Terbitan sinus dan kosinus berdasarkan prinsip pertama
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| radian limit/ˈreɪdɪən ˈlɪmɪt/ | Limit radian |
Titik berputar memiliki koordinat sinus dan kosinus. Bagaimana perubahan kecil koordinatnya mengarah pada rumus turunan yang eksak?
- Titik berputar memiliki koordinat sinus dan kosinus. Bagaimana perubahan kecil koordinatnya mengarah pada rumus turunan yang eksak?
- Pelajaran ini mempelajari limit sudut kecil dalam radian: Limit sudut kecil yang digunakan dengan sudut yang diukur dalam radian.
Pilih struktur matematika
- Dalam radian, sin h/h mendekati 1 dan (cos h−1)/h mendekati 0 saat h mendekati nol. Menggunakan rumus penjumlahan sudut pada hasil bagi selisih menghasilkan d(sin x)/dx=cos x dan d(cos x)/dx=−sin x. Limit-limit ini menentukan gradien tangen; mereka memerlukan input dalam radian.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa rumus turunan untuk sin dan cos memerlukan radian?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Limit geometris sin h<h<tan h adalah pernyataan tentang panjang busur dalam radian. Dalam derajat, limitnya adalah π/180, dan setiap turunan mengambil faktor tersebut.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk sin x, [sin(x+h)−sin x]/h=sin x[(cos h−1)/h]+cos x[sin h/h], yang mendekati cos x. Untuk cos x, kuosien adalah cos x[(cos h−1)/h]−sin x[sin h/h], yang mendekati −sin x. Dekat nol, ketaksamaan lingkaran satuan sin h<h<tan h untuk 0<h<π/2 membatasi sin h/h antara cos h dan 1; nilai h negatif memiliki rasio yang sama. Juga (cos h−1)/h=−2sin²(h/2)/h cenderung ke nol, menggunakan sin(h/2)/(h/2)→1. Pada x=π/6, gradien sinus adalah √3/2 dan gradien kosinus adalah −1/2. Untuk sinus pada x=0, h=0.1 menghasilkan sin(0.1)/0.1≈0.998334; pada h=−0.1, rasionya sama.
Terbitan sinus dan kosinus berdasarkan prinsip pertama
Dalam radian, sin h/h mendekati 1 dan (cos h−1)/h mendekati 0 saat h mendekati nol
Hubungkan pengiraan terbitan kepada hadnya atau tafsiran tanda kecerunannya.
Cari terbitan sin x pada x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Bukti sinus memberikan cos0=1.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Pendekatan sudut kecil bukan kesamaan h hingga finite yang eksak. Turunan kosinus memiliki tanda minus. Jika variabel θ diukur dalam derajat, d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180); rumus radian tidak dapat disalin tanpa faktor tersebut. Jangan gunakan rumus turunan itu sendiri untuk membuktikan limit awal.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Turunan dari cos x adalah positif sin x untuk x radian. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Cari terbitan cos x pada x=π/2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Bukti kosinus memberikan −sin(π/2)=−1.
Terbitan cos x ialah positif sin x untuk x dalam radian.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aproksimasi sudut kecil bukan kesamaan berhingga yang tepat. Turunan cosinus memiliki tanda minus. Jika variabel θ diukur dalam derajat, d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180); rumus radian tidak dapat disalin tanpa faktor tersebut. Jangan gunakan rumus turunan itu sendiri untuk membuktikan limit awal.
Interpretasikan situasi baru
- Mulailah dari hasil bagi selisih asli dan gunakan penjumlahan sudut sebelum menerapkan dua limit radian. Pertahankan faktor tetap sin x/cos x dan tandanya. Periksa gradien titik pasti terhadap apakah grafiknya naik atau turun; pembuktian berlaku pada setiap x radian riil, bukan hanya dekat x=0.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Cari terbitan sin x pada x=π.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Bukti sinus memberikan cosπ=−1.
Cocokkan setiap limit radian dengan nilainya saat h→0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hasil bagi selisih untuk sinus terurai menjadi cos x·(sin h/h)+sin x·((cos h-1)/h), dan kedua limit tersebut menghasilkan cos x.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Limit sudut kecil yang digunakan dengan sudut yang diukur dalam radian. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.