三倍,约为 $1.14\%$。体积是 $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$。所以绝对不确定度是 $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$。最终答案是 $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$。

两个值是否一致? 实验题常问两个算出的常量值是否支持所提出的关系。不要只说"它们很接近"。算出它们之间的百分比差异(percentage difference),

其中 $\bar{k}$ 是 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 的平均值;再把它与 $k$ 的百分比不确定度(或题目给出的判据,常为 10%)比较。如果差异更小,两个值在不确定度范围内一致,关系得到支持。如果更大,则不一致。

有效数字

当你写下一个计算出的量时,给它与你所用的最不精密的测量相同数目的有效数字(significant figures)——在本大纲中通常是两位或三位。有效数字太多会让答案看起来比实际更精确。太少则丢失有用的信息。

实验卷会要求你说明理由(justify)为什么选这个位数。要点出原始读数:"$a$ 给到 2 位有效数字,因为 $L$ 和 $t$ 各自都是测到 2 位有效数字。"只写"因为原始数据"这句话本身拿不到分。在结果表格中,每一行按该行中最不精密的原始读数来判断;不要强迫每一行都用相同的位数。

图像上的不确定度

第五卷要求你把不确定度带到图像里:

• 画每个点时加上误差棒(error bar),它的长度表示该值的绝对不确定度。
• 先过各点画出最佳拟合直线(line of best fit),再画最差可接受直线(worst acceptable line):仍能穿过每一个误差棒的最陡(或最平)的直线。
• 斜率的不确定度是两条直线斜率之差,$\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$。截距的不确定度用同样的方法求。
• 当你画的是对数时,$\ln x$ 的绝对不确定度是 $\Delta x / x$($\lg x$ 的则是 $0.434\,\Delta x / x$)。对 $x$ 的最大值和最小值分别算。

斜率的百分比不确定度随后会按上面的规则,传递到你由它算出的任何量中。

标量(scalar)只有大小。矢量(vector)既有大小又有方向。

大纲中的例子:

• 标量:质量、时间、温度、能量、功、功率、距离、速率、压强、密度、电荷(electric charge)
• 矢量:位移(displacement)、速度、加速度、力(包括重力)、动量(momentum)

快速判断:如果问"朝哪个方向?"是有意义的,那么这个量就是矢量。你不能问"温度朝哪个方向?",所以温度是标量。你可以问"速度朝哪个方向?",所以速度是矢量。

矢量的相加与相减

矢量画成一个箭头:箭头的方向给出该量的方向,箭头的长度(按比例画)给出它的大小。

要把两个共面(coplanar,在同一平面内)的矢量相加,把它们首尾相接地画。合矢量(resultant)从第一个箭头的尾指向第二个箭头的头。

要求 $\vec{X} - \vec{Y}$,就加上 $\vec{Y}$ 的反向:$\vec{X} + (-\vec{Y})$。$\vec{Y}$ 的反向与 $\vec{Y}$ 大小相同但指向相反。

如果两个矢量成直角(90°),合矢量的大小是

它的方向由 $\tan\theta = Y / X$ 得到。

例题。 一名游泳者以 $1.2\ \text{m s}^{-1}$ 朝北横渡一条向东流、流速 $0.5\ \text{m s}^{-1}$ 的河。求合速度的大小和方向。

这两个速度互相垂直,所以

方向为 $\tan\theta = 0.5/1.2$,得 $\theta \approx 23°$,即北偏东。

如果两个矢量大小都为 $F$、它们之间夹角为 $2\alpha$,合矢量大小为 $2F\cos\alpha$,并沿着把这个夹角平分的那条线。

例题。 两个 $6.0\ \text{N}$ 的力作用在一个物体上,两力之间夹角为 $60°$。求合力。

这里 $2\alpha = 60°$,所以 $\alpha = 30°$,$R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$,方向沿两力正中间的那条线。用分解法得到同样的答案:每个力沿这条线的分量都是 $6.0\cos 30°$,而它们垂直于这条线的分量相互抵消。

对于夹角为其他角度的两个矢量,要么按比例作图(scale drawing)画出矢量三角形并量出合矢量,要么把两个矢量都分解成互相垂直的分量,把分量相加,再用 $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ 合成。

例题。 一个球以 $5.0\ \text{m s}^{-1}$ 向东运动,被击打后以 $5.0\ \text{m s}^{-1}$ 向北运动。求它的速度变化。

速度变化是矢量相减:$\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$。先画 $5.0\ \text{m s}^{-1}$ 向北,再加上初速度的反向矢量,即 $5.0\ \text{m s}^{-1}$ 向西。两者互相垂直,所以 $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$,指向西北。速率没有变,但速度变了。这就是为什么一定有力作用在球上(主题 3)。

把矢量分解为互相垂直的部分

任何矢量都能分解成两个垂直(perpendicular,成直角)的分量(components)。通常这两个是水平(horizontal)和竖直(vertical),或沿着与横过某个表面。对于与水平方向成 $\theta$ 角的矢量 $\vec{v}$:

选择能让问题最简单的方向。在斜坡(斜面(inclined plane))上,把重力分解成沿斜坡的一部分和与斜坡成直角的一部分:

其中 $\theta$ 是斜坡与水平方向的夹角。

每当你需要知道一个矢量有多少作用在某个方向上时,就把它分解为分量。例如:一个力沿斜坡作用的那部分,或者一个球被抛出后速度的水平与竖直部分。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 给每个答案都写上单位,并检查量纲一致性——方程两边必须有相同的基本单位。
• 区分随机误差(靠重复和取平均来减小)和系统误差(重复无法消除的零点或校准误差)。
• 合成不确定度:相加/相减时把绝对不确定度相加,相乘/相除时把百分比不确定度相加(并把百分比乘以任何幂)。
• 区分精密度(分散小)和准确度(接近真值)。
• 把一个矢量分解为互相垂直的分量($F\cos\theta$、$F\sin\theta$);用首尾相接或用分量来把矢量相加。

常见错误

• 把 5 cm 代成 5,把 20 g 代成 20。先换算词头:0.05 m,0.020 kg。
• 把 $T^{2}$ 的百分比不确定度写成与 $T$ 的相同。平方使它加倍;开平方使它减半。
• 把百分比不确定度和绝对不确定度当成同一个数。
• 对一个很难读的读数,把"最小分度"报作它的不确定度。
• 对一个定义给出两个答案。只写一个。

这五个物理量几乎在每一道运动学(kinematics)题里都会出现。要记住准确的用词——考官是按精确表述给分的。

• 距离(distance)——走过的路径的总长度。是一个标量(scalar)。
• 位移(displacement)——从起点到终点的直线距离,带方向。是一个矢量(vector)。
• 速率(speed)——距离对时间的变化率。是标量。
• 速度(velocity)——位移对时间的变化率。是矢量。
• 加速度(acceleration)——速度对时间的变化率。是矢量。

速率和速度的单位是 $\text{m s}^{-1}$;加速度的单位是 $\text{m s}^{-2}$。

考官还会用到两个说法:匀加速(uniform acceleration)指恒定的加速度(速度-时间图上是一条直线);自由落体加速度(acceleration of free fall)$g$ 是物体在匀强重力场(uniform gravitational field)中、空气阻力可忽略(negligible,小到可以不计)时自由下落的加速度。

一个常见错误:减速度(deceleration)只是指方向与速度相反的加速度,它并不是一个单独的物理量。

速率有时以 $\text{km h}^{-1}$ 给出。先换算再计算:$85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$。

很多分数都来自读图或画运动图像——这就是大纲所说的图像法(graphical methods)。有两种图很重要。

位移-时间图

位移-时间图上某点的斜率(gradient,陡峭程度)给出该时刻的速度。

• 水平线 → 物体静止。
• 倾斜的直线 → 匀速(斜率 = 速度)。
• 曲线 → 速度在变化。在该点画一条切线(tangent),求它的斜率。

速度-时间图

速度-时间图的斜率给出该时刻的加速度。

线与时间轴之间的面积(area)给出那段时间内的位移。

• 水平线 → 匀速(加速度为零)。
• 倾斜的直线 → 匀加速(加速度恒定)。
• 曲线 → 加速度在变化。
• 时间轴上方的面积是正位移;下方的面积是负的(物体向后运动)。

要求位移,就把面积分成若干三角形和矩形,或者数网格方块。三角形面积是 $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$;矩形面积是 $\text{base} \times \text{height}$。

例题。 图中给出一部电梯的速度。求每个阶段的加速度以及总路程。

• 阶段 A:斜率 $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$。
• 阶段 B:线是平的,所以加速度为零。
• 阶段 C:斜率 $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$(减速度为 $1.5\ \text{m s}^{-2}$)。
• 路程:三角形 A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$,矩形 B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$,三角形 C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$;总计 $27\ \text{m}$。

当图线是曲线时,面积仍然是位移:数出曲线下方的方格数(半格及以上算一格),再乘以一格代表的值。

对于沿直线做匀加速的运动,我们用五个符号:初速度 $u$、末速度 $v$、加速度 $a$、位移 $s$ 和时间 $t$。四个方程把它们联系起来:

每个方程用到五个符号中的四个。要选对方程:写下你已知的和你想求的,然后选恰好含这四个符号的那个方程。

例题。 一辆汽车在 $56\ \text{m}$ 的距离内从 $8\ \text{m s}^{-1}$ 匀加速到 $20\ \text{m s}^{-1}$。求它的加速度。

我们已知 $u$、$v$ 和 $s$,要求 $a$,所以用 $v^{2} = u^{2} + 2as$:

SUVAT 方程从何而来

你应该能从速度和加速度的定义推出这些方程。想象这个运动的速度-时间图:一条从 $t = 0$ 时的 $u$ 到时刻 $t$ 的 $v$ 的直线。

• $v = u + at$:加速度是斜率,$a = (v - u)/t$,所以 $v = u + at$。
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$:位移是线下方的面积——一个梯形(trapezium),平行边为 $u$ 和 $v$,宽为 $t$,所以 $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$。
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$:把 $v = u + at$ 代入面积:$s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$。
• $v^{2} = u^{2} + 2as$:由第一个方程 $t = (v - u)/a$;代入 $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ 得 $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$。

"推导"题要的正是这些步骤,每一步都从一个定义或已经建立的方程出发,不带数字。

如果题目问"哪个方程只用速度-时间图的斜率就能求出?",答案是 $v = u + at$(斜率就是加速度)。

"证明"(show that)题。 当题目已经给出答案("证明高度是 3.2 km")时,分数在于方法。写出方程,把每个值连同单位代入,并把结果给到比题目引用的值多一位有效数字($3.24\ \text{km}$,四舍五入得 $3.2\ \text{km}$)。只是得到题目给的值本身证明不了什么。

