A-Level 物理

一个物理量(physical quantity)有两个部分:一个数字(它的大小(magnitude))和一个单位(unit)。单独一个数字什么也说明不了。你还必须说明测量的是什么、用的是哪个单位。

例子:"长度是 1.5"是不完整的。"长度是 1.5 m"才是一个物理量。

作估算

你应当能够估算(estimate)本大纲中各物理量的大小。记住这些粗略的数值:

• 成年人的质量(mass):$\sim 70\ \text{kg}$
• 成年人的重力(weight):$\sim 700\ \text{N}$
• 成年人的身高:$\sim 1.7\ \text{m}$
• 一个苹果的质量:$\sim 0.1\ \text{kg}$(所以它的重力约为 $1\ \text{N}$)
• 声音在空气中的速率:$\sim 340\ \text{m s}^{-1}$
• 光在真空(vacuum)中的速率:$3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• 自由落体(free fall)的加速度(acceleration):$g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$

一个好的估算要有正确的数量级(order of magnitude,正确的十的幂)。对于人来说,70 kg 是个好的猜测;7 kg 就不是。

基本单位

SI 制中有七个基本量(base quantities);其中五个在本主题中用到。你必须知道这五个和它们的单位:

• 质量(mass)——千克,$\text{kg}$
• 长度(length)——米,$\text{m}$
• 时间——秒,$\text{s}$
• 电流(current)——安培(ampere),$\text{A}$
• 温度(temperature)——开尔文(kelvin),$\text{K}$

本大纲中其他所有单位都由这五个构成。

导出单位

导出单位(derived unit)是由基本单位相乘或相除得到的。你应当能够把本大纲中任何一个量用基本单位表示出来。

从定义某个单位的方程来构建它:

• 速率(speed)= 距离 / 时间,所以它的单位是 $\text{m s}^{-1}$
• 加速度= 速度(velocity)的变化 / 时间,所以它的单位是 $\text{m s}^{-2}$
• 力(force)= 质量 × 加速度,所以它的单位是 $\text{kg m s}^{-2}$。牛顿(newton)是 $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$。
• 功(work)和能量(energy)= 力 × 距离,所以单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$。焦耳(joule)是 $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$。
• 功率(power)= 能量 / 时间,所以单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。瓦特(watt)是 $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。
• 压强(pressure)和应力(stress)= 力 / 面积,所以单位是 $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$。帕斯卡(pascal)是 $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$。

当题目要求某个量的 SI 基本单位时,把每个有名称的单位换成它的基本单位,然后化简。例子:瓦特的 SI 基本单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。

检查单位是否一致

当一个方程两边有相同的基本单位时,它就是量纲一致的(homogeneous)。用大白话说:两边的单位相符。

把每一边都写成基本单位再比较。以方程 $v^{2} = u^{2} + 2as$ 为例:

• 左边:$(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• 右边第一项:$(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• 右边第二项:$\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

两边都得到 $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$,所以单位相符。

要小心:单位相符并不证明整个方程是正确的。它仍可能有错误的数字,或漏掉一个因子 2。但如果单位不相符,这个方程就一定是错的。

词头

词头(prefix)是加在单位前面的一个字母,用来把它按十的幂放大或缩小。你必须知道这些:

要把带词头的单位换成基本单位,就把词头换成它的因子,然后化简。例子:把 $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ 换成 $\text{N m}^{-2}$:

对像 $\text{mm}^{2}$ 这样的平方单位要格外小心:因子也必须平方。

每一次测量(measurement)都有一些不确定度(uncertainty)——我们从来无法完全确定这个数值。一个好的实验者知道不确定度来自哪里,对它作出合理的估计,并把它一直带到最终答案中。

系统误差和随机误差

系统误差(systematic error)使每个读数都朝同一方向改变相同的量。你无法通过重复测量来发现它。常见原因:

• 零点误差(zero error,当真值为零时刻度不指零)
• 校准(calibration)误差(刻度本身就是错的)
• 视差(parallax,你的眼睛总是偏在刻度的一侧)

系统误差使准确度(accuracy)变差,但它不改变精密度(precision)。

随机误差(random error)使读数在真值上下无规律地跳动。原因包括你读刻度时有多仔细、条件在变化,以及仪器(instrument)能显示的最小步长。如果你把测量重复许多次并取平均值(mean,平均数),随机误差会部分相互抵消。

随机误差使精密度变差。但只要重复足够多次,平均值仍可以是准确的。

精密度和准确度

精密度是重复读数彼此有多接近。精密的读数彼此聚得很近。

准确度是一个读数(或若干读数的平均值)与真值有多接近。

一组读数可以是:

• 精密且准确——彼此接近且靠近真值
• 精密但不准确——彼此接近,但偏离真值(存在系统误差)
• 准确但不精密——分散,但平均值靠近真值
• 两者都不是——分散且偏离真值

当题目给出一张重复读数的表格时,分别看分散程度(精密度)和平均值(准确度)。

导出量的不确定度

一个测量常写成 $x \pm \Delta x$。这里 $\Delta x$ 是绝对不确定度(absolute uncertainty)。百分比不确定度(percentage uncertainty)是

导出量(derived quantity)是你从测得的值算出来的量。它的不确定度由几条简单规则求得:

• 相加或相减——把绝对不确定度相加。若 $y = a + b$ 或 $y = a - b$,则 $\Delta y = \Delta a + \Delta b$。
• 相乘或相除——把百分比不确定度相加。若 $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$,则
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• 乘方——把百分比不确定度乘以那个幂。若 $y = a^{n}$,则 $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$。

例题。 一个球的直径(diameter)测得为 $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$。球的体积(volume)是 $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$,所以 $V \propto d^{3}$($V$ 与 $d$ 的立方成正比)。

$d$ 的百分比不确定度是

因为 $V \propto d^{3}$,$V$ 的百分比不确定度是它的三倍,约为 $1.14\%$。体积是 $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$。所以绝对不确定度是 $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$。最终答案是 $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$。

有效数字

当你写下一个计算出的量时,给它与你所用的最不精密的测量相同数目的有效数字(significant figures)——在本大纲中通常是两位或三位。有效数字太多会让答案看起来比实际更精确。太少则丢失有用的信息。

标量(scalar)只有大小。矢量(vector)既有大小又有方向。

大纲中的例子:

• 标量:质量、时间、温度、能量、功、功率、距离、速率、压强、密度(density)、电荷(electric charge)
• 矢量:位移(displacement)、速度、加速度、力(包括重力)、动量(momentum)

快速判断:如果问"朝哪个方向?"是有意义的,那么这个量就是矢量。你不能问"温度朝哪个方向?",所以温度是标量。你可以问"速度朝哪个方向?",所以速度是矢量。

矢量的相加与相减

矢量画成一个箭头:箭头的方向给出该量的方向,箭头的长度(按比例画)给出它的大小。

要把两个共面(coplanar,在同一平面内)的矢量相加,把它们首尾相接地画。合矢量(resultant)从第一个箭头的尾指向第二个箭头的头。

要求 $\vec{X} - \vec{Y}$,就加上 $\vec{Y}$ 的反向:$\vec{X} + (-\vec{Y})$。$\vec{Y}$ 的反向与 $\vec{Y}$ 大小相同但指向相反。

如果两个矢量成直角(90°),合矢量的大小是

它的方向由 $\tan\theta = Y / X$ 得到。

例题。 一名游泳者以 $1.2\ \text{m s}^{-1}$ 朝北横渡一条向东流、流速 $0.5\ \text{m s}^{-1}$ 的河。求合速度的大小和方向。

这两个速度互相垂直,所以

方向为 $\tan\theta = 0.5/1.2$,得 $\theta \approx 23°$,即北偏东。

如果两个矢量大小都为 $F$、它们之间夹角为 $2\alpha$,合矢量大小为 $2F\cos\alpha$,并沿着把这个夹角平分的那条线。

把矢量分解为互相垂直的部分

任何矢量都能分解成两个垂直(perpendicular,成直角)的分量(components)。通常这两个是水平(horizontal)和竖直(vertical),或沿着与横过某个表面。对于与水平方向成 $\theta$ 角的矢量 $\vec{v}$:

选择能让问题最简单的方向。在斜坡(斜面(inclined plane))上,把重力分解成沿斜坡的一部分和与斜坡成直角的一部分:

