E · Trigonometry

Matematika AQA A-Level 7357, bagian E (Trigonometri), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: trigonometri segiga siku-siku GCSE dan nilai eksak.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Dua siswa diberi A = 30°, a = 7 dan b = 10. Satu melaporkan satu segitiga; yang lain bersikeras ada dua, dan keduanya siku-siku. Informasi apa yang membedakan kasus-kasus tersebut?
• Sebelum membaca, sebutkan aturan mana yang memasangkan sisi dengan sudut berhadapan, dan pengecekan tambahan apa yang dibutuhkan jawaban invers sinus.

Metode

• Pada lingkaran satuan, titik pada sudut θ adalah (cos θ, sin θ), sehingga tanda mengikuti kuadran dan nilai eksak berasal dari segitiga 30-60-90 dan 45-45-90. Radian adalah sudut yang busurnya sama dengan jari-jari: s = rθ dan luas juring = r²θ/2 memerlukan radian.
• Aturan sinus memasangkan sisi berhadapan dan sudut: a/sin A = b/sin B. Aturan kosinus a² = b² + c² − 2bc cos A menggunakan sudut di depan a. Dalam kasus ambigu, sin B = b sin A / a dapat memberikan B atau pelengkapnya 180° − B — keduanya harus diuji terhadap sudut yang tersisa.
• lingkaran satuan: Lingkaran berjari-jari 1 di mana (cos θ, sin θ) adalah titik pada sudut θ; radian: Sudut yang dibentuk oleh busur sepanjang sama dengan jari-jari; aturan sinus: Aturan a/sin A = b/sin B yang memasangkan sisi berhadapan dan sudut; aturan kosinus: Aturan a² = b² + c² − 2bc cos A; kasus ambigu: Situasi aturan sinus di mana dua segitiga mungkin sesuai dengan data yang sama.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Pilih aturan berdasarkan informasi yang diketahui: pasangan sisi-sudut yang cocok memanggil aturan sinus; dua sisi dengan SUDUT TERAPIT, atau tiga sisi, memanggil aturan kosinus. Untuk luas, ab sin C / 2 membutuhkan sudut DI ANTARA a dan b.
• Tes setiap kandidat sudut: sudut sisa C = 180° − A − B harus positif, dan setiap sisi positif. Invers sinus kalkulator hanya mengembalikan nilai utama lancip — pelengkapnya adalah kandidat terpisah.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: sisi 6 dan 8 membentuk sudut 60°. Gunakan aturan kosinus: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. Jadi c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. Luasnya adalah (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

Contoh:

Untuk A = 30°, a = 7, b = 10, temukan nilai-nilai yang mungkin untuk B menggunakan urutan yang sama: diketahui → aturan sinus → kedua cabang → pengecekan validitas. (Jawaban: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, sehingga B ≈ 45.6° atau B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. Keduanya menghasilkan sudut ketiga positif, sehingga DUA segitiga sesuai.)

Batasan dan jebakan

• Kasus ambigu memerlukan penghitungan: dengan h = b sin A dan A lancip, a < h memberikan nol, a = h satu segitiga siku-siku, h < a < b memberikan dua, dan a ≥ b memberikan satu. Persamaan trigonometri pada interval harus mencantumkan setiap solusi: sin x = 1/2 pada [0, 2π) memiliki π/6 dan 5π/6.

Peringatan:

Nilai invers-sinus kalkulator adalah satu-satunya sudut yang mungkin dalam masalah aturan sinus. Klaim ini salah: sinus bernilai positif di dua kuadran, sehingga suplement 180° − B adalah kandidat kedua dan harus diperiksa, yang merupakan tepat kasus ambiguitas.

Kunci:

Trigonometri: lingkaran satuan untuk nilai dan tanda, radian untuk busur dan sektor, aturan sinus dengan kasus ambiguitasnya, aturan cosinus untuk sudut yang mengapit, dan ab sin C / 2 untuk luas — selalu dengan pengecekan validitas pada sudut yang tersisa.