选定一个正方向

一开始就选定一个正方向并保持不变。任何指向相反方向的量都要带负号。对于竖直上抛的球,若取"向上"为正:$u$ 为正,$a = -g$(重力(gravity)向下拉),而在最高点位移为正但速度为零。

当空气阻力(air resistance)可以忽略时,做自由落体(free fall)的物体有一个向下的恒定加速度 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$。这个值对每一个质量都相同。

对于从静止释放、下落距离为 $h$ 的球:

对于以速度 $u$ 竖直上抛的球:

• 最大高度:在 $v^{2} = u^{2} - 2gh$ 中令 $v = 0$,得 $h = u^{2}/(2g)$。
• 到达顶点的时间:在 $v = u - gt$ 中令 $v = 0$,得 $t = u/g$。
• 落回起始高度的总时间:$2u/g$(运动是对称的(symmetric))。

例题。 一个球以 $20\ \text{m s}^{-1}$ 竖直上抛。求它能达到的最大高度(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

在最高点 $v = 0$,所以由 $h = u^{2}/(2g)$:

当空气阻力不可忽略时

上面的方程假设唯一的力是重力。有空气阻力时,下落物体所受的合力小于它的重力,所以加速度小于 $g$;而且因为空气阻力随速率增大,物体越快,加速度就越小。在速度-时间图上线会弯曲,随着物体接近收尾速度(terminal velocity,主题 3),斜率趋向于零。对于抛体,空气阻力使射程变短、最大高度变低,路径不再是一条对称的抛物线(parabola):物体下落时比上升时更陡。"说明并解释"类的题目要先说力,再说它对加速度的影响,最后说对运动的影响。

测量 $g$ 的实验

一个常用方法:让物体从静止下落,然后测出它下落的距离 $h$ 和所用的时间 $t$。于是

对几个不同的高度重复实验,并作 $h$ 对 $t^{2}$ 的图。最佳直线的斜率是 $g/2$,所以 $g$ 是斜率的两倍。重复实验能减小随机误差(random error)。用电子计时器——借助光电门(light gates),或用球撞击的开关——可以消除反应时间(reaction-time)误差。

当一个物体在一个方向(比如水平(horizontal))上匀速运动,同时在与之垂直的方向(比如竖直(vertical),受重力作用)上加速时,这两个方向的运动互不影响。把每个方向单独处理,各用各的 SUVAT 方程。

水平抛出

一个以速度 $u_{\text{H}}$ 从高度 $h$ 水平抛出的物体,忽略空气阻力:

• 水平方向:匀速 $u_{\text{H}}$。经过时间 $t$ 后,水平距离为 $x = u_{\text{H}} t$。
• 竖直方向:从静止开始,以 $g$ 向下加速。经过时间 $t$ 后,已下落 $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$,竖直速度为 $v_{\text{V}} = g t$。

落地所需的时间只取决于高度 $h$,与 $u_{\text{H}}$ 无关。解 $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ 求出 $t$;那么水平射程(range)就是 $u_{\text{H}} t$。

例题。 一个球从 $20\ \text{m}$ 高的悬崖顶以 $15\ \text{m s}^{-1}$ 水平抛出。求它落地所需的时间,以及落地点离崖底的距离(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

竖直方向的运动给出时间:由 $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

再由水平方向的运动给出射程:$x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

水平速度图是一条在 $u_{\text{H}}$ 处的水平线。竖直速度图是从原点出发、斜率为 $g$ 的直线。

比较两个物体。 如果物体 A 被释放、物体 B 在同一时刻从同一高度被水平抛出,两者同时落地:它们的竖直运动完全相同。如果 B 被抛出时带有向上的分量,它需要更长的时间,因为它必须先上升再回到起始高度,然后才下落同样的距离。它落地时的速率仍然由能量求得:无论抛出的方向如何,获得的动能都等于失去的势能,所以从同一高度以同一速率、以任何角度抛出的球,落地速率都相同(主题 5)。

有角度的抛体

一个以速度 $u$、与水平方向成 $\theta$ 角向上抛出的抛体(projectile):

• 初速度的水平分量(component):$u_{\text{H}} = u \cos\theta$(在飞行过程中保持不变)。
• 初速度的竖直分量:$u_{\text{V}} = u \sin\theta$(逐渐变小,在顶点变为零,然后向下增大)。

在最高点,$v_{\text{V}} = 0$,但 $v_{\text{H}}$ 仍是 $u\cos\theta$。到达顶点的时间是 $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$;总飞行时间(回到起始高度)是 $2t_{\text{up}}$。

画速度图。 考官常要求你在同一坐标系里画出 $v_{\text{H}}$ 和 $v_{\text{V}}$ 随时间变化的草图,取向上为正。水平分量在整个飞行中是一条在 $u\cos\theta$ 处的水平线。竖直分量是一条斜率为 $-g$ 的直线:从 $+u\sin\theta$ 出发,在飞行顶点处穿过零,落回起始高度时到达 $-u\sin\theta$。给每条线加上标注,标出各线起止的时刻,并让穿零点正好落在 $t_{\text{up}}$。

例题。 一个球以 $18\ \text{m s}^{-1}$、与水平方向成 $60°$ 离开地面。证明它在 $t = 1.6\ \text{s}$ 时达到最大高度。

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$。在顶点 $v_{\text{V}} = 0$,所以由 $v = u + at$、$a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$:$t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$。

弹跳的球

当一个球弹跳时,它的速度-时间图是一组倾斜的直线段(恒定的 $g$),在每次弹跳处有一个突然的跳变(速度方向反转,若损失了一些能量(energy)则变小)。把各次弹跳的时间和距离加起来。

仔细读这样的图:每条斜线的斜率都是同一个 $g$;线穿过时间轴的地方就是球的最高点;每次弹起的高度来自该段飞行在轴上方(或下方)的三角形面积。

当两个物体沿同一条直线以不同方式运动时,分别给每个物体写一个位移方程。用相同的起始时间和相同的正方向。然后令两个位移相等(或令它们的差等于给定的间距)。

对于一列以恒定速度 $u_{\text{G}}$ 行驶的货运列车和一列从静止以加速度 $a$ 出发的特快列车,若两者都在 $t = 0$ 时经过同一点:

当 $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$ 时它们再次并排,得 $t = 2 u_{\text{G}} / a$。

1. 画一张图,并标出正方向。
2. 列出 SUVAT 符号及其已知与未知的值,包括正负号。
3. 选择 SUVAT 方程,使它恰好含有你已知的四个符号加上你要求的那个。
4. 对于抛体运动,拆成水平和竖直两个 SUVAT 问题,二者仅通过时间 $t$ 相联系。
5. 始终检查答案的单位,以及数值大小是否合理。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 只对恒定加速度使用 SUVAT 方程;列出 $s, u, v, a, t$,选出缺少你未知量的那个方程。
• 选定一个方向为正,并保持正负号一致(通常 $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$)。
• 在速度-时间图上,斜率 $=$ 加速度,面积 $=$ 位移。
• 对于抛体,把水平(匀速)和竖直($a = g$)的运动分开处理,用相同的时间联系二者。

常见错误

• 在忽略空气阻力时,说较重的球先落地或落得更快。两者以相同的加速度下落,以相同的速率落地。
• 题目要面积时求了 $v$–$t$ 图的斜率,或者要斜率时求了面积。斜率是加速度;面积是位移。
• 给匀加速的物体在 $v$–$t$ 图上画出曲线。匀加速是一条直线;只有在弹跳处 $v$ 的符号才改变。
• 取"向上"为正却对竖直上抛的球用 $g = +9.81$。一旦向上为正,整个飞行过程中 $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$,下落时也是。
• 在加速度变化时(空气阻力、弯曲的图线)使用 SUVAT 方程。这时只有图像法可用。

质量

质量(mass)告诉你改变一个物体的运动有多难。质量越大,要给它某个加速度(acceleration)所需的力(force)就越大。质量以千克($\text{kg}$)为单位,是一个标量(scalar)。

动量

线动量(linear momentum)是质量与速度的乘积:

动量是一个矢量(vector)——它与速度(velocity)指向同一方向。它的单位是 $\text{kg m s}^{-1}$,和 $\text{N s}$ 相同。

力是动量的变化率

牛顿第二定律的一般形式:物体所受的合力(resultant force)等于它动量的变化率。

当质量恒定时,这变成 $F = ma$,因为 $\Delta p = m\,\Delta v$ 且 $\Delta v / \Delta t = a$。剑桥的题目常常要你在碰撞(collision)或冲量(impulse)问题中直接用 $F = \Delta p / \Delta t$:平均力等于动量的变化除以接触时间。

一个球以动量 $p_{1}$ 撞墙,又以相反方向的动量 $p_{2}$ 弹回。动量的变化是 $\Delta p = p_{2} - p_{1}$(给每个方向正确的正负号)。平均力是 $\Delta p / \Delta t$,其中 $\Delta t$ 是接触时间。

例题。 一个 $0.20\ \text{kg}$ 的球以 $8.0\ \text{m s}^{-1}$ 撞墙,又直接以 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 弹回。接触持续 $0.050\ \text{s}$。求球所受的平均力。

取弹回方向为正,所以 $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$、$v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

当你知道动量但不知道速率时,动能(kinetic energy)的变化是

这来自 $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$。

动量-时间图

因为 $F = \Delta p / \Delta t$,动量-时间图的斜率就是合力,正如速度-时间图的斜率是加速度。直线表示恒定的合力;水平线表示合力为零;向下倾斜的线表示有一个与运动方向相反的力。

例题。 图中给出一辆摩托车的动量。求最初 $10\ \text{s}$ 内它所受的合力。

斜率 $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$。在 $10\ \text{s}$ 到 $16\ \text{s}$ 之间动量不变,所以合力为零:驱动力恰好与阻力平衡。从 $16\ \text{s}$ 到 $20\ \text{s}$ 动量减少 $2000\ \text{kg m s}^{-1}$,所以合力为 $-500\ \text{N}$,向后作用。

如果题目告诉你速率在变而合力保持不变,那么这个力不可能是空气阻力:阻力取决于速率,所以它会随速率变化而变化,而且阻力总是与运动方向相反。

第一定律

一个物体保持静止,或沿直线以匀速继续运动,除非有一个合外力(external force)作用在它上面。简言之:合力为零就意味着加速度为零。

第二定律

物体所受的合力等于它动量的变化率,并且作用方向与那个变化相同。用 SI 单位,

加速度与合力总是指向同一方向。

第三定律

当物体 A 推物体 B 时,物体 B 以一个等大反向的力回推物体 A。这两个力:

• 作用在不同的物体上,
• 是同一类型的(都是引力、都是接触力、都是静电(electrostatic)力,等等),
• 大小相同、方向相反。

一个常见陷阱:桌上一个物块的重力(weight)和桌子给的支持力(normal contact force)不是一对第三定律力(它们作用在同一物体上,而且类型不同)。物块重力的第三定律配对力,是物块对地球的吸引。桌子接触力的第三定律配对力,是物块对桌子的推力。