其中 $\theta$ 是斜坡与水平方向的夹角。

每当你需要知道一个矢量有多少作用在某个方向上时,就把它分解为分量。例如:一个力沿斜坡作用的那部分,或者一个球被抛出后速度的水平与竖直部分。

• 给每个答案都写上单位,并检查量纲一致性——方程两边必须有相同的基本单位。
• 区分随机误差(靠重复和取平均来减小)和系统误差(重复无法消除的零点或校准误差)。
• 合成不确定度:相加/相减时把绝对不确定度相加,相乘/相除时把百分比不确定度相加(并把百分比乘以任何幂)。
• 区分精密度(分散小)和准确度(接近真值)。
• 把一个矢量分解为互相垂直的分量($F\cos\theta$、$F\sin\theta$);用首尾相接或用分量来把矢量相加。

这五个物理量几乎在每一道运动学(kinematics)题里都会出现。要记住准确的用词——考官是按精确表述给分的。

• 距离(distance)——走过的路径的总长度。是一个标量(scalar)。
• 位移(displacement)——从起点到终点的直线距离,带方向。是一个矢量(vector)。
• 速率(speed)——距离对时间的变化率。是标量。
• 速度(velocity)——位移对时间的变化率。是矢量。
• 加速度(acceleration)——速度对时间的变化率。是矢量。

速率和速度的单位是 $\text{m s}^{-1}$;加速度的单位是 $\text{m s}^{-2}$。

一个常见错误:减速度(deceleration)只是指方向与速度相反的加速度,它并不是一个单独的物理量。

很多分数都来自读图或画运动图像。有两种图很重要。

位移-时间图

位移-时间图上某点的斜率(gradient,陡峭程度)给出该时刻的速度。

• 水平线 → 物体静止。
• 倾斜的直线 → 匀速(斜率 = 速度)。
• 曲线 → 速度在变化。在该点画一条切线(tangent),求它的斜率。

速度-时间图

速度-时间图的斜率给出该时刻的加速度。

线与时间轴之间的面积(area)给出那段时间内的位移。

• 水平线 → 匀速(加速度为零)。
• 倾斜的直线 → 匀加速(uniform acceleration,加速度恒定)。
• 曲线 → 加速度在变化。
• 时间轴上方的面积是正位移;下方的面积是负的(物体向后运动)。

要求位移,就把面积分成若干三角形和矩形,或者数网格方块。三角形面积是 $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$;矩形面积是 $\text{base} \times \text{height}$。

对于沿直线做匀加速的运动,我们用五个符号:初速度 $u$、末速度 $v$、加速度 $a$、位移 $s$ 和时间 $t$。四个方程把它们联系起来:

每个方程用到五个符号中的四个。要选对方程:写下你已知的和你想求的,然后选恰好含这四个符号的那个方程。

例题。 一辆汽车在 $56\ \text{m}$ 的距离内从 $8\ \text{m s}^{-1}$ 匀加速到 $20\ \text{m s}^{-1}$。求它的加速度。

我们已知 $u$、$v$ 和 $s$,要求 $a$,所以用 $v^{2} = u^{2} + 2as$:

SUVAT 方程从何而来

你应该能从速度和加速度的定义推出这些方程:

• $v = u + at$ 来自 $a = (v - u)/t$,即直线的斜率。
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$ 是线下方的面积——一个梯形(trapezium),平行边为 $u$ 和 $v$,宽为 $t$。
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$ 来自把 $v = u + at$ 代入面积。
• $v^{2} = u^{2} + 2as$ 来自从前两个方程中消去 $t$。

如果题目问"哪个方程只用速度-时间图的斜率就能求出?",答案是 $v = u + at$(斜率就是加速度)。

选定一个正方向

一开始就选定一个正方向并保持不变。任何指向相反方向的量都要带负号。对于竖直上抛的球,若取"向上"为正:$u$ 为正,$a = -g$(重力(gravity)向下拉),而在最高点位移为正但速度为零。

当空气阻力(air resistance)可以忽略时,做自由落体(free fall)的物体有一个向下的恒定加速度 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$。这个值对每一个质量都相同。

对于从静止释放、下落距离为 $h$ 的球:

对于以速度 $u$ 竖直上抛的球:

• 最大高度:在 $v^{2} = u^{2} - 2gh$ 中令 $v = 0$,得 $h = u^{2}/(2g)$。
• 到达顶点的时间:在 $v = u - gt$ 中令 $v = 0$,得 $t = u/g$。
• 落回起始高度的总时间:$2u/g$(运动是对称的(symmetric))。

例题。 一个球以 $20\ \text{m s}^{-1}$ 竖直上抛。求它能达到的最大高度(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

在最高点 $v = 0$,所以由 $h = u^{2}/(2g)$:

测量 $g$ 的实验

一个常用方法:让物体从静止下落,然后测出它下落的距离 $h$ 和所用的时间 $t$。于是

对几个不同的高度重复实验,并作 $h$ 对 $t^{2}$ 的图。最佳直线的斜率是 $g/2$,所以 $g$ 是斜率的两倍。重复实验能减小随机误差(random error)。用电子计时器——借助光电门(light gates),或用球撞击的开关——可以消除反应时间(reaction-time)误差。

当一个物体在一个方向(比如水平(horizontal))上匀速运动,同时在与之垂直的方向(比如竖直(vertical),受重力作用)上加速时,这两个方向的运动互不影响。把每个方向单独处理,各用各的 SUVAT 方程。

水平抛出

一个以速度 $u_{\text{H}}$ 从高度 $h$ 水平抛出的物体,忽略空气阻力:

• 水平方向:匀速 $u_{\text{H}}$。经过时间 $t$ 后,水平距离为 $x = u_{\text{H}} t$。
• 竖直方向:从静止开始,以 $g$ 向下加速。经过时间 $t$ 后,已下落 $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$,竖直速度为 $v_{\text{V}} = g t$。

落地所需的时间只取决于高度 $h$,与 $u_{\text{H}}$ 无关。解 $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ 求出 $t$;那么水平射程(range)就是 $u_{\text{H}} t$。

例题。 一个球从 $20\ \text{m}$ 高的悬崖顶以 $15\ \text{m s}^{-1}$ 水平抛出。求它落地所需的时间,以及落地点离崖底的距离(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

竖直方向的运动给出时间:由 $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

再由水平方向的运动给出射程:$x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

水平速度图是一条在 $u_{\text{H}}$ 处的水平线。竖直速度图是从原点出发、斜率为 $g$ 的直线。

有角度的抛体

一个以速度 $u$、与水平方向成 $\theta$ 角向上抛出的抛体(projectile):

• 初速度的水平分量(component):$u_{\text{H}} = u \cos\theta$(在飞行过程中保持不变)。
• 初速度的竖直分量:$u_{\text{V}} = u \sin\theta$(逐渐变小,在顶点变为零,然后向下增大)。

在最高点,$v_{\text{V}} = 0$,但 $v_{\text{H}}$ 仍是 $u\cos\theta$。到达顶点的时间是 $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$;总飞行时间(回到起始高度)是 $2t_{\text{up}}$。

弹跳的球

当一个球弹跳时,它的速度-时间图是一组倾斜的直线段(恒定的 $g$),在每次弹跳处有一个突然的跳变(速度方向反转,若损失了一些能量(energy)则变小)。把各次弹跳的时间和距离加起来。

当两个物体沿同一条直线以不同方式运动时,分别给每个物体写一个位移方程。用相同的起始时间和相同的正方向。然后令两个位移相等(或令它们的差等于给定的间距)。

对于一列以恒定速度 $u_{\text{G}}$ 行驶的货运列车和一列从静止以加速度 $a$ 出发的特快列车,若两者都在 $t = 0$ 时经过同一点:

当 $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$ 时它们再次并排,得 $t = 2 u_{\text{G}} / a$。

1. 画一张图,并标出正方向。
2. 列出 SUVAT 符号及其已知与未知的值,包括正负号。
3. 选择 SUVAT 方程,使它恰好含有你已知的四个符号加上你要求的那个。
4. 对于抛体运动,拆成水平和竖直两个 SUVAT 问题,二者仅通过时间 $t$ 相联系。
5. 始终检查答案的单位,以及数值大小是否合理。

• 只对恒定加速度使用 SUVAT 方程;列出 $s, u, v, a, t$,选出缺少你未知量的那个方程。
• 选定一个方向为正,并保持正负号一致(通常 $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$)。
• 在速度-时间图上,斜率 $=$ 加速度,面积 $=$ 位移。
• 对于抛体,把水平(匀速)和竖直($a = g$)的运动分开处理,用相同的时间联系二者。

质量

质量(mass)告诉你改变一个物体的运动有多难。质量越大,要给它某个加速度(acceleration)所需的力(force)就越大。质量以千克($\text{kg}$)为单位,是一个标量(scalar)。

动量

线动量(linear momentum)是质量与速度的乘积:

动量是一个矢量(vector)——它与速度(velocity)指向同一方向。它的单位是 $\text{kg m s}^{-1}$,和 $\text{N s}$ 相同。

