F · Exponentials and logarithms

AQA Matematika tingkat-A 7357, bagian F (Eksponensial dan logaritma), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: hukum indeks dan kalkulator ilmiah dari GCSE.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Sebuah sampel terbagi dua setiap 3.5 jam, tetapi laboratorium membutuhkan level pada 5 jam — tidak ada tabel yang memberikannya. Bagaimana satu rumus dapat menggantikan tabel yang hilang?
• Sebelum membaca, sebutkan apa yang dibutuhkan model y = Ae^(kt) sebagai input, dan bagaimana plot log dapat memulihkan k dari data.

Metode

• Dalam y = Ae^(kt), A adalah jumlah awal dan k adalah laju proporsional: positif untuk pertumbuhan, negatif untuk peluruhan. Waktu paruh adalah ln 2/|k|; waktu penggandaan adalah ln 2/k.
• Logaritma adalah invers dari eksponensial: y = a^x berarti x = log_a y, didefinisikan hanya untuk y positif. Hukum log mengikuti hukum indeks: log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. Menyelesaikan a^x = b memberikan x = ln b / ln a. Memplot ln y terhadap t mengubah y = Ae^(kt) menjadi garis lurus ln y = ln A + kt.
• Waktu paruh: Waktu bagi kuantitas yang meluruh untuk turun menjadi setengah nilainya; Logaritma: Eksponen ke mana basis tertentu harus dipangkatkan untuk menghasilkan bilangan positif tertentu.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Eksponensial yang disesuaikan adalah sebuah model: periksa satuan waktu dan rentangnya sebelum membuat prediksi, dan bandingkan prediksi dengan pengukuran segar (residu) sebelum mempercayainya. k negatif berarti peluruhan; jumlah awal negatif biasanya bertentangan dengan konteks.
• Dalam persamaan log, catat domain asli terlebih dahulu: setiap argumen dari setiap log harus positif, sehingga kandidat yang dihasilkan setelah menggabungkan log harus dicek melawan domain tersebut.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: y = 80e^(−0.2t), y dalam gram, t dalam jam. Setengah amount berarti 40 = 80e^(−0.2t), sehingga e^(−0.2t) = 1/2. Mengambil ln: −0.2t = −ln 2, sehingga t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 jam. k yang sama memberikan waktu paruh untuk jumlah awal apa pun.

Contoh:

Selesaikan 3^x = 20 menggunakan urutan yang sama: ambil log → terapkan hukum pangkat → bagi → interpretasikan. (Jawaban: x ln 3 = ln 20, sehingga x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. Cek: 3^2.727 ≈ 20.)

Batasan dan jebakan

• Hukum log hanya berlaku untuk argumen positif; ln(x + y) TIDAK memiliki hukum penjumlahan (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). Model eksponensial membutuhkan satuan waktunya cocok dengan k; tingkat tahunan efektif 10% berarti k = ln 1.1, bukan k = 0.1.

Peringatan:

Untuk x dan y positif, ln(x + y) = ln x + ln y. Klaim ini salah: hukum perkalian adalah ln(xy) = ln x + ln y; tidak ada hukum untuk penjumlahan di dalam logaritma, seperti yang ditunjukkan oleh x = y = 1 (ln 2 ≈ 0.69 tetapi ln 1 + ln 1 = 0).

Kunci:

Eksponensial dan logaritma: y = Ae^(kt) dengan waktu paruh ln 2/|k|; log membalikkan eksponensial, mengikuti hukum perkalian/pembagian/pangkat, dan mengubah fit eksponensial menjadi garis lurus. Periksa domain dan satuan sebelum menyelesaikan.