要说出第三定律的配对力,把句子里的两个物体对调。"自行车后轮向后推路面"配对"路面向前推后轮",而这个向前的推力正是驱动自行车的力。"地球吸引月球"配对"月球吸引地球",力的大小相同。

对于火箭:作用在火箭上的推力(thrust)和作用在气体上的力是一对第三定律力(发动机把气体往下推,气体把发动机往上推)。重力和空气阻力不属于这一对。

重力(weight)是重力场(gravitational field)对物体施加的力。在地球表面附近,

其中 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ 是自由落体加速度。重力是一个指向地心的矢量。不要把它和质量搞混:质量处处相同,但重力随地点变化。

在月球上 $g$ 约为 $1.6\ \text{m s}^{-2}$,所以宇航员的质量不变,而重力约为地球上的六分之一。当选择题问哪个陈述描述了重力时,答案是说"重力场对物体施加的力"的那个,而不是"质量乘以加速度",也不是"合力"。

摩擦力和阻力

两个固体表面之间的摩擦力(friction)沿表面作用,阻碍滑动。黏性(viscous)力或阻力(drag)是流体(fluid,液体或气体)对在其中运动的物体的阻碍力;对空气而言就是空气阻力。你不需要用任何摩擦或黏性系数(coefficient)。

一个简单模型:速率越大,阻力越大。速率为零时,阻力为零。阻力还随物体的横截面积(cross-sectional area)和流体的密度增大;降落伞的原理就是把面积、从而把阻力变得大得多。这些摩擦力和阻力都是阻碍运动的力(resistive forces):它们与运动方向相反,并把动能转化为热能。

一个穿过空气下落的物体

对于从静止释放、穿过空气下落的物体:

1. 起初只有重力作用,所以物体以 $g$ 向下加速。
2. 随着速率增大,向上的阻力增大。合力变小,所以加速度变小。
3. 最终,阻力等于重力。合力为零,加速度为零,速率保持恒定——收尾速度(terminal velocity)。

在速度-时间图上,线起初是斜率为 $g$ 的直线,然后弯曲并在收尾速度处变平。这种形状(起步快、加速度渐减、最后匀速)正是"有空气阻力的下落"区别于匀强重力场(uniform gravitational field)中"真空中自由落体"的地方。在加速度-时间图上,加速度从 $g$ 开始减小,沿曲线降到零。

两个大小相同、密度不同的球有不同的收尾速度:密度大的球重力更大,所以需要更大的阻力来平衡它,而阻力只有在更高的速率下才能达到这个值。这也正是降落伞改变一切的原因:伞打开时,阻力突然超过重力,合力向上,跳伞者减速(速度仍向下时加速度向上),直到阻力重新降到等于重力,达到一个新的、低得多的收尾速度。

在液体中下落:三个力

一个在液体中下落的球受到三个力:向下的重力、向上的浮力(upthrust)和向上的黏性阻力(viscous drag)。浮力来自流体静压强(hydrostatic pressure):液体中的压强随深度增大,所以液体对球底部的推力比对顶部的更大,这些推力的合力向上。它的大小等于球排开的液体的重力,$U = \rho_{\text{liquid}} V g$(主题 4)。阻力随速率增大。当重力 $=$ 浮力 $+$ 阻力时,合力为零,球以收尾速率下落。"画出带标注的箭头"类题目要的正是这三个力:浮力和阻力都向上,重力向下。

例题。 一个半径 $2.0\ \text{mm}$、重力 $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ 的钢球在密度 $850\ \text{kg m}^{-3}$ 的油中下落。它所受的黏性阻力为 $F = 6\pi \eta r v$,其中 $\eta$ 是油的黏度(viscosity),$v$ 是速率。(a) 求 $\eta$ 的 SI 基本单位。(b) 证明球所受的浮力为 $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$。(c) 取 SI 单位下 $\eta = 0.20$,求收尾速率。

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$,所以它的单位是 $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$。

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$,所以 $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$。

(c) 在收尾速率时,阻力 $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$。所以 $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$。

收尾速度下落过程中的能量

在收尾速度时,一名跳伞者(parachutist)的动能恒定。但随着他们下降,重力势能(gravitational potential energy)一直在减少。它去了哪里?几乎全部变成了他们周围空气的热能(thermal energy)。它没有变成跳伞者的动能——那保持不变。

匀速行驶的骑车人或汽车

平路上匀速行驶的车辆合力为零。向前的驱动力(driving force)与总阻力(摩擦、空气阻力和滚动阻力)等大反向。速率越高,阻力越大,所以驱动力也必须越大——因此功率(power)也必须越大。

在斜坡上,重力有一个沿路面的分量。匀速上坡时,驱动力必须同时平衡阻力和重力沿斜坡向下的那部分 $W\sin\theta$;下坡时,这个分量反而帮助运动。

例题。 一辆质量 $1500\ \text{kg}$ 的汽车以恒定的 $30\ \text{m s}^{-1}$ 沿与水平方向成 $12°$ 的路面上坡。总阻力为 $1600\ \text{N}$。求驱动力和发动机的有用输出功率。

匀速意味着沿斜坡方向合力为零:$D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$。功率是力乘以速度(主题 5):$P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$。

原理

对于没有合外力的系统,总动量保持恒定。这就是动量守恒(conservation of momentum)。按考官给两分的表述来说:只要没有合外力作用于系统,一个物体系统的总动量保持不变。 两半都要写:只写"总动量不变"只得一分。

只要没有外部合力,它总是成立的——在碰撞、爆炸(explosions)和反冲(recoil)中都是如此。在二维情形下,动量沿每个方向各自守恒。

例题。 一辆 $2.0\ \text{kg}$ 的小车和一辆 $3.0\ \text{kg}$ 的小车被压紧在一个压缩的弹簧两侧,然后从静止释放。$2.0\ \text{kg}$ 的小车以 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 飞出。求另一辆小车的速率。

总动量保持为零(它从静止开始),所以

方向相反。

弹性碰撞与非弹性碰撞

在每一次碰撞中,动量都守恒(只要没有外部合力)。

弹性碰撞(elastic collision)是总动能也守恒的碰撞。一个快速判据:在弹性碰撞中,接近的相对速率(relative speed)等于分离的相对速率。

在非弹性碰撞(inelastic collision)中,动量守恒但动能减少——一部分变成热能、声能或形变(deformation)能。如果两个物体粘在一起,这次碰撞就是完全非弹性的。

解碰撞问题(一维)

对于质量为 $m_{1}, m_{2}$、初速度为 $u_{1}, u_{2}$ 的两个正面(head-on)相撞的物体,写出

用带正负号的速度(在选定的一个方向上为正)。如果碰撞是弹性的,再加上相对速率方程

或者,等价地,$\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$。这给出两个方程解两个未知量。

例题。 一辆 $1500\ \text{kg}$ 的汽车以 $12\ \text{m s}^{-1}$ 运动,撞上一辆静止的 $1000\ \text{kg}$ 的汽车,两者锁在一起。求碰后它们共同的速度。

动量守恒(两车粘在一起,所以 $v_{1} = v_{2} = v$):

题目常常接着问有多大比例的动能转化为其他形式。碰前:$E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$。碰后:$\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$。所以 $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$,即原动能的 $40\%$,变成了热能、声能和汽车的形变。动量守恒;动能不守恒。

例题。 一个质量为 $222\,u$ 的静止原子核衰变,以 $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ 放出一个质量为 $4\,u$ 的α粒子(alpha particle)。求剩余原子核的速率。

衰变前总动量为零,所以衰变后两者的动量等大反向:$218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$,得 $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$,方向与 α 粒子相反。单位 $u$ 约掉了,所以从不需要它的数值。在衰变中,动量、电荷(质子数)、核子数和总的质量-能量都守恒(主题 11)。

一个有用的结论,对于质量 $m$ 与一个静止(stationary)质量 $M$ 的正面弹性碰撞:

二维碰撞

如果物体在二维内运动,把速度分解为垂直(perpendicular)的分量(components),并沿每个方向各自应用动量守恒。对于物体以某角度相撞的碰撞,选一个轴沿第一个物体的运动方向、另一个轴与之垂直。总动量沿每个轴都守恒。

例题。 在无摩擦的表面上,球 A 的动量为 $4.0\ \text{N s}$ 向正东,球 B 的动量为 $3.0\ \text{N s}$ 向正北。两球相撞并粘在一起。求合成物体的动量。

动量沿每个轴各自守恒:碰后仍是向东 $4.0\ \text{N s}$、向北 $3.0\ \text{N s}$,与碰前完全一样。总动量是矢量和,$\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$,方向为东偏北 $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$;合成物体沿这个方向运动,速率是 $5.0\ \text{N s}$ 除以总质量。给出两个动量箭头的选择题问的正是这个:把箭头首尾相接相加。

火箭 / 抛出质量

火箭以速度 $u$(相对自身)按质量流率(mass-flow rate)$\dot m$(每秒的千克数)抛出气体。它感受到一个推力

它来自 $F = \Delta p / \Delta t$。每秒给予气体的动量等于作用在火箭上的推力(牛顿第三定律:火箭把气体推向一边,气体把火箭推向另一边)。一台每秒以 $190\ \text{m s}^{-1}$ 喷出 $90\ \text{kg}$ 气体的发动机产生 $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$ 的推力。

例题。 一枚重力为 $W$ 的火箭以初始加速度 $a$ 离开地面。它的发动机产生多大的推力?