力是动量的变化率

牛顿第二定律的一般形式:物体所受的合力(resultant force)等于它动量的变化率。

当质量恒定时,这变成 $F = ma$,因为 $\Delta p = m\,\Delta v$ 且 $\Delta v / \Delta t = a$。剑桥的题目常常要你在碰撞(collision)或冲量(impulse)问题中直接用 $F = \Delta p / \Delta t$:平均力等于动量的变化除以接触时间。

一个球以动量 $p_{1}$ 撞墙,又以相反方向的动量 $p_{2}$ 弹回。动量的变化是 $\Delta p = p_{2} - p_{1}$(给每个方向正确的正负号)。平均力是 $\Delta p / \Delta t$,其中 $\Delta t$ 是接触时间。

例题。 一个 $0.20\ \text{kg}$ 的球以 $8.0\ \text{m s}^{-1}$ 撞墙,又直接以 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 弹回。接触持续 $0.050\ \text{s}$。求球所受的平均力。

取弹回方向为正,所以 $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$、$v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

当你知道动量但不知道速率时,动能(kinetic energy)的变化是

这来自 $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$。

第一定律

一个物体保持静止,或沿直线以匀速继续运动,除非有一个合外力(external force)作用在它上面。简言之:合力为零就意味着加速度为零。

第二定律

物体所受的合力等于它动量的变化率,并且作用方向与那个变化相同。用 SI 单位,

加速度与合力总是指向同一方向。

第三定律

当物体 A 推物体 B 时,物体 B 以一个等大反向的力回推物体 A。这两个力:

• 作用在不同的物体上,
• 是同一类型的(都是引力、都是接触力、都是静电(electrostatic)力,等等),
• 大小相同、方向相反。

一个常见陷阱:桌上一个物块的重力(weight)和桌子给的支持力(normal contact force)不是一对第三定律力(它们作用在同一物体上,而且类型不同)。物块重力的第三定律配对力,是物块对地球的吸引。桌子接触力的第三定律配对力,是物块对桌子的推力。

对于火箭:作用在火箭上的推力(thrust)和作用在气体上的力是一对第三定律力(发动机把气体往下推,气体把发动机往上推)。重力和空气阻力不属于这一对。

重力(weight)是重力场(gravitational field)对物体施加的力。在地球表面附近,

其中 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ 是自由落体加速度。重力是一个指向地心的矢量。不要把它和质量搞混:质量处处相同,但重力随地点变化。

摩擦力和阻力

两个固体表面之间的摩擦力(friction)沿表面作用,阻碍滑动。黏性(viscous)力或阻力(drag)是流体(fluid,液体或气体)对在其中运动的物体的阻碍力;对空气而言就是空气阻力。你不需要用任何摩擦或黏性系数(coefficient)。

一个简单模型:速率越大,阻力越大。速率为零时,阻力为零。

一个穿过空气下落的物体

对于从静止释放、穿过空气下落的物体:

1. 起初只有重力作用,所以物体以 $g$ 向下加速。
2. 随着速率增大,向上的阻力增大。合力变小,所以加速度变小。
3. 最终,阻力等于重力。合力为零,加速度为零,速率保持恒定——收尾速度(terminal velocity)。

在速度-时间图上,线起初是斜率为 $g$ 的直线,然后弯曲并在收尾速度处变平。这种形状(起步快、加速度渐减、最后匀速)正是"有空气阻力的下落"区别于"真空中自由落体"的地方。

收尾速度下落过程中的能量

在收尾速度时,一名跳伞者(parachutist)的动能恒定。但随着他们下降,重力势能(gravitational potential energy)一直在减少。它去了哪里?几乎全部变成了他们周围空气的热能(thermal energy)。它没有变成跳伞者的动能——那保持不变。

匀速行驶的骑车人或汽车

平路上匀速行驶的车辆合力为零。向前的驱动力与总阻力(摩擦、空气阻力和滚动阻力)等大反向。速率越高,阻力越大,所以驱动力也必须越大——因此功率(power)也必须越大。

原理

对于没有合外力的系统,总动量保持恒定。这就是动量守恒(conservation of momentum)。

只要没有外部合力,它总是成立的——在碰撞、爆炸(explosions)和反冲(recoil)中都是如此。在二维情形下,动量沿每个方向各自守恒。

例题。 一辆 $2.0\ \text{kg}$ 的小车和一辆 $3.0\ \text{kg}$ 的小车被压紧在一个压缩的弹簧两侧,然后从静止释放。$2.0\ \text{kg}$ 的小车以 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 飞出。求另一辆小车的速率。

总动量保持为零(它从静止开始),所以

方向相反。

弹性碰撞与非弹性碰撞

在每一次碰撞中,动量都守恒(只要没有外部合力)。

弹性碰撞(elastic collision)是总动能也守恒的碰撞。一个快速判据:在弹性碰撞中,接近的相对速率(relative speed)等于分离的相对速率。

在非弹性碰撞(inelastic collision)中,动量守恒但动能减少——一部分变成热能、声能或形变(deformation)能。如果两个物体粘在一起,这次碰撞就是完全非弹性的。

解碰撞问题(一维)

对于质量为 $m_{1}, m_{2}$、初速度为 $u_{1}, u_{2}$ 的两个正面(head-on)相撞的物体,写出

用带正负号的速度(在选定的一个方向上为正)。如果碰撞是弹性的,再加上相对速率方程

或者,等价地,$\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$。这给出两个方程解两个未知量。

例题。 一辆 $1500\ \text{kg}$ 的汽车以 $12\ \text{m s}^{-1}$ 运动,撞上一辆静止的 $1000\ \text{kg}$ 的汽车,两者锁在一起。求碰后它们共同的速度。

动量守恒(两车粘在一起,所以 $v_{1} = v_{2} = v$):

一个有用的结论,对于质量 $m$ 与一个静止(stationary)质量 $M$ 的正面弹性碰撞:

二维碰撞

如果物体在二维内运动,把速度分解为垂直(perpendicular)的分量(components),并沿每个方向各自应用动量守恒。对于物体以某角度相撞的碰撞,选一个轴沿第一个物体的运动方向、另一个轴与之垂直。总动量沿每个轴都守恒。

火箭 / 抛出质量

火箭以速度 $u$(相对自身)按质量流率(mass-flow rate)$\dot m$(每秒的千克数)抛出气体。它感受到一个推力

它来自 $F = \Delta p / \Delta t$。每秒给予气体的动量等于作用在火箭上的推力(牛顿第三定律:火箭把气体推向一边,气体把火箭推向另一边)。

• 牛顿第二定律是 $F = \Delta p / \Delta t$(动量的变化率);$F = ma$ 是质量恒定时的特例。
• 正确辨认第三定律的一对力:同一类型的力,作用在两个不同的物体上——不是一个物体上相互平衡的力。
• 在每一次碰撞中动量都守恒;动能只在弹性碰撞中守恒。
• 对于收尾速度,要说明阻力随速率上升,直到阻力 $=$ 重力,于是加速度变为零。

重心

一个大物体的重力(weight)可以看作作用在一个单独的点上,叫作重心(centre of gravity,在均匀重力场中与质心(centre of mass)相同)。对于均匀、规则的形状——矩形、球、均匀杆——重心在正中间。

当你画受力图(free-body diagram)时,总是把重力箭头画在重心处。

力的力矩

一个力对某点的力矩(moment)是

其中 $F$ 是力(force)的大小,$d$ 是从该点到力的作用线(line of action)的垂直距离(perpendicular distance)。单位:$\text{N m}$。

如果力与从支点(pivot)量起、长度为 $r$ 的力臂(lever arm)成 $\theta$ 角,那么 $d = r\sin\theta$,所以 $M = F r\sin\theta$。只有力中垂直(perpendicular)于力臂的那部分才使它转动。

例题。 一个 $50\ \text{N}$ 的力施加在一把 $0.40\ \text{m}$ 长的扳手末端,与扳手成 $30°$ 角。求这个力对螺母的力矩。

一个力矩相对选定的点要么是顺时针(clockwise)的,要么是逆时针(anticlockwise)的。

力偶和力偶矩

力偶(couple)是一对满足下列条件的力:

• 大小相等,
• 方向相反,
• 它们的作用线相隔一段垂直距离。

力偶使物体只转动——它的合力为零,所以不产生直线加速度。

力偶的力偶矩(torque)是它产生的转动效果:

其中 $F$ 是其中一个力的大小,$d$ 是两条作用线之间的垂直距离。单位:$\text{N m}$。力偶矩相对任何点都相同——这是力偶的一个特殊性质。

一个常见的选择题陷阱:两个方向相同的等大的力不是力偶(它们有合力,会引起平动(translation))。力偶需要大小相等并且方向相反。

平衡的条件

一个物体处于平衡(equilibrium)当:

1. 合力(resultant force)为零(无直线加速度),并且
2. 对任何点的合力矩为零(无角加速度(angular acceleration))。

两者都必须成立。一个没有合力的物体仍可能在转动;一个没有合力矩的物体仍可能在做直线运动。

力矩原理

对于一个不转动的物体,对任何一点的总顺时针力矩等于对同一点的总逆时针力矩。这就是力矩原理(principle of moments)。

要解一个平衡问题:

1. 选一个支点——通常选在某个未知力的作用处,使那个力被消去(它的距离为零)。
2. 列出每个力及其到支点的垂直距离。
3. 令 $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$。
4. 如果需要第二个方程,就用 $\sum F = 0$。

一把尺子架在支点上、两侧挂着质量,就是这样求解的。对于一根有重量的均匀杆,记得要把它作用在重心处的重力算进去。

例题。 一根长 $4.0\ \text{m}$ 的均匀横梁在其中心处架起。一个 $40\ \text{N}$ 的重物挂在支点一侧 $1.5\ \text{m}$ 处。在另一侧离支点多远处必须挂一个 $30\ \text{N}$ 的重物才能使横梁平衡?

