Tangent and normal equations and gradient conditions
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| normal line/ˈnɔːml laɪn/ | garis normal |
Garis singgung jalan memberikan arah lokalnya; jalan silang mengikuti garis normal. Mengapa kedua garis harus menggunakan titik kurva yang sama?
- Garis singgung jalan memberikan arah lokalnya; jalan silang mengikuti garis normal. Mengapa kedua garis harus menggunakan titik kurva yang sama?
- Pelajaran ini mempelajari garis normal: sebuah garis melalui titik kurva yang tegak lurus terhadap garis singgung lokalnya.
Pilih struktur matematika
- Pada titik yang boleh diferensiasi (a,f(a)), kecerunan garis singgung ialah m=f′(a) dan persamaannya ialah y−f(a)=m(x−a). Untuk m terhingga dan bukan sifar, kecerunan garis normal ialah −1/m. Cari titik yang memenuhi syarat kecerunan tertentu dengan menyelesaikan f′(x), kemudian gantikan kepada f asal. Garis selari mempunyai kecerunan sama; kecerunan tegak terhingga dan bukan sifar hasil darabnya ialah −1.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
At x=1 on f=x³-3x the tangent is horizontal. What is the normal?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The normal is perpendicular to the tangent; a horizontal tangent (m=0) forces a vertical normal, stated as x=1. The formula -1/m applies only to finite nonzero m.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk f=x³−3x pada x=2, f(2)=2 dan f′(2)=9. Garis singgungnya ialah y−2=9(x−2), atau y=9x−16. Garis normalnya ialah y−2=−(1/9)(x−2). Garis singgung selari dengan y=9x+4 memenuhi 3x²−3=9, memberikan x=±2: titik (2,2) dan (−2,−2). Garis singgung kedua ialah y+2=9(x+2). Pada x=1, garis singgung adalah mendatar y=−2 dan garis normal menegak x=1; tiada songsang negatif terhingga bagi sifar. Bagi bulatan pada (5,0), garis singgung menegak x=5 dan garis normal mendatar y=0. Garis pemotong melalui (−2,−2) dan (2,2) mempunyai kecerunan 1, berbeza daripada sebarang kecerunan garis singgung tempatan 9.
Tangent and normal equations and gradient conditions
At a differentiable point (a,f(a)), the tangent gradient is m=f′(a) and its equation is y−f(a)=m(x−a)
Connect derivative calculations to their original point, domain and stated rate law.
For f=x³−3x, find the tangent gradient at x=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f′=3x²−3, giving 9 at x=2.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Turunan menyediakan gradien, bukan koordinat y. Gunakan kurva asli untuk menentukan titik. Kebalikan dari garis normal mencakup tanda minus dan tidak tersedia untuk garis singgung horizontal; berikan garis vertikal sebagai gantinya. Garis singgung dapat bertemu kurva lagi di tempat lain. Intersep garis tertentu tidak memengaruhi kondisi gradien sejajar, tetapi baik garis singgung maupun garis normal harus melalui titik kurva yang stated.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Garis normal dari garis singgung horizontal memiliki gradien terhingga nol. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Find the normal gradient there.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
For the finite nonzero tangent gradient 9, the normal gradient is −1/9.
A normal to a horizontal tangent has finite gradient zero.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The derivative supplies a gradient, not the y-coordinate. Use the original curve for the point. The normal’s reciprocal includes a minus sign and is unavailable for a horizontal tangent; give a vertical line instead. A tangent can meet the curve again elsewhere. A given line’s intercept does not affect a parallel-gradient condition, but both tangent and normal must pass through the stated curve point.
Interpretasikan situasi baru
- Temukan titik dan gradien secara terpisah, lalu gunakan bentuk titik-kemiringan. Jika kondisi gradien memberikan beberapa input, retain setiap titik dan garis yang diizinkan. Nyatakan kasus horizontal/vertikal tanpa menciptakan gradien numerik tak hingga. Verifikasi bahwa garis melalui titik dan bahwa pasangan gradien garis singgung/normal terhingga dan tak nol dikalikan menghasilkan −1.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
How many tangents to f are parallel to y=9x+4?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x²−3=9 has the two allowed inputs ±2.
Match each line at (a,f(a)) to its equation or gradient.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The derivative supplies the gradient and the ORIGINAL curve supplies the point; the two must be evaluated separately at the same x.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Sebuah garis melalui titik kurva yang tegak lurus terhadap garis singgung lokalnya. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.