Shifted circles, chords and tangents
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| centre/ˈsentə/ | pusat |
Di manakah pusat tersembunyi dalam persamaan bulatan yang dikembangkan?
- Persamaan bulatan yang dikembangkan boleh menyembunyikan pusat dan jejari. Menyelesaikan kuasa penuh mendedahkan geometri yang diperlukan untuk tali busur atau tangen.
- Pelajaran ini mengkaji pusat: Titik pada jarak yang sama dari setiap titik pada bulatan.
Pilih struktur matematika
- Tulis ulang lingkaran sebagai (x−a){²}+(y−b){²}=r{²} dengan melengkapkan kedua kuadrat. Garis tegak lurus dari pusat membagi tali busur dua sama, sehingga setengah panjang tali busur mengikuti dari segitiga siku-siku. Garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari pada titik kontak. Sudut yang dibentuk oleh diameter di keliling lingkaran adalah 90°.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
For x²+y²-4x+2y-20=0, why is the centre (2,-1) rather than (-4,2)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Halve the linear coefficients to complete each square: (x-2)² and (y+1)². The centre reads (2,-1) - the bracket constants carry reversed signs - and the radius² is 20+4+1=25.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk x²+y²−4x+2y−20=0, melengkapkan kuadrat menghasilkan (x−2)²+(y+1)²=25: pusat (2,−1), jejari 5. Tali busur y=2 berada 3 unit di atas pusat; separuh panjangnya ialah √(25−9)=4, maka hujungnya ialah (−2,2),(6,2) dan panjangnya 8. Pada P(5,3), kecerunan jejari ialah 4/3, memberikan tangen y−3=−3(x−5)/4 atau 3x+4y=27. Untuk hujung diameter A(−3,−1), B(7,−1) dan titik lilitan T(2,4), kecerunan AT=1 dan BT=−1 mengesahkan sudut ATB=90°.
Shifted circles, chords and tangents
Rewrite a circle as (x−a)²+(y−b)²=r² by completing both squares
Match each coordinate calculation to its geometric or contextual condition.
Find the radius of x²+y²−4x+2y−20=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The completed equation has r²=4+1+20=25, hence r=5.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Melengkapkan kuadrat sempurna menambah pemalar: laraskan bahagian lain juga. Pusat bulatan mempunyai tanda berlawanan kepada pemalar dalam kurungan. Titik singgus yang dicadangkan mesti terletak pada bulatan; kes tegak lurus semata-mata pada titik yang tidak berkaitan adalah tidak mencukupi.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Garis yang tegak lurus dengan sebarang jejari secara automatiknya merupakan garis singgus, di mana sahaja ia memotong satah. Klaim ini adalah salah. Terangkan definisi atau anggapan mana yang dilanggarnya.
Find the length of its chord y=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Half-length=√(25−3²)=4, so full chord length is 8.
A line perpendicular to any radius is automatically a tangent, wherever it crosses the plane.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Completing a square adds a constant: adjust the other side too. The circle’s centre has the opposite signs to the bracket constants. A proposed tangent point must lie on the circle; perpendicularity alone at an unrelated point is insufficient.
Interpretasikan situasi baru
- Semak jarak jejari untuk setiap titik sentuhan dan kedua-dua hujung tali busur. r² negatif yang lengkap tidak menghasilkan bulatan nyata, manakala r²=0 hanya menghasilkan satu titik bukannya bulatan bukan terpecah. Tangani jejari mendatar atau menegak tanpa membahagi dengan sifar.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
At P(5,3), find c in the tangent equation 3x+4y=c.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
At P, c=3×5+4×3=27.
Match each circle property to its consequence.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Half-chord length comes from the right triangle with the radius as hypotenuse; a tangent must be checked to touch the circle AT its stated point.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · C. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan tugas tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Titik yang berada pada jarak sama dari setiap titik pada bulatan. Pilih hubungan, tunjukkan kaedah, semak asumsinya dan tafsirkan hasilnya.