横梁自身的重力作用在中心(支点)处,所以它没有力矩。令顺时针 $=$ 逆时针力矩:

矢量三角形

同一平面内处于平衡的三个力可以画成一个闭合的矢量三角形(vector triangle)——首尾相接地画,三个箭头回到起点。这是一种画图方法,可以代替分解成分量(components)。

在三角形上用正弦定理(sine rule)或余弦定理(cosine rule)求未知的大小或方向,或者在方格纸上按比例画出三角形。

你也可以把每个力分解成水平(horizontal)和竖直(vertical)分量,并令 $\sum F_{x} = 0$、$\sum F_{y} = 0$。

密度(density)是单位体积的质量:

单位:$\text{kg m}^{-3}$(或 $\text{g cm}^{-3}$;$1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$)。密度是一个标量(scalar)。

一些有用的、要知道的密度:

• 水:$1000\ \text{kg m}^{-3}$
• 室温条件下的空气:$\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• 铁 / 钢:$\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

压强(pressure)是单位面积上的力,其中力垂直作用于表面:

单位:$\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$。压强是一个标量。

流体静压强

取一段流体(fluid)柱,密度为 $\rho$、横截面积(cross-sectional area)为 $A$、高度为 $\Delta h$。它的重力是

这个重力压在底部面积 $A$ 上,所以底部相对顶部多出的压强是

这就是流体静压强(hydrostatic pressure)方程。它只取决于流体的密度和深度(depth)——容器的形状无关紧要。

例题。 求一个 $2.5\ \text{m}$ 深的游泳池底部由于水而多出的压强。(水的密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$,$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。)

对于水面下深度 $h$ 处的潜艇,来自水的压强是 $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$。要得到总压强,再加上水面处的大气压强(atmospheric pressure,约 $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$)。

浮力和阿基米德原理

当一个物体浸没(submerged)在流体中时,物体底部的压强大于顶部的压强(大 $\rho g \Delta h$,其中 $\Delta h$ 是物体的高度)。这个差给出一个净的向上的力,叫作浮力(upthrust)。

对于体积为 $V$(排开(displaced)的流体的体积)的物体,浮力是

这就是阿基米德原理(Archimedes' principle):流体中物体所受的浮力等于它排开的流体的重力。

例题。 一个体积为 $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^3$ 的金属块完全浸没在水中。求它所受的浮力。(水的密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$,$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。)

对于完全浸没的物体,$V$ 是它的全部体积。对于漂浮(floating)的物体,$V$ 只是水面以下的体积——当水面以下部分所受的浮力等于它的重力时,物体就漂浮。

有浮力时的力平衡

一个用绑在容器底部的绳拴在水下的物块,在三个竖直力的作用下处于平衡:重力(向下)、张力(tension,向下)、浮力(向上)。令 $F_{\text{upthrust}} = W + T$ 来求张力。

一个浸没的物块挂在弹簧测力计(newton meter)上,读数比它在空气中的重力小,这是由于浮力:读数 $= W - F_{\text{upthrust}}$。

浮力取决于流体密度和排开的体积,而不取决于物体的材料或深度(对于不可压缩(incompressible)流体)。在一个 $g$ 较小的行星上,浮力按与重力相同的比例减小,所以一个漂浮的物体仍以相同比例的部分浸在水面以下漂浮。

• 对选定的支点取力矩;对于平衡,总顺时针 $=$ 总逆时针力矩,并且合力为零。
• 一个在三个力作用下平衡的物体给出一个闭合的力三角形。
• 流体压强 $= \rho g h$;浮力 $=$ 排开流体的重力(阿基米德)。
• 区分质量、重力和密度,每次都写出各自的基本单位。

力所做的功

当一个力使它的接触点沿力的方向移动时,就做了功(work)。一个恒力 $F$ 引起位移(displacement)$s$ 所做的功是

其中 $\theta$ 是力与位移之间的夹角。只有力中沿位移方向的分量(component)才做功。

例题。 一个孩子用一根绳把雪橇在雪地上拉了 $5.0\ \text{m}$,用力 $20\ \text{N}$,与地面成 $60°$ 角。求绳所做的功。

单位:$\text{J} = \text{N m}$。功是一个标量(scalar)。

特殊情形:

• 力与运动同方向($\theta = 0$):$W = Fs$,正功,能量给予物体。
• 力与运动成直角($\theta = 90°$):$W = 0$。平路上汽车所受的支持力(normal contact force)不做功。
• 力与运动相反($\theta = 180°$):$W = -Fs$,负功,能量从物体中取走(例如摩擦力(friction))。

对于一个沿与水平(horizontal)成 $\alpha$ 角的斜坡向上运动的物体,上升高度 $h$ 时克服重力所做的功是 $mgh$,而沿斜坡长度 $L$ 的水平推力所做的功要用 $\cos\alpha$。

能量守恒

能量既不能创生也不能消灭——它只能从一种形式变成另一种,或从一个物体转移到另一个物体。在封闭系统(closed system)中,总能量保持恒定。这就是能量守恒(conservation of energy)。

当你写一个能量方程时,列出能量开始时和结束时的每一种形式。本大纲中的常见形式:动能、重力势能、弹性势能(elastic potential energy)、电能(electrical)、热能、声能、化学能(chemical energy)。

一个球沿无摩擦(frictionless)斜坡(ramp)向下滚,把重力势能(gravitational potential energy)变成动能(kinetic energy):$mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$,所以 $v = \sqrt{2gh}$。有摩擦时,这些能量的一部分变成斜坡和空气的热能(thermal energy)。

例题。 一个球从 $1.2\ \text{m}$ 高的光滑斜坡顶从静止释放。求它在底部的速率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

所有重力势能都变成动能,所以 $v = \sqrt{2gh}$(质量约去):

效率

一个系统的效率(efficiency)是

用功率表达的同样想法:

在真实系统中效率总是小于 100%,因为一部分输入能量变成了"无用的"形式——通常是热能。

对于一个以效率 $\eta$、在电压(voltage)$V$ 和电流(current)$I$ 下提升负载的电动机,有用输出功率是 $\eta V I$。由此你可以求出一个力、一个提升速率或一个张力(tension)。

例题。 一台电动机以稳定的 $0.40\ \text{m s}^{-1}$ 提升一个 $50\ \text{kg}$ 的负载,同时消耗 $250\ \text{W}$ 的电功率。求它的效率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

有用输出功率是 $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$,所以

功率(power)是做功的速率,或转移能量的速率:

单位:$\text{W} = \text{J s}^{-1}$。功率是一个标量。

功率、力和速度

对于一个以速度(velocity)$v$ 运动、受一个沿运动方向的力 $F$ 的物体,在短时间 $\Delta t$ 内位移是 $v\,\Delta t$,所做的功是 $F v\,\Delta t$。除以 $\Delta t$:

这是力学中最有用的结论之一。

例题。 一辆汽车以稳定的 $25\ \text{m s}^{-1}$ 行驶,克服 $600\ \text{N}$ 的总阻力。求它发动机的输出功率。

在匀速时驱动力等于阻力,所以

• 对于平路上以匀速 $v$ 行驶的汽车,发动机功率必须平衡总阻力:$P = F_{\text{resist}} \cdot v$。如果阻力(drag)随 $v^{2}$ 增大,速率翻倍大约使所需功率变为四倍。
• 对于以匀速 $v$ 竖直向上提升一个重力(weight)$mg$,有用输出功率是 $P = mg \cdot v$。
• 对于在固定高度悬停的飞机,升力等于重力,并且需要很大的功率,因为必须一直把空气往下推。

