B · Algebra and functions

AQA A-level Mathematics 7357, Bagian B (Aljabar dan fungsi), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: Aljabar GCSE: eksponen, bentuk akar, pemfaktoran, dan penyelesaian persamaan kuadrat.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Dua siswa menyelesaikan x² − 4x + 1 = 0. Satu melengkapkan kuadrat sempurna dan mendapatkan jawaban eksak; yang lain mensubstitusikan ke dalam rumus dan membulatkan terlalu dini, sehingga menyimpang hingga satu persepuluh. Apa perbedaan antara metode eksak dengan metode yang menyimpang?
• Sebelum membaca lebih lanjut, jelaskan informasi apa yang dibutuhkan oleh setiap metode penyelesaian, dan bagaimana Anda akan memeriksa jawaban akhir.

Metode

• Persamaan kuadrat dapat diselesaikan melalui pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna (a(x − h)² + k memberikan titik puncak (h, k)) atau menggunakan rumus. Diskriminan b² − 4ac menghitung jumlah akar real sebelum proses penyelesaian dimulai.
• Sebuah fungsi assigns setiap input dari domain-nya tepat satu output. Invers hanya ada jika fungsi tersebut adalah fungsi satu-satu pada domainnya — batasi x² menjadi x ≥ 0 terlebih dahulu. Komposisi fg(x) = f(g(x)) menerapkan g terlebih dahulu, dan fg serta gf umumnya berbeda. Transformasi grafik dibaca dari bentuk terfaktor a·f(b(x − h)) + k: skala dengan 1/b dan a, lalu geser sejauh h dan k.
• Melengkapkan kuadrat sempurna: Menulis ulang persamaan kuadrat sebagai a(x−h)²+k untuk membaca titik puncak dan menyelesaikan secara eksak; Diskriminan: Besaran b²−4ac yang menentukan berapa banyak akar real yang ada; Fungsi: Aturan yang memberikan tepat satu output untuk setiap input yang diperbolehkan; Domain: Himpunan input yang diperbolehkan dari sebuah fungsi.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Periksa setiap kandidat solusi dalam persamaan ASLI, terutama setelah dikuadratkan (yang dapat menambahkan akar palsu) atau dibagi dengan suatu ekspresi (yang dapat menghilangkan kasus nol). Pertahankan bentuk akar tetap eksak hingga pembulatan diminta; pembulatan di tengah perhitungan adalah penyebab hilangnya satu persepuluh.
• Untuk klaim invers, verifikasi f(f⁻¹(x)) = x pada domain invers, dan nyatakan domain tersebut secara eksplisit — invers dari x² hanya ada pada cabang yang dibatasi.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: x² − 4x + 1 = 0. Melengkapkan kuadrat sempurna: (x − 2)² − 4 + 1 = 0, sehingga (x − 2)² = 3. Disusun ulang: x − 2 = ±√3. Substitusi menghasilkan x = 2 + √3 ≈ 3.732 atau x = 2 − √3 ≈ 0.268. Periksa: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.

Contoh:

Untuk f(x) = x² − 4 dengan domain x ≥ 0, temukan invers dan domainnya menggunakan urutan yang sama: hubungan diketahui → susun ulang → pilih cabang → nyatakan domain dan jangkauan. (Jawaban: dari y = x² − 4, x = √(y + 4) menggunakan cabang x ≥ 0, sehingga f⁻¹(x) = √(x + 4) dengan domain x ≥ −4 dan jangkauan y ≥ 0.)

Batasan dan jebakan

• Rumus selalu berhasil tetapi bentuk eksak lebih disukai ketika akarnya berupa bentuk akar; desimal hanyalah pendekatan. Komposisi sensitif terhadap urutan, dan grafik yang ditransformasi harus diperiksa dengan melacak satu titik yang diketahui, bukan hanya berdasarkan rumus.

Peringatan:

Fungsi f(x) = x² memiliki invers atas seluruh bilangan real. Klaim ini salah: dua input berbagi setiap output (2 dan −2 keduanya menghasilkan 4), sehingga pemetaan balik bukanlah fungsi — domain harus dibatasi terlebih dahulu, misalnya menjadi x ≥ 0, memberikan f⁻¹(x) = √x.

Kunci:

Aljabar dan fungsi: lengkapi kuadrat sempurna atau gunakan rumus dengan diskriminan sebagai penghitung akar; periksa kandidat dalam persamaan asli. Fungsi memerlukan domain yang dinyatakan; invers memerlukan cabang satu-satu, dan transformasi grafik dibaca dari bentuk terfaktor.