Pertanyaan
- Penampang piringan satelit dan pelek roda keduanya berbentuk lingkaran, tetapi hanya pelek yang dapat ditulis sebagai (x − a)² + (y − b)² = r² dengan pusat yang dapat Anda baca seketika. Apa manfaat persamaan tersebut bagi Anda?
- Sebelum membaca lebih lanjut, jelaskan parameter a, b, dan r masing-masing mengendalikan apa, dan bagaimana arah garis singgung dapat ditemukan tanpa diferensiasi.
Metode
- Garis melalui (x₁, y₁) dengan gradien m adalah y − y₁ = m(x − x₁). Garis sejajar memiliki m yang sama; gradien tak hingga yang saling tegak lurus memenuhi m₁ × m₂ = −1.
- Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah (x − a)² + (y − b)² = r². Jari-jari ke titik singgung tegak lurus terhadap garis singgung di sana, sehingga gradien garis singgung adalah resiprokal negatif dari jari-jari. Diameter membentuk sudut siku-siku pada keliling lingkaran.
- Gradien: Perubahan y per satuan perubahan x; Lingkaran: Himpunan titik pada jarak tetap dari sebuah pusat; Garis singgung: Garis yang menyentuh lingkaran di satu titik, tegak lurus terhadap jari-jari di sana.
*Gradien jari-jari 4/3 dan gradien garis singgung −3/4 dikalikan menghasilkan −1: garis-garis tegak lurus
Memeriksa pekerjaan Anda
- Periksa apakah suatu titik usulan terletak pada lingkaran dengan mensubstitusikannya ke dalam (x − a)² + (y − b)² = r² sebelum membangun garis singgung di sana. Lengkapi kuadrat untuk menemukan pusat dari bentuk perluasan x² + y² + px + qy + s = 0 — dan sesuaikan juga sisi kanan.
- Iriskan garis dengan lingkaran dengan substitusi: akar kembar berarti sentuh, dua akar berarti tali busur, dan diskriminan negatif berarti tidak berpotongan.
Contoh terpecahkan
- Diketahui: lingkaran x² + y² = 25 dan titik (3, 4) di atasnya (3² + 4² = 25 ✓). Jari-jari dari (0, 0) ke (3, 4) memiliki gradien 4/3, sehingga gradien garis singgung adalah −3/4 oleh m₁ × m₂ = −1. Garis singgungnya adalah y − 4 = −(3/4)(x − 3), yang dapat diubah menjadi 3x + 4y = 25.
Contoh:
Temukan pusat dan jari-jari dari x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 menggunakan urutan yang sama: kelompokkan suku → lengkapi setiap kuadrat → baca bentuknya. (Jawaban: (x − 2)² + (y + 1)² = 25, sehingga pusatnya adalah (2, −1) dan jari-jarinya adalah 5; perhatikan tanda kurung berbalik pada koordinat pusat.)
Batasan dan jebakan
- Aturan resiprokal negatif memerlukan gradien tak hingga dan bukan nol; jari-jari horizontal memberikan garis singgung vertikal, dinyatakan sebagai x = konstanta. Tali busur yang dibagi dua oleh garis tegak lurus pusat adalah jalan pintas segitiga siku-siku: setengah tali busur, jari-jari, dan jarak pusat mematuhi Pythagoras.
Peringatan:
Garis singgung pada titik lingkaran memiliki gradien yang sama dengan jari-jari menuju titik tersebut. Klaim ini salah: jari-jari dan garis singgung saling tegak lurus di titik singgung, sehingga gradiennya dikalikan menghasilkan −1 — di (3, 4), jari-jari memiliki 4/3 dan garis singgung memiliki −3/4.
Kunci:
Geometri koordinat: garis oleh titik-gradien, lingkaran oleh (x − a)² + (y − b)² = r². Garis singgung menggunakan hubungan jari-jari-tegak lurus; irisan menggunakan substitusi dan diskriminan.