在均匀重力场中(靠近行星表面),质量(mass)$m$ 上升或下落高度 $\Delta h$ 时重力势能的变化是

它从何而来

缓慢地(动能不变)把质量 $m$ 提升高度 $\Delta h$ 时克服重力所做的功等于获得的重力势能:

• 质量所受的重力是 $mg$ 向下,
• 缓慢提升它所需的力是 $mg$ 向上,
• 这个力所做的功是 $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• 这个功变成 $\Delta E_{\text{P}}$。

所以 $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$。要用它你需要 $m$ 和 $\Delta h$(以及 $g$)。你不需要速率或时间。

一个质量为 $m$、以速率 $v$ 运动的物体的动能是

它从何而来

对一个从静止开始的质量 $m$ 施加一个合力 $F$。它在位移 $s$ 内从 $0$ 均匀加速到 $v$。由 $v^{2} = u^{2} + 2as$ 且 $u = 0$,

对质量所做的功是

所有这些功都变成动能,所以 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$。

动能和动量

联立 $p = mv$ 和 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

当给出动量(momentum)而不是速度时,这很方便。对于质量恒定、动量从 $p_{1}$ 变到 $p_{2}$ 的情形,动能的变化是 $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$。

一个用于混合了力和能量的问题的有用方案:

1. 找出开始和结束状态。 写出每个状态下的动能和势能。
2. 列出外力所做的任何功(摩擦、一个推力)。摩擦通常取走能量;推力可以增加能量。
3. 能量守恒:$E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$。

例子:

• 一个箱子以匀速沿长度为 $L$、上升 $h$ 的斜坡被推动:$E_{\text{K}}$ 不变,所以推力所做的功变成 $\Delta E_{\text{P}}$ 加上克服摩擦所做的功。
• 一个物块在无摩擦表面上带着动能 $E_{\text{K}}$ 滑入一个弹簧(spring):在最大压缩(compression)$x$ 时,所有动能都变成了弹性势能 $\tfrac{1}{2} k x^{2}$(其中 $k$ 是劲度系数(spring constant))。
• 一个球从高度 $h_{1}$ 落下、弹到高度 $h_{2}$:比值 $h_{2}/h_{1}$ 是保留下来的机械能的比例,$h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$。
• 一个以不同角度抛到相同高度的抛体(projectile):末速率相同(只有高度才重要);用分量求它的方向。

• 功 $=$ 力 $\times$ 沿力方向移动的距离——当它们成角度时用 $Fs\cos\theta$。
• 用能量守恒:重力势能的减少 $=$ 动能的增加($+$ 克服阻力所做的功)。
• 功率 $=$ 功 $/$ 时间 $= Fv$;效率 $=$ 有用输出 $\div$ 总输入。
• 重力势能用获得的竖直高度,而不是沿斜坡的距离。

当一个力沿固体的长度方向作用时,物体会改变形状(形变(deformation))。两种情形(这里当作一维处理):

• 拉伸(tensile)力使物体伸长——产生一个伸长量(extension)$x$,
• 压缩(compressive)力挤压物体——产生一个压缩(compression),当作负的伸长量。

施加的力是负载(load)。相对自然长度的改变就是伸长量(或压缩量)。

对于许多材料在小伸长量下,伸长量与负载成正比——这就是胡克定律(Hooke's law)。把它们联系起来的常数是劲度系数(spring constant)$k$:

$k$ 的单位:$\text{N m}^{-1}$。

例题。 当挂上一个 $2.0\ \text{N}$ 的负载时,一根弹簧伸长了 $4.0\ \text{cm}$。求它的劲度系数。

把伸长量换成米($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

读图:

• 力-伸长量($F$ 对 $x$)图在胡克定律区域内的斜率是 $k$。
• 伸长量-力($x$ 对 $F$)图在胡克定律区域内的斜率是 $1/k$。

一个常见陷阱:如果一张图画的是长度 $L$ 对力,你仍能从斜率求出劲度系数(因为 $L = L_{0} + F/k$,斜率是 $1/k$——要仔细读出它)。

比例极限

胡克定律只在比例极限(limit of proportionality)之前成立。过了这一点,$F$ 对 $x$ 的线弯曲,不再是直的。材料可能再往前一点仍是弹性的(elastic,去掉负载后回到它最初的长度),然后变成塑性的(plastic)。

串联和并联的弹簧

你可能需要合成劲度系数:

• 串联(series,一根弹簧挂在另一根下面):相同的负载穿过两根,总伸长量是两者之和,所以 $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$。
• 并联(parallel,两根弹簧并排挂同一个负载):每根承担一半负载(若它们相同),伸长量相等,所以 $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$。

对于承受拉伸负载、横截面均匀的金属丝:

• 应力(stress)$\sigma = \dfrac{F}{A}$,其中 $F$ 是负载,$A$ 是横截面积(cross-sectional area)。单位:$\text{Pa}$。
• 应变(strain)$\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$,其中 $x$ 是伸长量,$L_{0}$ 是原长。应变没有单位(它是两个长度的比值)。

杨氏模量(Young modulus)是胡克定律区域内应力与应变之比:

单位:$\text{Pa}$(金属约为 $10^{11}$;例如钢 $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa)。

例题。 一根长 $2.0\ \text{m}$、横截面积 $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^2$ 的钢丝在 $15\ \text{N}$ 的负载下伸长 $1.0\ \text{mm}$。求杨氏模量。

杨氏模量是材料的一个性质——它不取决于金属丝的形状或大小。劲度系数 $k$ 既取决于材料又取决于大小:$k = EA/L_{0}$。

测量金属丝杨氏模量的实验

一个标准装置:

1. 把一根又长又细的金属丝的一端夹在固定支架上。让金属丝越过桌边的一个滑轮(pulley),使它竖直下垂。
2. 用米尺测量夹子与滑轮附近一个标记之间的原长 $L_{0}$。
3. 用螺旋测微器(micrometer)在几处测量金属丝的直径(diameter)$d$ 并取平均。算出 $A = \pi d^{2}/4$。
4. 一次挂一个砝码。记录负载 $F$ 和伸长量 $x$(标记相对固定刻度移动了多远)。
5. 作 $F$ 对 $x$ 的图。在直线区域斜率是 $EA/L_{0}$,所以 $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$。

为什么用又长又细的金属丝?为了使伸长量大到便于精确测量。为什么重复读数并在几处测 $d$?为了减小随机误差(random error)并检查金属丝是否均匀。

随着负载增大:

1. 弹性且直(遵守胡克定律)——直到比例极限。去掉负载使物体回到它最初的长度。
2. 弹性但弯曲——在比例极限和弹性极限(elastic limit)之间。伸长量对负载不再是直的,但卸载时物体仍回到它最初的长度。
3. 塑性——过了弹性极限。卸载时,物体不回到它最初的长度;留下一个永久伸长。

胡克定律只在直的、弹性的区域内成立。

在一张被拉入塑性区然后卸载的材料的力-伸长量图上,加载线和卸载线是不同的。卸载线与最初的胡克线平行,但向右移动了(负载回到零时留下的永久伸长)。加载线和卸载线之间的面积是在材料中变成热能(thermal energy)的能量。

把一个材料从 $0$ 拉伸到伸长量 $x$、负载从 $0$ 增大到 $F$ 时所做的功,是力-伸长量图线下方的面积。

遵守胡克定律的材料

当胡克定律成立时,$F$ 对 $x$ 的图是过原点的直线。它从 $0$ 到 $x$ 下方的面积是一个三角形:

这是储存在弹簧或金属丝中(在其比例极限内拉伸)的弹性势能(elastic potential energy)。一个等价形式:

例题。 一根劲度系数为 $50\ \text{N m}^{-1}$ 的弹簧在其比例极限内被拉伸 $0.20\ \text{m}$。求储存的弹性势能。

不遵守胡克定律的材料

对于一张不是直线的图(一条被拉伸的橡皮筋,或过了比例极限的弹簧),用数网格方块或用梯形(trapezia)来求面积。同样的想法成立:力-伸长量图线下方的面积是对材料所做的功。

比较储存的能量

一个常见的选择题情形:两个材料被相同的力拉伸,或被相同的伸长量拉伸。用 $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:

• 相同的 $F$,较小的 $k$(不那么硬)→ 较大的 $x$ → 储存更多能量。
• 相同的 $x$,较大的 $k$(更硬)→ 较大的 $F$ → 储存更多能量。

当一根被拉伸的弹簧被释放到一个质量上时,弹性势能变成动能(kinetic energy)(如果质量上升还有重力势能)。令 $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ 等于 $\tfrac{1}{2} m v^{2}$(加上任何 $mgh$)来求速率或高度。

