Composite functions and intermediate domains
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | Komposisi Fungsi |
Output satu mesin menjadi input mesin lain. Input awal yang diperbolehkan masih bisa menghasilkan nilai antara yang tidak valid.
- Output satu mesin menjadi input mesin lain. Input awal yang diperbolehkan masih bisa menghasilkan nilai antara yang tidak valid.
- Pelajaran ini mempelajari komposisi: Menerapkan satu fungsi pada output dari fungsi lain, dalam urutan yang ditentukan.
Pilih struktur matematika
- Di sini fg berarti f dikomposisikan dengan g: fg(x)=f(g(x)), bukan perkalian. Terapkan g terlebih dahulu. Input komposit harus berada dalam domain fungsi dalam, dan outputnya harus berada dalam domain fungsi luar. Secara umum, fg dan gf memiliki rumus dan domain yang berbeda.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
For f(x)=√(x-2) and g(x)=1/(x-1), why is fg(6) undefined even though g(6) exists?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A composite input must survive BOTH stages: the inner function’s domain and then its output must lie in the outer function’s domain. Checking only the inner domain misses the second condition.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Misalkan f(x)=√(x−2), dengan x≥2, dan g(x)=1/(x−1), dengan x≠1. Maka (fg)(x)=√(1/(x−1)−2). Hal ini mensyaratkan 1/(x−1)≥2. Penyebut negatif tidak dapat memenuhi batas bawah positif ini; untuk x>1, mengalikan dengan x−1 mempertahankan urutan dan menghasilkan x≤3/2. Dengan demikian domainnya adalah 1<x≤3/2. Dalam urutan terbalik, (gf)(x)=1/(√(x−2)−1). Hal ini mensyaratkan x≥2 dan √(x−2)≠1, sehingga x≠3. Domainnya adalah [2,3)∪(3,∞). Pada x=6, (gf)(6)=1, sedangkan (fg)(6) bukan bilangan real.
Composite functions and intermediate domains
Here fg means f composed with g: fg(x)=f(g(x)), not multiplication
Use domains to justify inverse and composite function steps.
Find gf(6) for the worked functions.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f(6)=√4=2, then g(2)=1/(2−1)=1.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Memeriksa hanya domain dalam tidak cukup. Jangan kalikan ketaksamaan dengan x−1 sebelum menentukan tandanya. Penyebut perantara yang dikecualikan tetap dikecualikan meskipun bentuk lain tampak lebih sederhana. Rumus dan domain bersama-sama mendefinisikan fungsi komposit.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Komposit didefinisikan di mana pun fungsi dalamnya didefinisikan. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi apa yang dilanggar.
Find the included upper endpoint of the domain of fg.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
For x>1, 1≥2(x−1) gives x≤3/2=1.5.
A composite is defined wherever its inner function is defined.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Checking only the inner domain is insufficient. Do not multiply the inequality by x−1 before deciding its sign. An excluded intermediate denominator remains excluded even if another form appears simpler. A formula and domain together define the composite function.
Interpretasikan situasi baru
- Jejak nilai antara: (gf)(6) menggunakan f(6)=2 kemudian g(2)=1. Untuk (fg)(5/4), g(5/4)=4 kemudian f(4)=√2. Pada x=3, f(3)=1 valid, tetapi g(1) tidak terdefinisi, sehingga (gf)(3) tidak terdefinisi. Tandai setiap titik akhir yang dipertahankan atau dikecualikan dalam notasi interval.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Find the excluded input within x≥2 for gf.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The outer denominator is zero when √(x−2)=1, giving x=3.
Match each composition condition to the stage it constrains.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
fg means apply g first; the full domain is the set of inputs passing both tests, here 1<x≤3/2.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · B. Cocokkan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Menerapkan satu fungsi pada output dari fungsi lain, dalam urutan yang ditentukan. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.