取向上为正。合力是推力减重力,所以 $T - W = ma$。由 $m = W / g$ 得 $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$。一枚重力 $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$、以 $4.0\ \text{m s}^{-2}$ 加速的火箭需要 $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$ 的推力。推力必须先超过重力,火箭才会动。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 牛顿第二定律是 $F = \Delta p / \Delta t$(动量的变化率);$F = ma$ 是质量恒定时的特例。
• 正确辨认第三定律的一对力:同一类型的力,作用在两个不同的物体上——不是一个物体上相互平衡的力。
• 在每一次碰撞中动量都守恒;动能只在弹性碰撞中守恒。
• 对于收尾速度,要说明阻力随速率上升,直到阻力 $=$ 重力,于是加速度变为零。

常见错误

• 写"这些力是平衡的"或"这些力相互抵消"。要说"物体所受的合力为零"。
• 因为动量是"总的",就在正碰中把两个速率相加。选定正方向,给相反方向的速度加负号,再相加。
• 用速度的分量计算动能。动能要用每个物体的完整速率。
• 把一个物体所受的重力和支持力叫作一对第三定律力。一对力作用在两个不同的物体上,而且是同一类型的力。
• 陈述动量守恒时不写条件。它只在没有合外力作用于系统时成立。

重心

一个大物体的重力(weight)可以看作作用在一个单独的点上,叫作重心(centre of gravity,在均匀重力场中与质心(centre of mass)相同)。对于均匀、规则的形状——矩形、球、均匀杆——重心在正中间。

当你画受力图(free-body diagram)时,总是把重力箭头画在重心处。

对于不规则的形状,用实验来找重心。把物体自由地挂在一根针上:平衡时它会停在重心正好在针的正下方的位置,因为只有这样重力对针才没有力矩。从同一根针上挂一条铅垂线(plumb line),就标出了这条竖直线。再从第二个点挂起物体,画出第二条线;两条线的交点就是重心。同一个事实也回答了考试中的"解释为什么薄板这样悬挂":它的重心正好在支撑点的正下方,所以重力的作用线通过支点,没有合力矩。

对于非均匀(non-uniform)的杆,重心不在中点。可以把杆架在支点上找到平衡来确定它,或者取力矩:如果杆的重力 $W$ 与一个已知重物平衡,那么重心到支点的距离就是使两边力矩相等的那一个值。

力的力矩

一个力对某点的力矩(moment)是

其中 $F$ 是力(force)的大小,$d$ 是从该点到力的作用线(line of action)的垂直距离(perpendicular distance)。单位:$\text{N m}$。

如果力与从支点(pivot)量起、长度为 $r$ 的力臂(lever arm)成 $\theta$ 角,那么 $d = r\sin\theta$,所以 $M = F r\sin\theta$。只有力中垂直(perpendicular)于力臂的那部分才使它转动。

例题。 一个 $50\ \text{N}$ 的力施加在一把 $0.40\ \text{m}$ 长的扳手末端,与扳手成 $30°$ 角。求这个力对螺母的力矩。

一个力矩相对选定的点要么是顺时针(clockwise)的,要么是逆时针(anticlockwise)的。

力偶和力偶矩

力偶(couple)是一对满足下列条件的力:

• 大小相等,
• 方向相反,
• 它们的作用线相隔一段垂直距离。

力偶使物体只转动——它的合力为零,所以不产生直线加速度。

力偶的力偶矩(torque)是它产生的转动效果:

其中 $F$ 是其中一个力的大小,$d$ 是两条作用线之间的垂直距离。单位:$\text{N m}$。力偶矩相对任何点都相同——这是力偶的一个特殊性质。

一个常见的选择题陷阱:两个方向相同的等大的力不是力偶(它们有合力,会引起平动(translation))。力偶需要大小相等并且方向相反。

注意公式里的距离。对于两个大小为 $F$、分别作用在中央支点两侧距离 $d$ 处的力构成的力偶,两条作用线之间的垂直距离是 $2d$,所以力偶矩是 $F \times 2d = 2Fd$。对支点取力矩得到同样的结果,$Fd + Fd$。两分的定义要写全两个部分:其中一个力与两个力作用线之间的垂直距离的乘积。

平衡的条件

一个物体处于平衡(equilibrium)当:

1. 合力(resultant force)为零(无直线加速度),并且
2. 对任何点的合力矩为零(无角加速度(angular acceleration))。

两者都必须成立。一个没有合力的物体仍可能在转动;一个没有合力矩的物体仍可能在做直线运动。

经典的选择题情形:四个力,两对等大反向的力,但不在同一条直线上。合力为零,所以质心不加速,但这两对力构成有合力矩的力偶,于是物体越转越快,而它的质心以恒定速度运动。只有两个条件都成立,物体才处于平衡。

力矩原理

对于一个不转动的物体,对任何一点的总顺时针力矩等于对同一点的总逆时针力矩。这就是力矩原理(principle of moments)。

要解一个平衡问题:

1. 选一个支点——通常选在某个未知力的作用处,使那个力被消去(它的距离为零)。
2. 列出每个力及其到支点的垂直距离。
3. 令 $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$。
4. 如果需要第二个方程,就用 $\sum F = 0$。

一把尺子架在支点上、两侧挂着质量,就是这样求解的。对于一根有重量的均匀杆,记得要把它作用在重心处的重力算进去。按给分的表述来说:对于处于平衡的物体,对任何一点的顺时针力矩之和等于对同一点的逆时针力矩之和。

例题。 一根长 $4.0\ \text{m}$ 的均匀横梁在其中心处架起。一个 $40\ \text{N}$ 的重物挂在支点一侧 $1.5\ \text{m}$ 处。在另一侧离支点多远处必须挂一个 $30\ \text{N}$ 的重物才能使横梁平衡?

横梁自身的重力作用在中心(支点)处,所以它没有力矩。令顺时针 $=$ 逆时针力矩:

例题。 一根长 $L$、重力 $W = 28\ \text{N}$ 的均匀杆一端铰接在墙上,由一根从另一端拉到墙上的钢丝保持水平。钢丝与杆成 $40°$。求钢丝中的张力 $T$。

对铰链取力矩,这样未知的铰链力就消去了。重力作用在中点,到铰链的距离为 $L/2$:它的力矩是 $W \times L/2$,顺时针。张力作用在末端,但不与杆垂直,所以它的力矩是 $T\sin 40° \times L$,逆时针(只有 $T$ 垂直于杆的分量才使杆转动)。令两者相等:

长度 $L$ 约掉了,这就是题目不必给出它的原因。如果杆上还挂着负载,把它的力矩加到顺时针一侧。这几乎是每一道力矩题的形状:把支点选在未知力作用处,对有角度的力用它的垂直分量,并让未知长度约去。

例题。 一根重力 $200\ \text{N}$、长 $9.0\ \text{m}$ 的均匀横梁架在两个支座上,X 距左端 $1.0\ \text{m}$,Y 距左端 $6.5\ \text{m}$。一个重力 $700\ \text{N}$ 的人站在 Y 之外、距 Y $1.7\ \text{m}$ 处。求每个支座的作用力。

两个未知力 $R_{\text{X}}$ 和 $R_{\text{Y}}$,所以对 X 取力矩以消去 $R_{\text{X}}$。横梁的重力作用在中点,距 X $3.5\ \text{m}$;Y 距 X $5.5\ \text{m}$;人距 X $7.2\ \text{m}$:

然后由合力为零:$R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$,所以 $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$。负的答案意味着横梁会从 X 上翘起:人站到 Y 外这么远时,X 必须把横梁往下压而不是往上托。题目常问一个人最远能站到哪里横梁才不会翻倒;那就是 $R_{\text{X}}$ 变为零的位置。

矢量三角形

同一平面内处于平衡的三个力可以画成一个闭合的矢量三角形(vector triangle)——首尾相接地画,三个箭头回到起点。这是一种画图方法,可以代替分解成分量(components)。

在三角形上用正弦定理(sine rule)或余弦定理(cosine rule)求未知的大小或方向,或者在方格纸上按比例画出三角形。

你也可以把每个力分解成水平(horizontal)和竖直(vertical)分量,并令 $\sum F_{x} = 0$、$\sum F_{y} = 0$。

要画出能得分的三角形:先画重力(竖直,按比例),再把另外两个力按它们真实的方向首尾相接地加上,使第三个箭头把三角形闭合;给每条边标上它的力并标出角度。对于静止在斜面上的物块,三个力是重力(竖直)、支持力(垂直于斜面)和摩擦力(沿斜面),所以三角形是直角三角形,重力是斜边。对于用一根绳挂在钉子上的画,两个相等的张力与重力构成等腰三角形。检验任何答案的标准是三角形闭合;如果不闭合,物体就不处于平衡。

例题。 一个重力可忽略的滑轮由一根弹簧吊着。一根缆绳从滑轮下方绕过,缆绳的两侧各与竖直方向成 $30°$。缆绳中的张力为 $T = 60\ \text{N}$。求弹簧的作用力以及弹簧的伸长量,已知它的劲度系数为 $2000\ \text{N m}^{-1}$。

因为是同一根连续的缆绳,两侧的张力相同。两个张力向下并向外拉;它们的水平分量抵消,竖直分量相加,所以弹簧必须以 $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$ 向上拉。由胡克定律(主题 6),$x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$。如果与竖直方向的夹角增大,$\cos\theta$ 减小,弹簧力和伸长量随之减小:缆绳更多地向两侧拉、更少地向上拉。

密度(density)是单位体积的质量:

单位:$\text{kg m}^{-3}$(或 $\text{g cm}^{-3}$;$1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$)。密度是一个标量(scalar)。

一些有用的、要知道的密度:

• 水:$1000\ \text{kg m}^{-3}$
• 室温条件下的空气:$\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• 铁 / 钢:$\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

测密度是一道伪装起来的实验题。对于长方体,用天平测质量,用直尺或卡尺测三条边长,然后 $\rho = m / (xyz)$。因为密度是乘积和商,$\rho$ 的百分比不确定度是 $m$、$x$、$y$、$z$ 各自百分比不确定度之和(主题 1)。天平的零点误差,或直尺磨损的一端,是系统误差;重复读数不能消除它,但减去零点读数可以。

例题。 一个物块质量为 $(120 \pm 1)\ \text{g}$,边长为 $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$、$(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ 和 $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$。求它的密度和百分比不确定度。

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$。各百分比不确定度为 $0.8\%$、$2.5\%$、$3.3\%$ 和 $5.0\%$,所以密度的不确定度为 $12\%$,约 $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$。最短的那条边贡献最大,这就是题目会问应该先改进哪个测量的原因。

压强(pressure)是单位面积上的力,其中力垂直作用于表面:

单位:$\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$。压强是一个标量。

这里的力是垂直压在表面上的那个力,面积是接触面积。一根重力 $9.0\ \text{kN}$ 的树干立在直径 $0.28\ \text{m}$ 的柱子上,压强为 $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$;同样的重力压在更粗的柱子上,压强更小。平方之前先把直径换成半径、把厘米换成米。

流体静压强

取一段流体(fluid)柱,密度为 $\rho$、横截面积(cross-sectional area)为 $A$、高度为 $\Delta h$。它的重力是

这个重力压在底部面积 $A$ 上,所以底部相对顶部多出的压强是

这就是流体静压强(hydrostatic pressure)方程。它只取决于流体的密度和深度(depth)——容器的形状无关紧要。

例题。 求一个 $2.5\ \text{m}$ 深的游泳池底部由于水而多出的压强。(水的密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$,$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。)

对于水面下深度 $h$ 处的潜艇,来自水的压强是 $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$。要得到总压强,再加上水面处的大气压强(atmospheric pressure,约 $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$)。

浮力和阿基米德原理

当一个物体浸没(submerged)在流体中时,物体底部的压强大于顶部的压强(大 $\rho g \Delta h$,其中 $\Delta h$ 是物体的高度)。这个差给出一个净的向上的力,叫作浮力(upthrust)。

对于体积为 $V$(排开(displaced)的流体的体积)的物体,浮力是

这就是阿基米德原理(Archimedes' principle):流体中物体所受的浮力等于它排开的流体的重力。

例题。 一个体积为 $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^3$ 的金属块完全浸没在水中。求它所受的浮力。(水的密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$,$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。)