• **胡克定律($F = kx$)**只在比例极限之前成立。
• 应力 $= F/A$,应变 $= x/L$,杨氏模量 $=$ 应力$/$应变(应力-应变图直线部分的斜率)——注意单位(Pa)。
• 储存的能量 $=$ 力-伸长量图线下方的面积 $=$ 弹性区域内的 $\frac{1}{2}Fx$。
• 区分弹性(恢复形状)和塑性(永久)形变。

波(wave)把能量(energy)从一个地方带到另一个地方,而整体上不移动物质。介质(medium)的粒子绕固定的平衡位置振动(oscillate);只有扰动(及其能量)在传播(propagate)。例子:绳上的横波(transverse wave)、弹簧上的纵波(longitudinal wave)、水面上的波纹,以及空气中的声音。传播并携带能量的波是行波(progressive wave)。

关键术语

• 位移(displacement)$y$——某一时刻一个粒子离开它平衡位置的距离。是一个矢量(vector)。
• 振幅(amplitude)$A$——离开平衡位置的最大位移。
• 波长(wavelength)$\lambda$——沿波在两个同相(in phase)运动的点之间(例如两个相邻的波峰(crests))的最短距离。
• 周期(period)$T$——一个粒子完成一次完整振动所用的时间。
• 频率(frequency)$f$——每秒完整振动的次数;$f = 1/T$。单位:赫兹(hertz),$\text{Hz}$。
• 速率(speed)$v$——波峰沿介质传播的快慢。
• 相位差(phase difference)——一个振动比另一个超前或滞后的那一部分周期。以弧度(radians,一个完整周期是 $2\pi$)或度(一个完整周期是 $360°$)给出。

相隔一个波长的两点同相(相位差 0 或 $2\pi$)。相隔半个波长的两点恰好反相(相位差 $\pi$)。

波动方程

在一个周期 $T$ 内,波向前移动一个波长 $\lambda$。所以速率 $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:

这直接来自速率、频率和波长的定义,对每一个行波都成立。

读示波器图线

阴极射线示波器(cathode-ray oscilloscope,CRO)把一个电压信号——对声音而言,就是麦克风的输出——对时间画出来。有两个旋钮很重要:

• 时基(time-base,横向每格的秒数):把屏幕上的水平距离转换成时间。把周期 $T$ 读作两个相邻峰之间的距离,然后 $f = 1/T$。
• 垂直增益(y-gain,竖向每格的伏数):把竖直距离转换成电压。以伏为单位的振幅是从中线量起的峰高。

如果时基是 $5\ \text{ms}/\text{div}$,而一个完整周期占 $4$ 格,那么 $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$,$f = 50\ \text{Hz}$。

波的强度

波携带能量。某点的强度(intensity)是垂直于传播方向穿过单位面积的功率(power):

单位:$\text{W m}^{-2}$。

强度与振幅的平方成正比:

对于一个向各方向均匀发出能量的点源(point source),波前(wavefronts)是球面;距离 $r$ 处的表面积是 $4\pi r^{2}$,所以

距离翻倍使强度变为四分之一,这意味着振幅减半(因为 $I \propto A^{2}$)。

例题。 一盏灯向各方向均匀发出 $60\ \text{W}$ 的光。求 $2.0\ \text{m}$ 外光的强度。

横波

粒子在与能量传播方向垂直(perpendicular)的方向上振动。绳上的波、所有电磁波,以及地球中的 S 波都是横波。

纵波

粒子在与能量传播方向平行的方向上振动。任何介质中的声音、地球中的 P 波,以及弹簧上的挤压都是纵波。这种波由压缩(compressions,压强较高,粒子靠得近)和稀疏(rarefactions,压强较低,粒子散得开)构成。

波的图像

某一时刻粒子位移对位置的图,对两种波来说看起来都像一条正弦曲线(sine curve)。区别在于:对横波,位移轴是真正的横向位移;对纵波,它是沿传播方向的小幅前后位移(一个方向为正,另一个为负)。

某一空间点上粒子位移对时间的图对两种波来说也是一条正弦曲线。从这张图读出周期 $T$。

当声音的波源(source)相对一个静止(stationary)的观察者(observer)运动时,听到的频率与波源频率不同。这就是多普勒效应(Doppler effect)。

• 波源朝观察者运动:前方的波前被挤压,所以波长较短,听到的频率较高。
• 波源远离观察者运动:后方的波前被拉开,所以波长较长,听到的频率较低。

公式(波源以速率 $v_{\text{s}}$ 沿到观察者的连线运动;波速 $v$,波源频率 $f_{\text{s}}$,听到的频率 $f_{\text{o}}$):

选择符号来符合物理:

• 波源朝观察者运动时,分母取减号($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• 波源远离时取加号($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$)。

你只需要静止观察者的情形。

例题。 一个 $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ 的汽车喇叭以 $30\ \text{m s}^{-1}$ 朝一个静止的听者运动。声速 $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:

所有电磁波(electromagnetic waves,EM 波)都是横波,并在真空(vacuum)中以相同的速率传播:

电磁波谱(electromagnetic spectrum)包括无线电波、微波(microwaves)、红外线(infrared)、可见光、紫外线(ultraviolet)、X 射线(X-rays)和 $\gamma$ 射线(γ-rays)。

自由空间中的大致波长范围(记住数量级):

• 无线电波:$> 10^{-1}\ \text{m}$(可达许多千米)。
• 微波:$10^{-3}\ \text{m}$ 到 $10^{-1}\ \text{m}$。
• 红外线:$\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 到 $10^{-3}\ \text{m}$。
• 可见光:$400\ \text{nm}$(紫)到 $700\ \text{nm}$(红),即 $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 到 $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$。
• 紫外线:$\sim 10^{-8}\ \text{m}$ 到 $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$。
• X 射线:$\sim 10^{-11}\ \text{m}$ 到 $10^{-8}\ \text{m}$。
• $\gamma$ 射线:$< 10^{-11}\ \text{m}$。

各区域之间的边界并不清晰。用 $c = f\lambda$ 在波长和频率之间换算。只有波长 $400$–$700\ \text{nm}$ 的光才能被看见。

偏振(polarisation)是指使一个横波只在一个平面内振动。

• 只有横波能被偏振——振动垂直于传播方向,所以不同的垂直平面是真实的选择。
• 纵波(声音)不能被偏振——振动沿传播方向,所以没有其他平面。

所以偏振是一个判据:如果一个波能被偏振,它一定是横波。

马吕斯定律

强度为 $I_{0}$ 的平面偏振(plane-polarised)光穿过一个偏振片(polarising filter),其透光轴(transmission axis)与偏振面成 $\theta$ 角。透过的强度由马吕斯定律(Malus's law)给出:

• $\theta = 0°$:偏振片与偏振方向对齐,$I = I_{0}$,全部透过。
• $\theta = 90°$:偏振片成直角,$I = 0$,全部被挡住。
• $\theta = 60°$:$I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$。

例题。 强度为 $12\ \text{W m}^{-2}$ 的平面偏振光遇到一个透光轴与偏振面成 $30°$ 角的偏振片。求透过的强度。

对于一排两个偏振片,用马吕斯定律两次,每次用两片之间的夹角。每次都要小心角度——过了第一个偏振片后,偏振沿那个偏振片的轴,第二个偏振片的角度从那里量起。

(你不需要算出偏振片对一个未偏振波的作用。)

• 精确地定义术语(位移、振幅、波长、周期、频率)并用 $v = f\lambda$。
• 区分横波(振动垂直于传播)和纵波(平行);只有横波能被偏振。
• 对于多普勒效应,波源接近时观察到的频率上升,远离时下降。
• 记住电磁波谱的顺序;它的所有波在真空中都以 $c$ 传播。

当两个或更多的波(wave)在某点重叠时,那里的位移(displacement)是每个波单独产生的位移的矢量和(vector sum)。这就是叠加(superposition)原理。

波彼此穿过后原封不动地出来。叠加是本主题一切内容的基础。

如果两个振幅(amplitude)为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 的波相遇:

• 同相(in phase,波峰(crest)遇波峰):振幅是 $A_{1} + A_{2}$(相长干涉(constructive interference))。
• 恰好反相(波峰遇波谷(trough),相位差(phase difference)$\pi$):振幅是 $|A_{1} - A_{2}|$(相消干涉(destructive interference))。
• 任何其他相位差 $\phi$:振幅介于这两者之间。

