Hukum logaritma, pangkat negatif, dan domain persamaan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | Argumen |
Menggabungkan dua log dapat menghasilkan polinomial dengan akar tambahan. Kondisi input asli manakah yang menolaknya?
- Menggabungkan dua log dapat menghasilkan polinomial dengan akar tambahan. Kondisi input asli manakah yang menolaknya?
- Pelajaran ini mempelajari argumen: Input di dalam logaritma, yang harus positif untuk logaritma real.
Pilih struktur matematika
- Untuk a>0, a≠1 dan u,v positif: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, dan log_a(u^k)=k log_a u untuk k real. Ini mengikuti perkalian/pembagian/pangkat eksponen. Khususnya k=−1 memberikan resiprokal dan k=−1/2 memberikan akar kuadrat terbalik. Selesaikan a^x=b, dengan b>0, dengan x=ln b/ln a.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
ln(x-1)+ln(x+1)=ln 8 memberikan x²=9. Mengapakah x=-3 ditolak?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Persamaan asli mensyaratkan x-1>0 dan x+1>0, sehingga x>1. Bentuk gabungan ln(x²-1) menerima -3, tetapi kandidat tersebut gagal pada argumen asli — selalu periksa kandidat di tahap sebelumnya.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk x>0, ln(x^(-1))=−ln x dan ln(x^(-1/2))=−(1/2)ln x. Selesaikan ln(x−1)+ln(x+1)=ln8: domain asal adalah x>1. Penggabungan menghasilkan ln(x²−1)=ln8, sehingga x²=9 dan kandidat ±3; hanya x=3 yang memenuhi argumen asli. Untuk 3^x=20, x=ln20/ln3. Jika 2^(2x)−2^x−2=0, misalkan u=2^x>0: (u−2)(u+1)=0, sehingga u=2 memberikan x=1, sedangkan u=−1 mustahil. Selain itu ln(2+3)=ln5, tetapi ln2+ln3=ln6; penjumlahan di dalam log tidak dapat dipecahkan dengan cara ini.
Hukum logaritma, pangkat negatif, dan domain persamaan
Untuk a>0, a≠1 dan u,v positif: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, dan log_a(u^k)=k log_a u untuk k real
Nyatakan input yang valid, variabel yang digambarkan, atau satuan waktu sebelum menggunakan hubungan logaritmik/eksponensial.
Selesaikan 3^x=27.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
27=3³, sehingga x=3.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Menggabungkan atau memperluas log tidak menghapus domain aslinya. ln(u²)=2ln|u| untuk u≠0; menulis 2lnu juga memerlukan u>0. Jangan ambil logaritma real dari sisi kanan nol atau negatif dalam a^x=b. Untuk basis 1, 1^x=b memiliki semua x real ketika b=1 dan tidak ada solusi lainnya; hasil bagi log tidak tersedia.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap akar polinomial yang diperoleh setelah menggabungkan logaritma memenuhi persamaan log asli. Pernyataan ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Untuk x>0, tulis ln(x^(-1/2))=klnx. Tentukan k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hukum pangkat memindahkan eksponen −1/2 ke luar: k=−1/2.
Setiap akar polinomial yang diperoleh setelah menggabungkan logaritma memenuhi persamaan log asli.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Menggabungkan atau memperluas logaritma tidak menghapus domain aslinya. ln(u²)=2ln|u| untuk u≠0; menulis 2lnu juga memerlukan u>0. Jangan mengambil logaritma real dari ruas kanan nol atau negatif dalam a^x=b. Untuk basis 1, 1^x=b memiliki semua x real ketika b=1 dan tidak ada solusi lainnya; hasil bagi logaritma tidak tersedia.
Interpretasikan situasi baru
- Daftarkan batasan positif terlebih dahulu, gunakan satu basis umum, lalu terapkan hukum yang valid. Setelah aljabar, substitusikan setiap kandidat ke dalam persamaan logaritmik/eksponensial asli. Jaga hasil bagi log tetap eksak kecuali desimal diminta. Mengubah basis log tidak mengubah solusi persamaan eksponensial jika kedua log hasil bagi menggunakan basis valid yang sama.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Tentukan nilai x yang valid untuk ln(x−1)+ln(x+1)=ln8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x²=9 menghasilkan ±3, namun kedua argumen log asli hanya positif untuk x>1; pilih 3.
Pasangkan setiap hukum logaritma dengan pernyataannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hukum-hukum ini berasal dari aturan eksponen dan hanya berlaku untuk argumen positif; ln(x²)=2ln|x| membutuhkan nilai mutlak ketika x dapat bernilai negatif.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · F. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Input di dalam logaritma, yang harus positif untuk logaritma real. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.