对于完全浸没的物体,$V$ 是它的全部体积。对于漂浮(floating)的物体,$V$ 只是水面以下的体积——当水面以下部分所受的浮力等于它的重力时,物体就漂浮。

一个物体到底会不会漂浮取决于密度:对于完全浸没的物体,浮力与重力之比是 $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$,所以密度比流体小它就漂浮,比流体大就下沉。把物体的密度减半,这个比值就加倍;改变它的体积或深度则什么都不改变。

例题。 一个质量 $11\ \text{kg}$、直径 $0.78\ \text{m}$ 的圆柱体竖直漂浮在密度 $990\ \text{kg m}^{-3}$ 的水中。求它的底面在水面以下的深度 $y$。

漂浮意味着浮力 $=$ 重力。浸没的体积是底面积乘以深度,$A y$,其中 $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:

圆柱体上每增加一牛顿的负载,就需要增加 $1 / (\rho g A)$ 的深度,所以无论负载放在圆柱体的哪个位置,深度都随所加重力沿直线上升。

有浮力时的力平衡

一个用绑在容器底部的绳拴在水下的物块,在三个竖直力的作用下处于平衡:重力(向下)、张力(tension,向下)、浮力(向上)。令 $F_{\text{upthrust}} = W + T$ 来求张力。

一个浸没的物块挂在弹簧测力计(newton meter)上,读数比它在空气中的重力小,这是由于浮力:读数 $= W - F_{\text{upthrust}}$。

例题。 一个重力 $25.0\ \text{N}$ 的圆柱体挂在弹簧测力计上完全浸没在水中,测力计读数为 $10.0\ \text{N}$。求圆柱体的体积。

浮力就是少掉的那 $15.0\ \text{N}$,而浮力 $= \rho g V$,所以 $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$。用同样的方法可以求圆柱体的密度:$25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$。

浮力取决于流体密度和排开的体积,而不取决于物体的材料或深度(对于不可压缩(incompressible)流体)。在一个 $g$ 较小的行星上,浮力按与重力相同的比例减小,所以一个漂浮的物体仍以相同比例的部分浸在水面以下漂浮。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 对选定的支点取力矩;对于平衡,总顺时针 $=$ 总逆时针力矩,并且合力为零。
• 一个在三个力作用下平衡的物体给出一个闭合的力三角形。
• 流体压强 $= \rho g h$;浮力 $=$ 排开流体的重力(阿基米德)。
• 区分质量、重力和密度,每次都写出各自的基本单位。

常见错误

• 几何上需要 $\sin\theta$ 时却用 $\cos\theta$ 来分解。先画出三角形,看清角挨着哪条边再选。
• 题目问的是浮力,却代入物体的重力。浮力是排开流体的重力,$\rho_{\text{fluid}} V g$。
• 漏掉均匀横梁的重力。它作用在中点,对任何不在中点的支点都有力矩。
• 对有角度的力用沿杆的距离。力矩需要的是垂直距离,或者力的垂直分量。
• 把力偶的力偶矩写成 $Fd$、其中 $d$ 从支点量起。距离是两条作用线之间的,所以对称的力偶给出 $2Fd$。

力所做的功

当一个力使它的接触点沿力的方向移动时,就做了功(work)。一分的定义要这样写:所做的功是力与沿力方向移动的距离的乘积。 一个恒力 $F$ 引起位移(displacement)$s$ 所做的功是

其中 $\theta$ 是力与位移之间的夹角。只有力中沿位移方向的分量(component)才做功。

例题。 一个孩子用一根绳把雪橇在雪地上拉了 $5.0\ \text{m}$,用力 $20\ \text{N}$,与地面成 $60°$ 角。求绳所做的功。

单位:$\text{J} = \text{N m}$。功是一个标量(scalar)。

特殊情形:

• 力与运动同方向($\theta = 0$):$W = Fs$,正功,能量给予物体。
• 力与运动成直角($\theta = 90°$):$W = 0$。平路上汽车所受的支持力(normal contact force)不做功。
• 力与运动相反($\theta = 180°$):$W = -Fs$,负功,能量从物体中取走(例如摩擦力(friction))。

对于一个沿与水平(horizontal)成 $\alpha$ 角的斜坡向上运动的物体,上升高度 $h$ 时克服重力所做的功是 $mgh$,而沿斜坡长度 $L$ 的水平推力所做的功要用 $\cos\alpha$。

两个考查定义的选择题:一个物体沿无摩擦表面匀速滑动时(没有沿运动方向的力),或者只是被静止地举着时(没有移动距离),没有对它做功;一个力把它举起时,做了功。而当一个箱子被匀速推过粗糙的地面时,推力所做的功是整段距离上的 $F \times d$,不管路径被分成多少段。

例题。 一个质量 $4.9\ \text{kg}$ 的物块被一个沿斜坡方向的 $12\ \text{N}$ 的力以匀速推上一段长 $8.0\ \text{m}$、上升 $1.5\ \text{m}$ 的粗糙斜坡。求克服摩擦所做的功。

匀速意味着动能不变,所以推力所做的功分给了重力势能的增加和克服摩擦所做的功。推力做功:$12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$。用竖直上升高度算重力势能的增加:$4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$。所以克服摩擦所做的功是 $96 - 72 = 24\ \text{J}$,摩擦力是 $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$。在 $mgh$ 中用斜坡长度是这道题最常见的错误。

能量守恒

能量既不能创生也不能消灭——它只能从一种形式变成另一种,或从一个物体转移到另一个物体。在封闭系统(closed system)中,总能量保持恒定。这就是能量守恒(conservation of energy),按给分的表述是:能量不能被创生或消灭;它只能从一种形式转移为另一种形式(所以封闭系统的总能量恒定)。

当你写一个能量方程时,列出能量开始时和结束时的每一种形式。本大纲中的常见形式:动能、重力势能、弹性势能(elastic potential energy)、电能(electrical)、热能、声能、化学能(chemical energy)。

一个球沿无摩擦(frictionless)斜坡(ramp)向下滚,把重力势能(gravitational potential energy)变成动能(kinetic energy):$mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$,所以 $v = \sqrt{2gh}$。有摩擦时,这些能量的一部分变成斜坡和空气的热能(thermal energy)。

例题。 一个球从 $1.2\ \text{m}$ 高的光滑斜坡顶从静止释放。求它在底部的速率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

所有重力势能都变成动能,所以 $v = \sqrt{2gh}$(质量约去):

同样的思路也能读图。对于一个从高度 $H$ 下落、空气阻力可忽略的球,重力势能随高度沿直线减少($mgh$),动能沿直线增加($mg(H - h)$),两者在每个高度上相加都等于恒定的 $mgH$。

能量链可以经过一个弹簧。一个物块在略微下坡地滑动时以 $110\ \text{J}$ 的动能撞上弹簧,在弹簧把它停住之前它的重力势能又减少了 $20\ \text{J}$,那么如果没有能量因摩擦而损失,在最大压缩处弹簧储存了 $110 + 20 = 130\ \text{J}$ 的弹性势能(elastic potential energy)。弹簧的力-压缩量图随后给出压缩量:储存的能量是线下方的面积,对于服从胡克定律(主题 6)的弹簧是 $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$,所以最大力 $2600\ \text{N}$ 意味着 $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$。在那一刻物块所受的合力是弹簧力减去重力沿斜坡向下的分量,它的加速度由 $F = ma$ 得出(主题 3)。

效率

一个系统的效率(efficiency)是

用功率表达的同样想法:

在真实系统中效率总是小于 100%,因为一部分输入能量变成了"无用的"形式——通常是热能。如果供给的总能量为 $E$、浪费掉的量为 $Q$,那么有用输出是 $E - Q$,效率是 $(E - Q) / E$;一台输入功率 $1.7\ \text{kW}$、效率 $53\%$ 的电动机提供 $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ 的有用输出。

对于一个以效率 $\eta$、在电压(voltage)$V$ 和电流(current)$I$ 下提升负载的电动机,有用输出功率是 $\eta V I$。由此你可以求出一个力、一个提升速率或一个张力(tension)。

例题。 一台电动机以稳定的 $0.40\ \text{m s}^{-1}$ 提升一个 $50\ \text{kg}$ 的负载,同时消耗 $250\ \text{W}$ 的电功率。求它的效率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

有用输出功率是 $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$,所以

例题。 一台电动机用 $240\ \text{N}$ 的力在 $60\ \text{s}$ 内把一个物块竖直提升 $12\ \text{m}$。电动机的输入功率为 $900\ \text{W}$。求有用输出功率和效率。

对物块所做的功:$W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$。有用输出功率:$P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$。效率:$48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$。大部分输入变成了电动机及其电缆中的热能。反过来,一台有用输出 $20\ \text{kW}$ 的电梯电动机把 $1500\ \text{kg}$ 提升 $20\ \text{m}$ 需要 $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$。

功率(power)是做功的速率,或转移能量的速率:

单位:$\text{W} = \text{J s}^{-1}$。功率是一个标量。

功率、力和速度

对于一个以速度(velocity)$v$ 运动、受一个沿运动方向的力 $F$ 的物体,在短时间 $\Delta t$ 内位移是 $v\,\Delta t$,所做的功是 $F v\,\Delta t$。除以 $\Delta t$:

这是力学中最有用的结论之一。"推导 $P = Fv$"的答案恰好需要这三行:$P = W / t$,沿运动方向的力有 $W = Fs$,以及 $s / t = v$;然后用它来解车辆或负载以匀速运动的问题。

例题。 一辆汽车以稳定的 $25\ \text{m s}^{-1}$ 行驶,克服 $600\ \text{N}$ 的总阻力。求它发动机的输出功率。

在匀速时驱动力等于阻力,所以

• 对于平路上以匀速 $v$ 行驶的汽车,发动机功率必须平衡总阻力:$P = F_{\text{resist}} \cdot v$。如果阻力(drag)随 $v^{2}$ 增大,速率翻倍大约使所需功率变为四倍。
• 对于以匀速 $v$ 竖直向上提升一个重力(weight)$mg$,有用输出功率是 $P = mg \cdot v$。
• 对于在固定高度悬停的飞机,升力等于重力,并且需要很大的功率,因为必须一直把空气往下推。
• 一台起重机以每分钟 $12\ \text{m}$ 的稳定速率提升 $600\ \text{kg}$,提升速率为 $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$,所以它的有用输出功率是 $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$。先把速率换算成 $\text{m s}^{-1}$。
• 一艘被恒定的风力推着以匀速前进的帆船,一定还受到来自水的等大阻力:匀速意味着合力为零,所以风的功率 $Fv$ 全部用于克服水的阻力做功。