对于强度(intensity),$I \propto A^{2}$。两个相等的波同相相遇给出强度 $(2A)^{2} = 4A^{2}$——是单个波强度的四倍。

当两个相同的行波(progressive waves)沿相反方向传播并重叠时,它们形成一个驻波(stationary wave)。例子:一根弦上从固定端反射(reflected)的波与入射波重叠;气柱中从封闭端反射的声音;发射器与金属板之间的微波。

波节和波腹

在一个驻波中:

• 波节(node)——一个始终位移为零的点(两个波总是相消)。相邻波节之间的距离是 $\lambda/2$。
• 波腹(antinode)——一个振幅最大的点(两个波总是相加)。相邻波腹之间的距离是 $\lambda/2$。
• 一个波节与相邻的波腹相隔 $\lambda/4$。

两个波节之间的粒子彼此同相振动,但振幅不同(在波腹处最大,在波节处为零)。波节两侧的粒子反相(antiphase,相位差 $\pi$)振动。

例题。 一根长 $0.80\ \text{m}$ 的弦两端固定,在基频模式下振动,其中波速是 $240\ \text{m s}^{-1}$。求基频。

一个环正好填满这根弦,所以 $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$。于是

驻波与行波的区别:它不沿它的长度方向携带能量(energy),图样不沿长度移动,波节保持固定;而行波处处振幅相同并携带能量。

从波节间距测量波长

用一个振动器以频率 $f$ 驱动一根弦,直到出现一个驻波图样。测量两个相隔较远的波节之间的距离,再除以它们之间的半波长(wavelength)数。于是 $\lambda$ 已知,$v = f\lambda$ 给出波速。

对于一端封闭、另一端开口的管(共鸣管(resonance tube)),封闭端是位移波节,开口端是位移波腹。基频(fundamental)对应 $L = \lambda/4$;下一个共振在 $L = 3\lambda/4$;以此类推。对于两端开口的管,两端都是波腹;基频在 $L = \lambda/2$。

衍射(diffraction)是波在穿过一个缝或绕过一个障碍物(obstacle)之后的散开。所有的波都会衍射——水、声音、光、微波。

散开的程度取决于波长与缝宽之比:

• 缝远宽于 $\lambda$:散开很少;波几乎笔直穿过。
• 缝约与 $\lambda$ 同大小:散开很多;波扇形展开。
• 缝小于 $\lambda$:散开很强;缝几乎像一个点源。

用水波槽(ripple tank)中的水波来演示:直波遇到一个带缝的挡板,缝做得越窄,波弯曲得越多。同样的道理说明了为什么你能听见拐角处有人说话(语音的 $\lambda$ 接近 1 m,与缝的大小相近),却看不见他们(可见光的 $\lambda \sim 500\ \text{nm}$,远小于缝)。

干涉(interference)是两个相干(coherent)波的叠加,给出一个稳定的、由高振幅区域(相长)和低振幅区域(相消)构成的图样。

相干性

当两个源发出的波有恒定的相位差(这也需要相同的频率)时,它们是相干的。两盏分开的灯不是相干的——它们的相位随机变化,所以任何图样都闪变得太快而看不见,你只能得到一个平均值。

要从一个源产生相干光,让它穿过双缝(double-slit)装置中的两个狭缝(slits)。两个缝都由同一个波前照亮,所以两束光保持固定的相位关系。

清晰图样的条件

要看到双源条纹,你需要:

1. 两个相干源(恒定的相位差)。
2. 大致相等的振幅(否则暗区不太暗)。
3. 在你观察处波要重叠。
4. 对于光(横波),相同的偏振(polarisation)面。

路程差

对于两个相干源,某点发生什么取决于到达那里的两个波之间的路程差(path difference)$\Delta x$:

• 相长:$\Delta x = n\lambda$(对整数 $n = 0, 1, 2, \ldots$)。
• 相消:$\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$。

双缝(杨氏)实验

对于相隔距离 $a$ 的两个缝,屏在距离 $D$ 处(假设 $D \gg a$),波长为 $\lambda$ 的光在屏上形成条纹。

条纹间距(fringe spacing)$x$(一条条纹(fringe)到下一条)是

亮条纹(极大(maximum))在路程差是 $\lambda$ 整数倍处;暗条纹(极小(minimum))在它是 $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$ 处。条纹是等间距的。

要使条纹间距更小:增大 $a$(缝分得更开)、减小 $D$(屏更近),或用更短的 $\lambda$(更蓝的光)。

例题。 在一个双缝实验中,缝相隔 $0.50\ \text{mm}$,由波长 $600\ \text{nm}$ 的光照射。屏在 $2.0\ \text{m}$ 外。求条纹间距。

衍射光栅(diffraction grating)有许多等间距的缝——常常每毫米几百或几千条。每个缝是一个相干源。当满足下式时,在与光栅法线(normal)成 $\theta$ 角处看到一个极大:

其中 $d$ 是缝间距(slit spacing,中心到中心),$n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ 是级次(order),$\lambda$ 是波长。

例题。 一个衍射光栅每毫米 $500$ 条线。波长 $600\ \text{nm}$ 的光垂直照在它上面。求一级($n = 1$)极大的角度。

缝间距是 $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$,所以

与双缝相比,光栅给出尖锐得多的极大,因为更多的缝叠加在一起——其他每个方向都被许多缝相消掉。

从"每毫米线数"求缝间距

如果一个光栅每毫米 $N$ 条线,那么 $d = 1/N$ 毫米 $= 10^{-3}/N$ 米。对于每毫米 $450$ 条线,$d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$。

最高级次

对于给定的光栅和波长,$\sin\theta = n\lambda/d$ 不能大于 $1$,所以看到的最高级次是

如果 $d/\lambda = 3.27$,则存在直到 $n = 3$ 的级次;$n = 4$ 需要 $\sin\theta > 1$,看不到。

用光栅求 $\lambda$

把未知波长的平行光笔直射向光栅。测量一级极大离中心的角度 $\theta_{1}$。则 $\lambda = d \sin\theta_{1}$。对更高级次重复并取平均可减小误差。

• 双源干涉:路程差 $= n\lambda$ 时相长,$= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$ 时相消;两个源必须相干。
• 双缝:$\lambda = ax/D$;衍射光栅:$d\sin\theta = n\lambda$——要熟悉每一个符号。
• 在驻波上标出波节和波腹;相邻波节相隔 $\lambda/2$;它储存能量但不传递能量。
• 一个驻波需要两个频率相同、沿相反方向传播的波。

电流(electric current)是载流子(charge carriers)的流动。在金属中载流子是带负电的传导电子(electrons);在电解质(electrolyte)中它们是带正电和负电的离子(ions);在半导体(semiconductor)中它们可能是电子或"空穴"(holes)。常规电流(conventional current)方向是正电荷会流动的方向——与导线中电子的真实流动方向相反。

电荷

电荷是量子化的(quantised):最小的自由电荷单位是基本电荷(elementary charge)

本大纲中的每一个自由电荷都是 $e$ 的整数倍。电荷的单位是库仑(coulomb),$\text{C}$。

电流是电荷的流动速率

如果电荷 $Q$ 在时间 $t$ 内经过某一点,电流是

电流的单位:安培,$\text{A}$($= \text{C s}^{-1}$)。对于变化的电流,一段时间内流过的电荷是 $I$–$t$ 图线下方的面积。

例题。 一个 $0.50\ \text{A}$ 的电流流动了 $2.0$ 分钟。求流过的电荷,以及这代表多少个电子。($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$。)

漂移速度方程

对于一个横截面积为 $A$ 的均匀导体,每单位体积有 $n$ 个载流子(数密度(number density)),每个带电荷 $q$,以平均漂移速度(drift velocity)$v$ 运动:

例题。 一根横截面积 $1.0 \times 10^{-6}\ \text{m}^2$ 的铜丝载着 $5.0\ \text{A}$ 的电流。铜每 $\text{m}^3$ 有 $n = 8.5 \times 10^{28}$ 个自由电子。求漂移速度。($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$。)

重排 $I = Anvq$ 得 $v = \dfrac{I}{Anq}$:

电子漂移得非常慢——每秒不到一毫米。

用这个来比较电流:

• 相同 $I$ 下更细的导线(较小的 $A$)需要更快的漂移 $v$。
• 半导体的自由载流子比金属少得多(较小的 $n$),所以相同 $I$ 下漂移速度大得多。
• 在串联(series)元件中,$I$ 处处相同,所以如果 $A$ 不变但材料改变,$nv$ 会反向变化。

一个元件两端的电势差(potential difference,p.d.)是电荷经过它时每单位电荷转移的能量(energy):

单位:伏特(volt),$\text{V}$($= \text{J C}^{-1}$)。

如果 $1\ \text{C}$ 的电荷经过一个元件时有 $1\ \text{J}$ 的电能变成其他形式(热、光、动能……),那么它两端的电势差就是 $1\ \text{V}$。

