Tingkat proporsional, waktu paruh, dan batas model
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| proportional rate/prəˈpɔːʃənl reɪt/ | Tingkat proporsional |
Jumlah yang meluruh kehilangan lebih banyak per jam ketika masih tersisa banyak. Mengapa satu waktu paruh tetap tidak berarti pengurangan tetap?
- Jumlah yang meluruh kehilangan lebih banyak per jam ketika masih tersisa banyak. Mengapa satu waktu paruh tetap tidak berarti pengurangan tetap?
- Pelajaran ini mempelajari laju proporsional: Laju perubahan yang sama dengan konstanta dikalikan dengan jumlah saat ini.
Pilih struktur matematika
- Untuk y=Ae^(kt), dy/dt=ke^(kt)A=ky. A>0 adalah jumlah awal; k adalah laju proporsional konstan dalam satuan waktu terbalik. k positif memberikan pertumbuhan, k negatif peluruhan, k nol konstan. Selama selang waktu Δt, pengalinya adalah e^(kΔt). Waktu penggandaan adalah ln2/k untuk k>0; waktu paruh adalah ln2/|k| untuk k<0.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Untuk Q=80e^(-λt) dengan waktu paruh 4 jam, mengapa kehilangan per jam TIDAK sama?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tingkat PROPORSIONAL konstan berarti pecahan yang sama per satuan waktu, bukan jumlah yang sama. Penurunan absolut dalam setiap interval menurun seiring berkurangnya jumlah itu sendiri.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Gunakan contoh peluruhan Q=80e^(−λt), t dalam jam dan λ=ln2/4. Maka Q₄=40, Q₈=20 dan Q₁₂=10: setiap langkah empat jam mengurangi jumlah menjadi setengahnya. Pada t=4, lajunya adalah Q′=−40λ=−10ln2 unit per jam. Menyelesaikan Q≤10 menghasilkan t≥12; syarat ketat Q<10 instead needs t>12. Untuk contoh model pertumbuhan P=100e^(0.1t), t dalam tahun, P₁≈110.517 dan pertumbuhan efektif tahunan sekitar 10.517%, bukan 10%. Jika pertumbuhan efektif tahunan yang diberikan adalah 10%, gunakan k=ln1.1. Kompounding kontinu dan pengali tahunan yang dinyatakan tidak boleh disamakan.
Tingkat proporsional, waktu paruh, dan batas model
Untuk y=Ae^(kt), dy/dt=ke^(kt)A=ky
Nyatakan input yang valid, variabel yang digambarkan, atau satuan waktu sebelum menggunakan hubungan logaritmik/eksponensial.
Temukan Q pada t=4 jam.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
80e^(−ln2)=40.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Eksponen harus tak berdimensi: mengubah jam menjadi menit mengubah k oleh faktor 1/60. Waktu paruh bukanlah waktu untuk mencapai nol; A positif dikalikan eksponensial tetap positif untuk waktu terbatas. Kerugian absolut bervariasi seiring jumlah meskipun laju proporsional tetap. Ambang batas periode bulat pertama memerlukan pemeriksaan bilangan bulat tetangga daripada hanya waktu persilangan kontinu.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Laju proporsional eksponensial konstan berarti jumlah absolut yang sama hilang dalam setiap selang waktu yang sama. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan Q pada t=8 jam.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
80e^(−2ln2)=20.
Tingkat proporsional eksponensial konstan berarti jumlah absolut yang sama hilang pada setiap interval waktu yang sama.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Eksponen harus tidak berdimensi: mengubah jam ke menit mengubah k dengan faktor 1/60. Waktu paruh bukan waktu untuk mencapai nol; A positif dikalikan eksponensial tetap positif untuk waktu terbatas. Kerugian absolut bervariasi sesuai jumlah meskipun tingkat proporsionalnya tetap. Ambang batas periode bulat pertama memerlukan pengecekan bilangan bulat berdekatan, bukan hanya waktu persilangan kontinu.
Interpretasikan situasi baru
- Nyatakan satuan waktu/jumlah, kondisi awal, dan asumsi laju tetap. Bandingkan observasi dengan prediksi sebelum melakukan ekstrapolasi. Sumber daya terbatas, perubahan kondisi lingkungan, biaya atau penarikan dapat membatalkan model pertumbuhan sederhana; perubahan kondisi peluruhan dapat memerlukan model laju berubah atau bertahap. Ini adalah model matematis ilustratif, bukan istilah produk atau instruksi perawatan.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan waktu pertama dalam satuan jam ketika Q≤10.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln(80/10)/(ln2/4)=12; peluruhan monotonik menghasilkan Q≤10 sejak waktu tersebut.
Cocokkan setiap besaran model eksponensial dengan rumusnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Eksponen harus tak berdimensi, sehingga k membawa satuan kebalikan waktu yang terkait dengan satuan waktu yang disebutkan; mengubah jam menjadi menit menskalakan ulang k.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · F. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Laju perubahan yang sama dengan konstanta dikalikan dengan jumlah saat ini. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.