在均匀重力场中(靠近行星表面),质量(mass)$m$ 上升或下落高度 $\Delta h$ 时重力势能的变化是

它从何而来

缓慢地(动能不变)把质量 $m$ 提升高度 $\Delta h$ 时克服重力所做的功等于获得的重力势能:

• 质量所受的重力是 $mg$ 向下,
• 缓慢提升它所需的力是 $mg$ 向上,
• 这个力所做的功是 $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• 这个功变成 $\Delta E_{\text{P}}$。

所以 $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$。要用它你需要 $m$ 和 $\Delta h$(以及 $g$)。你不需要速率或时间。两分的推导要的正是这四行,并写明条件:物块以匀速被提升,所以提升力等于重力 $mg$,这个力在竖直距离 $\Delta h$ 上所做的功是 $mg\Delta h$,即重力势能的增加。一个 $100\ \text{g}$ 的物体下落 $10\ \text{m}$ 损失 $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$,约 $10\ \text{J}$;质量必须用千克。

一个质量为 $m$、以速率 $v$ 运动的物体的动能是

它从何而来

对一个从静止开始的质量 $m$ 施加一个合力 $F$。它在位移 $s$ 内从 $0$ 均匀加速到 $v$。由 $v^{2} = u^{2} + 2as$ 且 $u = 0$,

对质量所做的功是

所有这些功都变成动能,所以 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$。考试中要边写边说明假设:物体从静止开始,力恒定,所以加速度均匀,而 $F = ma$ 是牛顿第二定律。

因为 $E_{\text{K}} \propto v^{2}$,速率变为四倍使动能变为十六倍:一个在 $10\ \text{m s}^{-1}$ 时有 $1500\ \text{J}$ 的物体在 $40\ \text{m s}^{-1}$ 时有 $24\,000\ \text{J}$。同样的平方关系也是用能量求制动力的原因:一个质量 $1.2\ \text{kg}$、以 $3.0\ \text{m s}^{-1}$ 运动的球被一个垫子在 $0.020\ \text{m}$ 内停住,损失 $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$,所以它所受的平均力是 $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$:垫子所做的功等于损失的动能。

动能和动量

联立 $p = mv$ 和 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

当给出动量(momentum)而不是速度时,这很方便。对于质量恒定、动量从 $p_{1}$ 变到 $p_{2}$ 的情形,动能的变化是 $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$。

一个用于混合了力和能量的问题的有用方案:

1. 找出开始和结束状态。 写出每个状态下的动能和势能。
2. 列出外力所做的任何功(摩擦、一个推力)。摩擦通常取走能量;推力可以增加能量。
3. 能量守恒:$E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$。

例子:

• 一个箱子以匀速沿长度为 $L$、上升 $h$ 的斜坡被推动:$E_{\text{K}}$ 不变,所以推力所做的功变成 $\Delta E_{\text{P}}$ 加上克服摩擦所做的功。
• 一个物块在无摩擦表面上带着动能 $E_{\text{K}}$ 滑入一个弹簧(spring):在最大压缩(compression)$x$ 时,所有动能都变成了弹性势能 $\tfrac{1}{2} k x^{2}$(其中 $k$ 是劲度系数(spring constant))。
• 一个球从高度 $h_{1}$ 落下、弹到高度 $h_{2}$:比值 $h_{2}/h_{1}$ 是保留下来的机械能的比例,$h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$。
• 一个以不同角度抛到相同高度的抛体(projectile):末速率相同(只有高度才重要);用分量求它的方向。
• 一个蹦极者(bungee jumper):从平台到绳索绷直的那一点,重力势能变成动能;从那里起绳索拉伸并以弹性势能的形式吸收能量,所以动能在绳索的拉力首次等于重力处达到最大,然后在最低点降到零,那里损失的重力势能 $=$ 储存的弹性势能(加上任何热能)。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 功 $=$ 力 $\times$ 沿力方向移动的距离——当它们成角度时用 $Fs\cos\theta$。
• 用能量守恒:重力势能的减少 $=$ 动能的增加($+$ 克服阻力所做的功)。
• 功率 $=$ 功 $/$ 时间 $= Fv$;效率 $=$ 有用输出 $\div$ 总输入。
• 重力势能用获得的竖直高度,而不是沿斜坡的距离。

常见错误

• 把高度的变化当作能量变化题的答案。要把计算做完:$\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$。
• 在 $mg\Delta h$ 中用沿斜坡的距离当作高度,或者在需要重力的地方用质量。用获得的竖直高度,并检查题目要的是以 kg 计的 $m$ 还是以 N 计的 $W$。
• 对正在加速的汽车把阻力代入 $P = Fv$。$F$ 是驱动力;只有匀速时它才等于阻力。
• 效率超过 100%,或者把效率写成输出除以浪费。效率是有用输出除以总输入,而总输入永远是较大的那个数。
• 题目要能量时却读了力-伸长量图的斜率。储存的能量是线下方的面积,而不是它的斜率。

当一个力沿固体的长度方向作用时,物体会改变形状(形变(deformation))。两种情形(这里当作一维处理):

• 拉伸(tensile)力使物体伸长——产生一个伸长量(extension)$x$,
• 压缩(compressive)力挤压物体——产生一个压缩(compression),当作负的伸长量。

施加的力是负载(load)。相对自然长度的改变就是伸长量(或压缩量)。

两者都从自然的、未拉伸的长度量起,绝不从加载后的长度量起:在一个箱子压在弹簧上的图中,弹簧缩短的距离就是它的压缩量。弹簧自身的质量通常说成可忽略的(negligible),所以作用在它上面的只有负载和它提供的张力。

对于许多材料在小伸长量下,伸长量与负载成正比——这就是胡克定律(Hooke's law)。把它们联系起来的常数是劲度系数(spring constant)$k$:

$k$ 的单位:$\text{N m}^{-1}$。

例题。 当挂上一个 $2.0\ \text{N}$ 的负载时,一根弹簧伸长了 $4.0\ \text{cm}$。求它的劲度系数。

把伸长量换成米($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

对于一分的"陈述胡克定律",用文字写出:只要不超过比例极限,伸长量与所施加的力(负载)成正比。 劲度系数是每单位伸长量的力;选择题的干扰项是"每单位力的伸长量"(那是 $1/k$)和 $\tfrac{1}{2}Fx$(储存的能量)。

读图:

• 力-伸长量($F$ 对 $x$)图在胡克定律区域内的斜率是 $k$。
• 伸长量-力($x$ 对 $F$)图在胡克定律区域内的斜率是 $1/k$。

一个常见陷阱:如果一张图画的是长度 $L$ 对力,你仍能从斜率求出劲度系数(因为 $L = L_{0} + F/k$,斜率是 $1/k$——要仔细读出它)。

例题。 一根弹簧在 $0.80\ \text{N}$ 的力下长 $90\ \text{mm}$,在 $1.30\ \text{N}$ 下长 $115\ \text{mm}$。求劲度系数和未拉伸时的长度。

多出的 $0.50\ \text{N}$ 的力产生多出的 $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$ 的伸长量,所以 $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$。在 $0.80\ \text{N}$ 时伸长量为 $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$,所以未拉伸的长度是 $90 - 40 = 50\ \text{mm}$。在长度对力的图上,长度轴上的截距是 $L_{0}$,斜率是 $1/k$,而拉伸弹簧所做的功是图线与 $L = L_{0}$ 这条水平线之间的三角形,不是一直到力轴的整个面积:$L_{0}$ 下方的矩形是未拉伸长度乘以力,没有任何意义。

比例极限

胡克定律只在比例极限(limit of proportionality)之前成立。过了这一点,$F$ 对 $x$ 的线弯曲,不再是直的。材料可能再往前一点仍是弹性的(elastic,去掉负载后回到它最初的长度),然后变成塑性的(plastic)。

串联和并联的弹簧

你可能需要合成劲度系数:

• 串联(series,一根弹簧挂在另一根下面):相同的负载穿过两根,总伸长量是两者之和,所以 $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$。
• 并联(parallel,两根弹簧并排挂同一个负载):每根承担一半负载(若它们相同),伸长量相等,所以 $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$。

例题。 劲度系数为 $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ 和 $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ 的两根弹簧首尾相接,下面挂一个 $80\ \text{N}$ 的负载。求总伸长量。

每根弹簧都承受全部 $80\ \text{N}$,所以伸长量分别是 $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ 和 $80/4.0 = 20\ \text{cm}$:总共 $33\ \text{cm}$(与由 $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$ 得 $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ 一致)。三根相同的弹簧全部并联时合成劲度系数最大($3k$),全部串联时最小($k/3$)。当一个负载由两根相同的并联弹簧分担时,每根承受一半的力,因而储存的能量是单根弹簧承受全部负载时的四分之一;两根一起储存的能量是单根弹簧的一半。以 $\text{N cm}^{-1}$ 计的劲度系数比同一个常数以 $\text{N m}^{-1}$ 计时小 $100$ 倍;按题目要求的单位给出。

对于承受拉伸负载、横截面均匀的金属丝:

• 应力(stress)$\sigma = \dfrac{F}{A}$,其中 $F$ 是负载,$A$ 是横截面积(cross-sectional area)。单位:$\text{Pa}$。
• 应变(strain)$\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$,其中 $x$ 是伸长量,$L_{0}$ 是原长。应变没有单位(它是两个长度的比值)。

对于一分的定义:应力是每单位横截面积上的力(垂直作用于该面积的力);应变是每单位原长的伸长量。应力的单位 $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$,用基本单位写是 $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$。圆形金属丝的面积由它的直径 $d$ 得出:$A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$,把 $d$ 当作 $r$ 会使面积大四倍。把 $\text{mm}^{2}$ 换成 $\text{m}^{2}$ 要乘 $10^{-6}$。

例题。 一个 $18\ \text{N}$ 的拉力作用在横截面积为 $3.2\ \text{mm}^{2}$ 的金属丝上。求应力。

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$。同一个力作用在整根金属丝上,所以一端直径为 $2d$、另一端为 $d$ 的螺栓在细的一端应力是四倍($\sigma \propto 1/d^{2}$),而半径为三倍的金属丝承受的应力是九分之一。

杨氏模量(Young modulus)是胡克定律区域内应力与应变之比:

单位:$\text{Pa}$(金属约为 $10^{11}$;例如钢 $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa)。

例题。 一根长 $2.0\ \text{m}$、横截面积 $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^2$ 的钢丝在 $15\ \text{N}$ 的负载下伸长 $1.0\ \text{mm}$。求杨氏模量。

杨氏模量是材料的一个性质——它不取决于金属丝的形状或大小。劲度系数 $k$ 既取决于材料又取决于大小:$k = EA/L_{0}$。

对于一分的定义:杨氏模量是应力与应变之比(对于在比例极限内形变的材料)。因为它属于材料,同一种金属的较粗的金属丝有相同的杨氏模量:在相同负载下它伸长得更少,是因为它的面积更大,而不是因为这种金属更硬。"证明 $k = EA/L_{0}$"的题要两行:$k = F/x$ 和 $E = FL_{0}/(Ax)$,所以 $E = kL_{0}/A$。由此得出两点:只要胡克定律成立,无论力多大,金属丝的劲度系数都保持恒定;同一种金属、直径两倍的金属丝劲度系数是四倍。

