Grafik logaritma untuk kecocokan pangkat dan eksponensial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | Perpotongan |
Kurva dapat menjadi garis lurus setelah mengambil log. Sumbu horizontal manakah membedakan model pangkat dari eksponensial?
- Kurva dapat menjadi garis lurus setelah mengambil log. Sumbu horizontal manakah membedakan model pangkat dari eksponensial?
- Pelajaran ini mempelajari intercept: Nilai vertikal yang ditransformasi ketika variabel horizontal yang dipilih adalah nol.
Pilih struktur matematika
- Untuk observasi dan parameter positif, y=ax^p dengan x>0 memberikan ln y=ln a+p ln x. Plot ln y terhadap ln x: gradien p, intercept ln a. Untuk y=kb^x dengan k,b>0, ln y=ln k+x ln b. Plot ln y terhadap x: gradien ln b, intercept ln k. Gunakan basis log yang sama untuk kedua sumbu logaritmik dan pulihkan parameter dengan invers basis tersebut.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Dalam penyesuaian log-log untuk y=ax^p, apa yang ditunjukkan oleh kemiringan?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Logaritma kedua ruas mengubah hukum pangkat menjadi ln y=ln a+p·ln x: kemiringan p, intersep ln a. Untuk grafik eksponensial y=kb^x, plotlah ln y terhadap x — sumbu menentukan makna kemiringan.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Data pangkat (x,y)=(1,3),(2,12),(4,48) memberikan gradien [ln48−ln3]/[ln4−ln1]=2, intersep ln3, sehingga y=3x². Data eksponensial (0,5),(1,10),(2,20),(3,40) memberikan gradien semilogaritmik ln2 dan intersep ln5, sehingga y=5×2^x. Dengan logaritma basis-10, gradien eksponensial yang sama adalah log₁₀2≈0.30103, sehingga b=10^0.30103≈2 bukan e^0.30103. Pengamatan data pangkat baru (3,30) melebihi prediksi yang disesuaikan 27 dengan residu 3; himpunan kalibrasi yang lurus sempurna tidak membuktikan model di luar rentang pengamatannya.
Grafik logaritma untuk kecocokan pangkat dan eksponensial
Untuk observasi dan parameter positif, y=ax^p dengan x>0 menghasilkan ln y=ln a+p ln x
Nyatakan input yang valid, variabel yang digambarkan, atau satuan waktu sebelum menggunakan hubungan logaritmik/eksponensial.
Temukan eksponen pangkat untuk data pangkat yang diberikan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Gradien log-log adalah ln16/ln4=2.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Untuk kecocokan pangkat, gradiennya adalah eksponen, bukan logaritmanya. Untuk kecocokan eksponensial, gradiennya adalah logaritma basisnya, bukan basisnya sendiri. Intersep grafik pangkat sesuai dengan x=1 karena ln x=0 di sana; intersep eksponensial sesuai dengan x=0. Pengamatan nonpositif tidak dapat dilogaritmikasikan secara langsung. Plot log-y eksponensial mungkin mencakup x=0 atau x negatif; plot log-log pangkat tidak dapat.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Memplottkan ln y terhadap x melinieralkan setiap model pangkat y=ax^p. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan parameter pengaliannya a.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Intersepnya adalah ln3, sehingga a=e^(ln3)=3.
Memplot ln y terhadap x melinearisasi setiap model pangkat y=ax^p.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Untuk kecocokan pangkat, gradiennya adalah eksponennya, bukan logaritmanya. Untuk kecocokan eksponensial, gradiennya adalah logaritma basisnya, bukan basisnya sendiri. Intersepsi grafik pangkat sesuai dengan x=1 karena ln x=0 di sana; intersepsi eksponensial sesuai dengan x=0. Observasi nonpositif tidak dapat dilogaritkam secara langsung. Plot log-y eksponensial mungkin mencakup x=0 atau x negatif; plot log-log pangkat tidak dapat.
Interpretasikan situasi baru
- Berilah label pada sumbu yang ditransformasi dan perkirakan gradien dari titik-titik yang terpisah jauh pada garis yang disesuaikan, bukan dari satu titik data tunggal. Pulihkan setiap parameter intersep sebelum kembali ke satuan asli. Substitusikan prediksi ke dalam model asli dan periksa residunya di sana. Nyatakan rentang yang disesuaikan, ketidakpastian pengukuran, dan apakah ekstrapolasi dibenarkan; penyimpangan sistematis dapat mengindikasikan model yang berbeda.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan basis eksponensial b untuk data eksponensial yang diberikan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Gradien semilog adalah ln2, sehingga b=e^(ln2)=2.
Pasangkan setiap model dengan grafik yang melinearkannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Grafik pangkat tidak dapat meng-logaritmaikan x yang bukan positif, sedangkan grafik eksponensial memungkinkan semua x; intersep sesuai dengan ln x=0 atau x=0 masing-masing.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · F. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Nilai vertikal yang ditransformasi ketika variabel horizontal yang dipilih bernilai nol. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.