G · Differentiation

AQA A-level Matematika 7357, bagian G (Diferensiasi), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: manipulasi aljabar dan notasi fungsi dari bagian B.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Kurva jarak-waktu mobil terus melengkung, sehingga tidak ada "kecepatan" tunggal yang cocok untuk seluruh perjalanan — namun speedometer menunjukkan satu angka saat ini. Apa arti angka tersebut secara geometris?
• Sebelum membaca lebih lanjut, jelaskan bagaimana gradien garis singgung berbeda dengan kecepatan rata-rata antara dua waktu.

Metode

• Turunan adalah limit dari selisih kuotien [f(x+h) − f(x)]/h saat h → 0: gradien garis singgung dan laju instan. Untuk y = axⁿ, dy/dx = anxⁿ⁻¹; bentuk trigonometri dan eksponensial mengikuti: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, dalam radian.
• Titik stasioner memiliki dy/dx = 0; klasifikasikan berdasarkan perubahan tanda turunan atau tanda turunan kedua (positif: minimum lokal; negatif: maksimum lokal). Aturan rantai, perkalian, dan pembagian menangani bentuk komposit, dengan setiap faktor laju dalam tetap dipertahankan.
• turunan: Laju perubahan instan, gradien garis singgung; titik stasioner: Titik di mana turunan bernilai nol; turunan kedua: Turunan dari turunan, mengukur bagaimana gradien berubah.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Turunan nol hanyalah kandidat: y = x³ stasioner di 0 tetapi terus naik, sehingga klasifikasi memerlukan perubahan tanda atau f″. Pada interval terbatas, bandingkan juga nilai batas — ekstrem global dapat berada di ujung interval.
• Setelah menurunkan hasil kali seperti xeˣ, periksa pada input mudah: aturan perkalian memberikan eˣ + xeˣ, yang pada x = 0 bernilai 1, bukan 0. Mengalikan turunan terpisah akan menghasilkan nilai yang salah di sana.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: y = x³ − 3x, jadi dy/dx = 3x² − 3. Stasioner ketika 3x² − 3 = 0: x = ±1. Turunan kedua adalah 6x: pada x = 1 nilainya 6 > 0, sehingga (1, −2) adalah minimum lokal; pada x = −1 nilainya −6 < 0, sehingga (−1, 2) adalah maksimum lokal.

Contoh:

Untuk y = x³ − 3x pada x = 2, temukan persamaan garis singgung dan normal menggunakan urutan yang sama: titik dari f → gradien dari f′ → persamaan garis. (Jawaban: y = 2 pada x = 2 dan gradiennya 9, sehingga garis singgungnya y − 2 = 9(x − 2) dan garis normalnya y − 2 = −(1/9)(x − 2).)

Batasan dan jebakan

• Turunan menyediakan gradien, bukan koordinat-y — titik selalu berasal dari kurva asli. Garis singgung horizontal (gradien 0) memiliki garis normal vertikal, dinyatakan sebagai x = konstanta, karena kebalikan negatif dari nol tidak terdefinisi.

Peringatan:

Setiap titik dengan turunan nol adalah maksimum atau minimum lokal. Klaim ini salah: y = x³ memiliki dy/dx = 0 pada x = 0 tetapi turunan 3x² tetap positif di kedua sisi — titik belok stasioner, tanpa ekstrem sama sekali.

Kunci:

Diferensiasi: turunan adalah limit dari gradien garis sekan, memberikan gradien garis singgung dan laju. Kandidat stasioner berasal dari f′ = 0 dan diklasifikasikan oleh perubahan tanda atau f″; garis singgung dan normal menggunakan titik dari f dan gradien dari f′.