例题。 一根长 $1.7\ \text{m}$、直径 $0.64\ \text{mm}$ 的铜丝,杨氏模量为 $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$。求它的劲度系数。

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$,所以 $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$。

在应力-应变图上,直线部分的斜率是 $E$,所以画在同一坐标系里的两种材料中,更陡的线是更硬的材料,而杨氏模量加倍的金属丝画成一条过原点、斜率两倍的直线。在力-伸长量图上斜率是 $EA/L_{0}$,杨氏模量等于斜率乘以 $L_{0}/A$;只有应力-应变图的斜率才直接等于 $E$。

测量金属丝杨氏模量的实验

一个标准装置:

1. 把一根又长又细的金属丝的一端夹在固定支架上。让金属丝越过桌边的一个滑轮(pulley),使它竖直下垂。
2. 用米尺测量夹子与滑轮附近一个标记之间的原长 $L_{0}$。
3. 用螺旋测微器(micrometer)在几处测量金属丝的直径(diameter)$d$ 并取平均。算出 $A = \pi d^{2}/4$。
4. 一次挂一个砝码。记录负载 $F$ 和伸长量 $x$(标记相对固定刻度移动了多远)。
5. 作 $F$ 对 $x$ 的图。在直线区域斜率是 $EA/L_{0}$,所以 $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$。

为什么用又长又细的金属丝?为了使伸长量大到便于精确测量。为什么重复读数并在几处测 $d$?为了减小随机误差(random error)并检查金属丝是否均匀。

"描述一个实验"的答案靠这些得分:测量的量及其方法(用米尺测 $L_{0}$;用螺旋测微器在几处测 $d$;由砝码或测力计得到负载;由对着固定刻度读数的标记或游标刻度得到伸长量)、图像($F$ 对 $x$,斜率 $EA/L_{0}$;或应力对应变,斜率 $E$)以及注意事项:戴护目镜以防金属丝断裂,先加一个小负载拉直弯折处,卸载时也读数以检查金属丝保持了弹性。

随着负载增大:

1. 弹性且直(遵守胡克定律)——直到比例极限。去掉负载使物体回到它最初的长度。
2. 弹性但弯曲——在比例极限和弹性极限(elastic limit)之间。伸长量对负载不再是直的,但卸载时物体仍回到它最初的长度。
3. 塑性——过了弹性极限。卸载时,物体不回到它最初的长度;留下一个永久伸长。

胡克定律只在直的、弹性的区域内成立。

用文字表述:弹性形变指去掉负载后物体回到它原来的长度(或形状);塑性形变指它回不去,留下一个永久伸长;弹性极限是形变仍为弹性的最大负载(或伸长量);比例极限是过了之后伸长量不再与负载成正比的那一点。在图上,比例极限是图线不再是直线的地方。弹性极限在它稍后一点,单从加载线读不出来。所以在"哪个陈述一定正确"的题中,直线部分的末端就是比例极限,但后面某点是弹性极限还是断裂点,从加载线的形状无法判断。

在一张被拉入塑性区然后卸载的材料的力-伸长量图上,加载线和卸载线是不同的。卸载线与最初的胡克线平行,但向右移动了(负载回到零时留下的永久伸长)。加载线和卸载线之间的面积是在材料中变成热能(thermal energy)的能量。

橡皮筋(rubber band)的加载曲线和卸载曲线也不同,但它会回到原来的长度:它的形变是弹性的。两条曲线之间的面积同样是以热能形式耗散的能量(弹性滞后(elastic hysteresis)),而卸载时回收的能量是下方曲线下的面积。两分的"解释为什么拉伸金属丝所做的功不等于去掉力时回收的能量"要答:金属丝被拉过了弹性极限,所以一部分形变是塑性的、留下了永久伸长,而所做的功有一部分变成了金属丝中的热能。

把一个材料从 $0$ 拉伸到伸长量 $x$、负载从 $0$ 增大到 $F$ 时所做的功,是力-伸长量图线下方的面积。

为什么是面积:所做的功是力乘以移动的距离,但这里力随材料的拉伸而增大,所以功是许多小伸长量上 $F\,\Delta x$ 的总和,即图线下方的面积。在比例极限内,力从 $0$ 均匀增大到 $F$,所以平均力是 $\tfrac{1}{2}F$,功是 $\tfrac{1}{2}Fx$。在力-伸长量图上,斜率是劲度系数。

遵守胡克定律的材料

当胡克定律成立时,$F$ 对 $x$ 的图是过原点的直线。它从 $0$ 到 $x$ 下方的面积是一个三角形:

这是储存在弹簧或金属丝中(在其比例极限内拉伸)的弹性势能(elastic potential energy)。一个等价形式:

例题。 一根劲度系数为 $50\ \text{N m}^{-1}$ 的弹簧在其比例极限内被拉伸 $0.20\ \text{m}$。求储存的弹性势能。

例题。 一根劲度系数为 $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ 的金属丝已经伸长了 $2.0\ \text{mm}$。求把它的伸长量增加到 $3.0\ \text{mm}$ 所做的功。

储存的能量从 $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ 增加到 $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$:$W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$。这是图线下方两个伸长量之间的梯形,而不是 $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$。因为 $k$ 固定时 $E_{\text{P}} \propto x^{2}$,金属丝的伸长量加倍,储存的能量变为四倍($0.65\ \text{J}$ 变成 $2.6\ \text{J}$);由储存的能量可得伸长量 $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$:一根 $k = 400\ \text{N m}^{-1}$、储存 $0.32\ \text{J}$ 的弹簧被压缩了 $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$。对于首尾相接的两根金属丝,两者的张力相同,所以储存的总能量是 $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$,各用自己的伸长量。

不遵守胡克定律的材料

对于一张不是直线的图(一条被拉伸的橡皮筋,或过了比例极限的弹簧),用数网格方块或用梯形(trapezia)来求面积。同样的想法成立:力-伸长量图线下方的面积是对材料所做的功。要估算直到断裂点所做的功,数出整条曲线下方的方格数(不完整的方格算半个),再乘以一个方格代表的能量,即力的间隔乘以伸长量的间隔;说明面积是通过数方格得到的,就是"解释你的推理"的那一分。

比较储存的能量

一个常见的选择题情形:两个材料被相同的力拉伸,或被相同的伸长量拉伸。用 $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:

• 相同的 $F$,较小的 $k$(不那么硬)→ 较大的 $x$ → 储存更多能量。
• 相同的 $x$,较大的 $k$(更硬)→ 较大的 $F$ → 储存更多能量。

$E_{\text{P}}$ 对伸长量或压缩量的示意图是一条过原点、越来越陡的曲线($E_{\text{P}} \propto x^{2}$),不是直线。在相同负载下,长度和面积都相同的两根金属丝中,杨氏模量较小的那根伸长更多,因而储存更多能量。

当一根被拉伸的弹簧被释放到一个质量上时,弹性势能变成动能(kinetic energy)(如果质量上升还有重力势能)。令 $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ 等于 $\tfrac{1}{2} m v^{2}$(加上任何 $mgh$)来求速率或高度。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• **胡克定律($F = kx$)**只在比例极限之前成立。
• 应力 $= F/A$,应变 $= x/L$,杨氏模量 $=$ 应力$/$应变(应力-应变图直线部分的斜率)——注意单位(Pa)。
• 储存的能量 $=$ 力-伸长量图线下方的面积 $=$ 弹性区域内的 $\frac{1}{2}Fx$。
• 区分弹性(恢复形状)和塑性(永久)形变。

常见错误

• 在 $A = \pi r^{2}$ 中把直径当作半径,或者把面积留在 $\text{mm}^{2}$。先把直径减半;$1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$。
• 把长度-力图上一直到坐标轴的整个面积读作所做的功。只有 $L_{0}$ 上方的三角形才是功。
• 把储存的能量当作与伸长量成正比。它随 $x^{2}$ 变化:伸长量加倍,能量四倍;两个伸长量之间所做的功是两个 $\tfrac{1}{2}kx^{2}$ 之差。
• 陈述胡克定律时漏掉条件。"只要不超过比例极限"是定律的一部分。
• 把比例极限(直线的末端)和弹性极限(弹性行为的末端,稍后一点)弄混。
• 说较粗的金属丝杨氏模量更大。模量属于材料;较粗的金属丝劲度系数更大。

波(wave)把能量(energy)从一个地方带到另一个地方,而整体上不移动物质。介质(medium)的粒子绕固定的平衡位置振动(oscillate);只有扰动(及其能量)在传播(propagate)。例子:绳上的横波(transverse wave)、弹簧上的纵波(longitudinal wave)、水面上的波纹,以及空气中的声音。传播并携带能量的波是行波(progressive wave)。

波动(wave motion)是介质粒子的一系列振动,每个粒子把扰动传给下一个:抖动绳子的一端、推弹簧的一端,或触碰水波槽(ripple tank)的水面,振动就从起点向外传播。一分的定义:行波把能量从一个地方传递到另一个地方而不传递物质;粒子只绕它们的平衡位置振动。

关键术语

• 位移(displacement)$y$——某一时刻一个粒子离开它平衡位置的距离。是一个矢量(vector)。
• 振幅(amplitude)$A$——离开平衡位置的最大位移。
• 波长(wavelength)$\lambda$——沿波在两个同相(in phase)运动的点之间(例如两个相邻的波峰(crests))的最短距离。
• 周期(period)$T$——一个粒子完成一次完整振动所用的时间。
• 频率(frequency)$f$——每秒完整振动的次数;$f = 1/T$。单位:赫兹(hertz),$\text{Hz}$。
• 速率(speed)$v$——波峰沿介质传播的快慢。
• 相位差(phase difference)——一个振动比另一个超前或滞后的那一部分周期。以弧度(radians,一个完整周期是 $2\pi$)或度(一个完整周期是 $360°$)给出。

相隔一个波长的两点同相(相位差 0 或 $2\pi$)。相隔半个波长的两点恰好反相(相位差 $\pi$)。

要从位移-距离图求两点的相位差,用它们的间距除以波长再乘 $360°$(或 $2\pi$):波长 $2.0\ \text{m}$($v = 600\ \text{m s}^{-1}$,$f = 300\ \text{Hz}$)的波上相距 $0.50\ \text{m}$ 的两点相位相差 $0.25 \times 360° = 90°$。只有周期的分数才重要,所以 $450°$ 与 $90°$ 相同。从两张位移-时间图,把两个峰之间的时间差读成周期的分数。图示瞬间某一点朝哪个方向运动?整个波形沿传播方向移动,所以每个点都会取得波来的那一侧相邻点此刻的位移;处在波峰或波谷的点此刻暂时静止。