一个电源的电动势(electromotive force,e.m.f.)是电源每单位电荷所给予的能量。公式与电势差相同;区别在方向:电动势是电源给予电荷的能量;电势差是电荷交给元件的能量。

联立 $V = W/Q$ 和 $I = Q/t$:

用欧姆定律 $V = IR$:

选用含你已知量的形式。例子:

• 两个电阻相等的加热器——电流较大的那个给出更多功率(power)($P = I^{2}R$)。
• 跨接在相同电压(voltage)上、并联(parallel)的两个电阻——$R$ 较小的那个给出更多功率($P = V^{2}/R$)。
• 一个标着"$2.4\ \text{kW}, 240\ \text{V}$"的水壶消耗 $I = P/V = 10\ \text{A}$,电阻为 $R = V^{2}/P = 24\ \Omega$。

时间 $t$ 内转移的能量是 $E = P t$。

一个元件的电阻(resistance)$R$ 是

单位:欧姆(ohm),$\Omega$($= \text{V A}^{-1}$)。电阻取决于测量时的条件(例如温度)。

欧姆定律

当一个导体中的电流与它两端的电势差成正比时,只要条件(尤其是温度)保持不变,它就遵守欧姆定律(Ohm's law)。对于这样的导体 $R$ 是常数,$I$–$V$ 图是过原点的直线。

欧姆定律是一个实验结果,不是一个定义。定义 $R = V/I$ 对任何元件都成立;只有欧姆式元件才有恒定的 $R$。

$I$–$V$ 特性曲线

你应当能够画出这些:

• 恒温下的金属丝——过原点的直线(恒定的 $R$)。反转电势差使电流反向流动,给出两个方向上的直线。
• 灯丝灯泡(filament lamp)——过原点,起初陡峭,然后随 $V$(和 $I$)增大而变平。原因:更大的电流加热灯丝,所以它的电阻上升,斜率 $1/R$ 下降。
• 半导体二极管(semiconductor diode)——在负 $V$ 或小的正 $V$ 时几乎没有电流。超过一个"导通"电压(硅约 $0.7\ \text{V}$)后,电流急剧上升。

电阻率

对于一个长度为 $L$、横截面积为 $A$ 的均匀导体,

$\rho$ 是电阻率(resistivity),材料的一个性质,单位为 $\Omega\ \text{m}$。长度翻倍使 $R$ 翻倍;面积翻倍使它减半;直径减半使面积变为四分之一,因而使 $R$ 变为四倍大。

例题。 一根长 $2.0\ \text{m}$、横截面积 $1.7 \times 10^{-7}\ \text{m}^2$ 的铜丝,电阻率为 $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$。求它的电阻。

典型值:室温下的铜 $\rho \sim 1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$;一个绝缘体(insulator)$\rho \sim 10^{15}\ \Omega\ \text{m}$ 或更大。

金属的电阻率随温度上升(更多的晶格振动(lattice vibration)散射(scatters)电子),这就是灯丝灯泡的 $I$–$V$ 线弯曲的原因。

光敏电阻(light-dependent resistor,LDR)是一种半导体,它的电阻随光强上升而下降。在明亮的光下 $R$ 可能是几百 $\Omega$;在黑暗中它可以达到兆欧。LDR 用于光感电路(路灯、相机测光表)。这里光强(light intensity)控制电阻。

在本大纲中,热敏电阻(thermistor)有一个负温度系数(negative temperature coefficient):它的电阻随温度上升而下降。这对感测温度很有用——把它放进一个分压器(potential divider)中,输出电压就随温度变化。

这与金属相反:在半导体中,更多的热能释放出更多的载流子,这比额外的散射更重要。

• 用 $I = Q/t$、$V = W/Q$(每单位电荷的能量)和 $P = VI = I^2 R = V^2/R$。
• **欧姆定律($V = IR$)**只适用于恒温下的欧姆式导体——灯丝灯泡是非欧姆式的。
• 画出并解读电阻、灯丝灯泡和二极管的 $I$-$V$ 特性曲线。
• LDR 的电阻随光下降;热敏电阻的电阻随温度上升而下降。

电动势和电势差

一个电源的电动势(electromotive force,e.m.f.)$\varepsilon$ 是电源驱动电荷绕整个电路一周时给予每单位电荷的能量(energy)。单位:伏特。

一个元件两端的电势差(potential difference,p.d.)是每单位电荷经过那个元件时从电能变成其他形式的能量。

两者都以伏特为单位;它们在能量方向上不同:

• 电动势——电源注入电路的能量(电池中化学能 → 电能,发电机中机械能 → 电能)。
• 电势差——从电能形式中取走的能量(电阻中电能 → 热能,灯中 → 光,电动机中 → 动能)。

在实验室里你常常在面包板(breadboard,一块带成排孔的板,不用焊接就能连接元件)上搭建电路,并用万用表(multimeter)测量电流和电势差。

内阻

一个真实电源有一些内阻(internal resistance)$r$——通常是电池(cell)中电解质(electrolyte)的电阻,或发电机中的线圈绕组。当电流 $I$ 流动时,一个 $Ir$ 的内部电势差在电源内部"损失"掉,所以外电路两端的端电压(terminal p.d.)是

所以:

• 无电流(开路(open circuit),$I = 0$):端电压等于电动势。
• 较大电流:端电压下降。
• 短路(short circuit,$R_{\text{external}} \to 0$):$I = \varepsilon / r$,一个很大的电流,所有能量都在电源内部变成热。

要测量 $r$,改变外电阻并作 $V_{\text{terminal}}$ 对 $I$ 的图:这条线 $y$ 轴截距为 $\varepsilon$,斜率为 $-r$。

例题。 一个电动势 $1.5\ \text{V}$、内阻 $0.50\ \Omega$ 的电池接到一个 $2.5\ \Omega$ 的电阻上。求电流和端电压。

电动势驱动电流通过两个电阻:$I = \dfrac{\varepsilon}{R + r} = \dfrac{1.5}{2.5 + 0.50} = 0.50\ \text{A}$。于是

给予外部负载的功率(power)是 $P_{\text{ext}} = (\varepsilon - Ir) I$;内部损失的功率是 $P_{\text{int}} = I^{2} r$;电源发出的总功率是 $\varepsilon I$。

电路符号

你必须认识并画出大纲中的标准符号:电池、电池组、开关、电阻、可变电阻、电流表(ammeter)、电压表(voltmeter)、灯、二极管(diode,以及 LED 发光二极管)、电容器(capacitor)、电感、热敏电阻、光敏电阻、保险丝(fuse)、接地、接点。理想电流表有零电阻(resistance),串联(series)接入。理想电压表有无穷大的电阻,并联(parallel)接入。

第一定律(节点规则)

在任何节点(junction)处,流入的总电流等于流出的总电流。这来自电荷守恒(conservation of charge)——在稳定电路中电荷不能在一点积累,所以每秒流入的电荷等于每秒流出的电荷。

对于一个有三根导线的节点:如果电流 2 和 3 流出、电流 1 流入,则 $I_{1} = I_{2} + I_{3}$。

第二定律(回路规则)

绕任何闭合回路(closed loop)一周,总电动势等于那个回路中各元件两端电势差之和。这来自能量守恒(conservation of energy):当一单位电荷绕回路一周时,它从电源获得的能量等于它交给各元件的能量。

选一个绕回路的方向。当回路方向从电源的 − 走向 + 时,电动势取正;当回路方向是通过电阻的常规电流方向时,电势差取正。

合成电阻

串联的电阻载相同的电流;总电势差是各部分之和:

所以 $R_{\text{series}} = R_{1} + R_{2} + \ldots$。

并联的电阻有相同的电势差;总电流是各部分之和:

所以 $\dfrac{1}{R_{\text{parallel}}} = \dfrac{1}{R_{1}} + \dfrac{1}{R_{2}} + \ldots$。

两个相等的电阻 $R$ 并联给出 $R/2$;$N$ 个相等的给出 $R/N$。一个并联组合总是小于它的任何一个电阻;一个串联组合总是更大。

例题。 一个 $4.0\ \Omega$ 的电阻和一个 $12\ \Omega$ 的电阻并联。求它们的合成电阻。

解一个电路

1. 用一个符号和一个选定的方向标记每个电流。
2. 在每个节点处用基尔霍夫第一定律(Kirchhoff's first law)把电流联系起来。
3. 绕每个回路用基尔霍夫第二定律(Kirchhoff's second law)得到关于电势差的方程。
4. 对每个电阻用 $V = IR$。
5. 把这些方程联立求解。

对于对称的电阻网络,用对称性找出电流相等的支路——电流最多的支路给出最多的功率($P = I^{2}R$)。