Turunan pangkat rasional dan domain yang valid
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| rational power/ˈræʃənl ˈpaʊə/ | Pangkat rasional |
Kurva akar kuadrat memiliki tinggi terbatas di nol tetapi kemiringan yang tidak terbatas di dekatnya. Mengapa turunan harus memiliki domainnya sendiri?
- Kurva akar kuadrat memiliki tinggi terbatas di nol tetapi kemiringan yang tidak terbatas di dekatnya. Mengapa turunan harus memiliki domainnya sendiri?
- Pelajaran ini mempelajari pangkat rasional: Eksponen yang dapat ditulis sebagai pecahan bilangan bulat, ditafsirkan dengan akar real yang valid.
Pilih struktur matematika
- Untuk eksponen rasional p, d(x^p)/dx=p x^(p−1) di mana fungsi real terdefinisi dan terdiferensiasi. Kalikan dengan koefisien konstanta; diferensiasikan jumlah dan selisih suku demi suku. Konstanta memiliki turunan nol. Tulis ulang radikal dan kebalikan sebagai pangkat sebelum mengurangi satu dari eksponen. x positif valid untuk semua pangkat rasional; input negatif dan nol memerlukan pengecekan terpisah.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
√x terdefinisi pada x=0. Mengapa turunannya tidak hingga di sana?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Keberadaan FUNGSI pada suatu titik tidak menjamin turunan yang hingga: kuotien selisih untuk √x di 0 adalah 1/√h, yang meledak. Domain f dan domain f′ harus diperiksa secara terpisah.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk x>0, f=3√x−4/x+1/√x menghasilkan f′=(3/2)x^(−1/2)+4x^(−2)−(1/2)x^(−3/2). Pada x=4 hal ini menjadi 3/4+1/4−1/16=15/16. Untuk q=x^(2/3)=(akar pangkat tiga x)², nilai x negatif diperbolehkan; q′=(2/3)x^(−1/3) untuk x≠0, sehingga q′(−8)=−1/3. Pada nol, q memiliki cusp: hasil bagi selisih |h|^(2/3)/h melenceng dengan tanda berlawanan. Untuk r=x^(4/3), [r(h)−r(0)]/h=akar pangkat tiga h cenderung ke nol, sehingga r′(0)=0. Dengan demikian, pangkat pecahan tidak secara otomatis mengecualikan nol dari turunan.
Turunan pangkat rasional dan domain yang valid
Untuk eksponen rasional p, d(x^p)/dx=p x^(p−1) di mana fungsi riil terdefinisi dan terdiferensialkan
Pilih aturan turunan dan pertahankan setiap koefisien, laju dalam, dan pembatasan input.
Untuk f yang dikerjakan, temukan f′(4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3/2)/2+4/16−(1/2)/8=15/16.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Domain akar asli dan domain turunan bisa berbeda. √x terdefinisi pada x=0, tetapi 1/(2√x) tidak memiliki nilai terbatas di sana; 1/√x sama sekali tidak terdefinisi di sana. Basis real negatif membutuhkan eksponen rasional yang disederhanakan dengan penyebut ganjil. Untuk x<0, x^(2/3) berarti kuadrat dari akar pangkat tiga realnya, bukan perhitungan logaritma real yang tidak valid. Jangan menurunkannya kebalikan dengan mempertahankan eksponen yang sama atau menghilangkan tanda minus.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap fungsi pangkat rasional yang terdefinisi di nol memiliki turunan terbatas di sana. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Untuk x^(2/3), temukan turunan di x=−8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Akar pangkat tiga riil dari −8 adalah −2; (2/3)/(−2)=−1/3.
Setiap fungsi pangkat rasional yang didefinisikan di nol memiliki turunan terbatas di sana.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Domain akar asli dan domain turunan bisa berbeda. √x terdefinisi pada x=0, tetapi 1/(2√x) tidak memiliki nilai hingga di sana; 1/√x sama sekali tidak terdefinisi di sana. Basis negatif riil memerlukan eksponen pecahan yang disederhanakan dengan penyebut ganjil. Untuk x<0, x^(2/3) berarti kuadrat dari akar pangkat tiga riilnya, bukan perhitungan logaritma riil yang tidak valid. Jangan menurunkan kebalikan dengan mempertahankan eksponen yang sama atau menghilangkan tanda minus.
Interpretasikan situasi baru
- Nyatakan domain asli terlebih dahulu, tulis ulang setiap suku, kalikan koefisiennya dengan eksponen dan kurangi satu dari eksponen tersebut. Kembali ke radikal jika diminta. Periksa input batas dengan hasil bagi selisih asli ketika turunan formal tidak terdefinisi atau tidak konklusif. Pertahankan koefisien pecahan yang tepat hingga evaluasi akhir.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Untuk x^(4/3), temukan turunan di x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Rasio selisih asli adalah akar kubik riil dari h dan cenderung ke nol.
Cocokkan setiap penulisan ulang pangkat dengan turunannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tulis ulang akar dan kebalikan sebagai pangkat terlebih dahulu, lalu terapkan px^(p-1) dengan koefisiennya; eksponen berkurang tepat satu.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Eksponen yang dapat ditulis sebagai pecahan bilangan bulat, ditafsirkan dengan akar real yang valid. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan tafsirkan hasilnya.