例题。 弦上的 R、T 两点相距 $0.62\ \text{cm}$,相位相差四分之一个周期。波速为 $0.27\ \text{m s}^{-1}$。求频率。

四分之一个周期就是四分之一个波长,所以 $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$,$f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$。

波动方程

在一个周期 $T$ 内,波向前移动一个波长 $\lambda$。所以速率 $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:

这直接来自速率、频率和波长的定义,对每一个行波都成立。两分的推导要写出两步:在一个周期 $T$ 内波传播一个波长 $\lambda$,所以 $v = \lambda / T$;又 $f = 1/T$,所以 $v = f\lambda$。因为 $v$ 由介质决定,频率越高波长越短。求周期的题就是同一个方程反过来用:波长 $460\ \text{nm}$ 的光,$f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$,$T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$。

读示波器图线

阴极射线示波器(cathode-ray oscilloscope,CRO)把一个电压信号——对声音而言,就是麦克风的输出——对时间画出来。有两个旋钮很重要:

• 时基(time-base,横向每格的秒数):把屏幕上的水平距离转换成时间。把周期 $T$ 读作两个相邻峰之间的距离,然后 $f = 1/T$。
• 垂直增益(y-gain,竖向每格的伏数):把竖直距离转换成电压。以伏为单位的振幅是从中线量起的峰高。

如果时基是 $5\ \text{ms}/\text{div}$,而一个完整周期占 $4$ 格,那么 $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$,$f = 50\ \text{Hz}$。

时基是屏幕上横向一格(或一厘米)所代表的时间,单位 $\text{s}\ \text{div}^{-1}$。要为给定的信号设置它,倒过来算:$2000\ \text{Hz}$ 的声音 $T = 0.50\ \text{ms}$,所以要让一个周期占 $2.5\ \text{cm}$,时基必须是 $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$。求振幅,用峰高的格数乘以垂直增益:$3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ 下的 $2.0$ 格是 $7.0\ \text{mV}$。当声音的强度在频率不变时减到四分之一,图线的周期不变,峰高减半,因为 $I \propto A^{2}$。

波的强度

波携带能量。某点的强度(intensity)是垂直于传播方向穿过单位面积的功率(power):

单位:$\text{W m}^{-2}$。

强度与振幅的平方成正比:

对于一个向各方向均匀发出能量的点源(point source),波前(wavefronts)是球面;距离 $r$ 处的表面积是 $4\pi r^{2}$,所以

距离翻倍使强度变为四分之一,这意味着振幅减半(因为 $I \propto A^{2}$)。

例题。 一盏灯向各方向均匀发出 $60\ \text{W}$ 的光。求 $2.0\ \text{m}$ 外光的强度。

例题。 功率 $750\ \text{W}$ 的光垂直照在边长 $1.2\ \text{m}$ 的正方形太阳能板上。求强度。

$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$。同样的光照下,较小的板接收相同的强度但更少的功率,与它的面积成比例。反过来,半径为 $r$ 的放大镜收集功率 $I \times \pi r^{2}$,把它集中到一个小光斑上。

选择题常考的两条规则。因为 $I \propto A^{2}$,两个强度之比是振幅之比的平方:振幅 $3.0\ \text{cm}$ 和 $2.0\ \text{cm}$ 的两个波强度之比为 $2.25$;振幅减到一半,强度减到四分之一。对于点源,$I \propto 1/r^{2}$ 意味着 $A \propto 1/r$,所以 $A/A_{0}$ 对 $d/x_{0}$ 的示意图是一条随 $1/d$ 下降的曲线,不是直线。评分标准要的一句话:强度与振幅的平方成正比。

横波

粒子在与能量传播方向垂直(perpendicular)的方向上振动。绳上的波、所有电磁波,以及地球中的 S 波都是横波。

纵波

粒子在与能量传播方向平行的方向上振动。任何介质中的声音、地球中的 P 波,以及弹簧上的挤压都是纵波。这种波由压缩(compressions,压强较高,粒子靠得近)和稀疏(rarefactions,压强较低,粒子散得开)构成。

波的图像

某一时刻粒子位移对位置的图,对两种波来说看起来都像一条正弦曲线(sine curve)。区别在于:对横波,位移轴是真正的横向位移;对纵波,它是沿传播方向的小幅前后位移(一个方向为正,另一个为负)。

对纵波,取向右的位移为正。图线从正变负地穿过零的地方,两侧的粒子都朝那一点移动了,所以那里是压缩;从负变正地穿过零的地方,粒子彼此离开了,是稀疏。相邻两个压缩相距一个波长,一个压缩与下一个稀疏相距半个波长。粒子运动方向的规则与横波相同:它朝波来的那一侧相邻点的位移运动。

某一空间点上粒子位移对时间的图对两种波来说也是一条正弦曲线。从这张图读出周期 $T$。

两分的比较,参照能量传递的方向:横波的振动垂直于能量传递方向;纵波的振动与它平行。两种波都传递能量而不传递物质,都能反射、折射和衍射,都能形成驻波(主题 8)。只有横波能被偏振,而且只有电磁波(全是横波)能在真空中传播;声音需要介质。把两张图合起来读:位移-距离图给出 $\lambda$,位移-时间图给出 $T$,而 $v = \lambda / T$。

当声音的波源(source)相对一个静止(stationary)的观察者(observer)运动时,听到的频率与波源频率不同。这就是多普勒效应(Doppler effect)。

• 波源朝观察者运动:前方的波前被挤压,所以波长较短,听到的频率较高。
• 波源远离观察者运动:后方的波前被拉开,所以波长较长,听到的频率较低。

公式(波源以速率 $v_{\text{s}}$ 沿到观察者的连线运动;波速 $v$,波源频率 $f_{\text{s}}$,听到的频率 $f_{\text{o}}$):

选择符号来符合物理:

• 波源朝观察者运动时,分母取减号($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• 波源远离时取加号($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$)。

你只需要静止观察者的情形。

例题。 一个 $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ 的汽车喇叭以 $30\ \text{m s}^{-1}$ 朝一个静止的听者运动。声速 $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:

以同样的速率远离时,听者听到 $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$:汽车接近时频率恒定,经过时下降,远离时又恒定在较低的值。匀速经过的波源,观察到的频率对时间的示意图是两段水平线由一段下降连接。反过来算,$1200\ \text{Hz}$ 的波源被听成 $960\ \text{Hz}$,说明它在远离($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$):由 $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ 得 $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$。一个发出 $846\ \text{Hz}$、以 $25\ \text{m s}^{-1}$ 在水平圆周上甩动的蜂鸣器,听到的频率在 $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$(正在直接远离)和 $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$(正在直接接近)之间,每转一圈各出现一次。如果声音的示波器图线周期持续增大,观察到的频率在下降:波源正在以越来越大的速率远离。多普勒效应对所有波都发生,包括光(主题 25);这里只考声音的公式。

所有电磁波(electromagnetic waves,EM 波)都是横波,并在真空(vacuum)中以相同的速率传播:

电磁波谱(electromagnetic spectrum)包括无线电波、微波(microwaves)、红外线(infrared)、可见光、紫外线(ultraviolet)、X 射线(X-rays)和 $\gamma$ 射线(γ-rays)。

自由空间中的大致波长范围(记住数量级):

• 无线电波:$> 10^{-1}\ \text{m}$(可达许多千米)。
• 微波:$10^{-3}\ \text{m}$ 到 $10^{-1}\ \text{m}$。
• 红外线:$\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 到 $10^{-3}\ \text{m}$。
• 可见光:$400\ \text{nm}$(紫)到 $700\ \text{nm}$(红),即 $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 到 $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$。
• 紫外线:$\sim 10^{-8}\ \text{m}$ 到 $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$。
• X 射线:$\sim 10^{-11}\ \text{m}$ 到 $10^{-8}\ \text{m}$。
• $\gamma$ 射线:$< 10^{-11}\ \text{m}$。

各区域之间的边界并不清晰。用 $c = f\lambda$ 在波长和频率之间换算。只有波长 $400$–$700\ \text{nm}$ 的光才能被看见。

要判断区域,用 $\lambda = c / f$ 换算成波长再与范围比较:$2.1\ \text{cm}$ 是微波;$138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ 是 X 射线;$30\ \text{THz}$ 给出 $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$,红外线;$3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ 给出 $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$,紫外线。可见光的频率约在 $4.3 \times 10^{14}$ 到 $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ 之间,所以 $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ 的波能被看见,而波长 $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ 的波(红外线)不能。红光比绿光波长更长、频率更低。"按波长增大排列"的顺序是 $\gamma$ 射线、X 射线、紫外线、可见光、红外线、微波、无线电波。一个光脉冲从 $150\ \text{m}$ 外的墙反射回来需要 $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$。

偏振(polarisation)是指使一个横波只在一个平面内振动。

• 只有横波能被偏振——振动垂直于传播方向,所以不同的垂直平面是真实的选择。
• 纵波(声音)不能被偏振——振动沿传播方向,所以没有其他平面。

所以偏振是一个判据:如果一个波能被偏振,它一定是横波。

马吕斯定律

强度为 $I_{0}$ 的平面偏振(plane-polarised)光穿过一个偏振片(polarising filter),其透光轴(transmission axis)与偏振面成 $\theta$ 角。透过的强度由马吕斯定律(Malus's law)给出:

• $\theta = 0°$:偏振片与偏振方向对齐,$I = I_{0}$,全部透过。
• $\theta = 90°$:偏振片成直角,$I = 0$,全部被挡住。
• $\theta = 60°$:$I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$。

例题。 强度为 $12\ \text{W m}^{-2}$ 的平面偏振光遇到一个透光轴与偏振面成 $30°$ 角的偏振片。求透过的强度。

对于一排两个偏振片,用马吕斯定律两次,每次用两片之间的夹角。每次都要小心角度——过了第一个偏振片后,偏振沿那个偏振片的轴,第二个偏振片的角度从那里量起。

(你不需要算出偏振片对一个未偏振波的作用。)

当偏振片在平面偏振光前转过 $360°$ 时,透过的强度按 $\cos^{2}\theta$ 变化:透光轴与偏振面平行($0°$ 和 $180°$)时最大,垂直($90°$ 和 $270°$)时为零,永远不为负。因为 $I \propto A^{2}$,透过的振幅是 $A_{0}\cos\theta$:在 $45°$ 时强度减半,振幅降到原来的 $0.71$。对于两个偏振片,第一个把偏振面定在它自己的轴上,所以第二个偏振片的角度从那里量起:竖直偏振光先后穿过与竖直成 $50°$ 和 $80°$ 的偏振片,保留 $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$ 的强度。一分的定义:偏振是横波只在一个平面(包含传播方向)内振动;声音不能被偏振,因为它的振动沿着传播方向,没有可供选择的平面。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。