Grafik gradien, kecekungan dan uji titik belok
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | Titik belok |
Dua kurva bisa keduanya memiliki kemiringan nol, namun satu berbelok dan yang lain terus naik. Grafik gradien mana yang membedakan keduanya?
- Dua kurva bisa keduanya memiliki kemiringan nol, namun satu berbelok dan yang lain terus naik. Grafik gradien mana yang membedakan keduanya?
- Pelajaran ini mempelajari titik belok: Titik di mana kurva kontinu mengubah arah kecekungannya.
Pilih struktur matematika
- Tanda f′ mengidentifikasi interval naik atau turun. Nol-nol f′ adalah kandidat stasioner. Perubahan + ke − memberikan maksimum lokal; − ke + memberikan minimum lokal. Turunan kedua f″ mengukur bagaimana gradien berubah: positif berarti gradien meningkat dan kurva cembung (concave-up); negatif berarti gradien menurun dan kurva cekung (concave-down). Titik belok memerlukan perubahan kecekungan, bukan hanya f″=0.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Untuk q=x⁴, q″(0)=0. Mengapa (0,0) BUKAN titik belok?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Titik belok memerlukan PERUBAHAN kecekungan - perubahan tanda pada f″. Nol dari turunan kedua saja tidak cukup; periksa tanda di kedua sisinya, karena x³ memang berubah tanda di 0 sedangkan x⁴ tidak.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk f=x³−3x, f′=3x²−3 dan f″=6x. Grafik gradien berada di atas nol untuk x<−1 or x>1 dan di bawahnya untuk −1<x<1. Dengan demikian (−1,2) adalah maksimum lokal dan (1,−2) adalah minimum lokal. Turunan kedua berubah dari negatif menjadi positif pada x=0, sehingga (0,0) adalah titik belok dengan gradien tak nol −3. Untuk g=x³, g′=3x² tetap positif di kedua sisi nol: (0,0) adalah titik belok stasioner, bukan titik belok. Untuk q=x⁴, q′=4x³ berubah dari − ke + dan q″=12x² tidak negatif: (0,0) adalah minimum, tetapi bukan titik belok meskipun q″(0)=0.
Grafik gradien, kecekungan dan uji titik belok
Tanda f′ mengidentifikasi interval peningkatan atau penurunan
Hubungkan pengiraan terbitan kepada hadnya atau tafsiran tanda kecerunannya.
Untuk x³−3x, temukan koordinat y maksimum lokal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pada x=−1, turunan berubah dari + menjadi − dan f(−1)=2.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Jangan menyamakan ketinggian f dengan gradiennya f′. Kurva yang menurun bisa memiliki gradien yang meningkat sementara tetap berada di bawah nol pada grafik gradien. Uji f″(a)=0 tidak konklusif; periksa tanda di masing-masing sisi. Titik belok tidak harus stasioner, dan titik stasioner tidak harus merupakan ekstrem. Ekstrem ujung pada interval terbatas juga memerlukan pemeriksaan pada titik-titik ujung.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap titik di mana turunan kedua adalah nol adalah titik belok. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Untuk x³−3x, temukan f″(1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan dua kali: f″=6x, sehingga f″(1)=6.
Setiap titik di mana turunan kedua bernilai nol adalah titik belok.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jangan bingung antara tinggi f dengan gradiennya f′. Kurva yang menurun bisa memiliki gradien yang meningkat sambil tetap berada di bawah nol pada grafik gradien. Uji f″(a)=0 tidak konklusif; periksa tanda di masing-masing sisi. Titik belok tidak harus stasioner, dan titik stasioner tidak harus merupakan ekstrema. Ekstremu ujung pada interval terbatas juga memerlukan pemeriksaan titik-titik ujung.
Interpretasikan situasi baru
- Selaraskan sumbu-x kurva asli dan grafik gradien. Tandai nol-nol f′ dan bangun interval tanda sebelum menamai ekstrem. Baca kecekungan dari apakah grafik gradien naik atau turun. Untuk polinomial yang terdiferensialkan dua kali, gunakan perubahan tanda aktual dari f″ untuk menetapkan titik belok dan evaluasi fungsi asli untuk koordinatnya.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Untuk x⁴, temukan q″(0).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
q″=12x² bernilai nol pada nol; ini saja tidak menyiratkan adanya titik belok.
Cocokkan setiap pola tanda turunan dengan klasifikasinya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Turunan pertama memlokasi kandidat; perubahan tanda - dari f′ untuk ekstrema, dari f″ untuk titik belok - melakukan klasifikasi.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Titik di mana kurva kontinu mengubah arah kecekungannya. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.