Optimisation with constraints, boundaries and rejected roots
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| feasible domain/ˈfiːzɪbl dəˈmeɪn/ | domain layak |
Memotong segi empat sama sudut yang lebih besar menjadikan kotak lebih tinggi tetapi tapaknya lebih kecil. Potongan manakah sebenarnya memberikan isipadu terbesar yang sah?
- Memotong persegi sudut yang lebih besar membuat kotak lebih tinggi tetapi alasnya lebih kecil. Potongan mana yang sebenarnya memberikan volume valid terbesar?
- Pelajaran ini mempelajari domain layak: Nilai input yang diperbolehkan setelah batasan fisik atau matematika asli diterapkan.
Pilih struktur matematika
- Nyatakan kuantitas yang dioptimalkan dalam satu variabel, beserta domain layaknya. Selesaikan kondisi turunan-nol untuk kandidat interior, tolak akar yang tidak valid, dan klasifikasikan menggunakan tanda turunan atau turunan kedua yang bukan nol. Maksimum/minimum global juga memerlukan nilai batas atau perilaku limit; klasifikasi lokal saja tidak menyelesaikan pertanyaan domain terbatas.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
For the open box, V′=0 gives x≈2.43 and x≈8.24. Why is 8.24 rejected outright?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A stationary point outside the feasible domain is not a candidate. Global claims also need the boundaries: V→0 at both open ends, so the interior maximum at 2.43 is global.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Potong persegi dengan sisi x cm dari lembaran 20 cm oleh 12 cm dan lipat menjadi kotak terbuka. Dimensinya adalah x,20−2x,12−2x, sehingga V=240x−64x²+4x³ dan 0<x<6. V′=240−128x+12x² menghasilkan akar x=(16±2√19)/3. Akar terkecil α≈2.4274 berada dalam domain; yang lebih besar ≈8.2393 membuat sisi pendek basis negatif dan ditolak. V′ positif pada (0,α) dan negatif pada (α,6), sementara V cenderung ke nol di kedua ujung. Dengan demikian α memberikan maksimum global. Persegi panjang terpisah dengan keliling 24 cm memiliki sisi x,12−x, luas A=12x−x² dan 0<x<12; maksimumnya adalah 36 cm² pada x=6. Untuk f=(x−1)² pada [0,3], nilai stasioner interior adalah minimum 0, namun maksimum global adalah nilai titik akhir f(3)=4.
Optimisation with constraints, boundaries and rejected roots
Express the quantity to optimise in one variable, with its feasible domain
Connect derivative calculations to their original point, domain and stated rate law.
For the 24 cm perimeter rectangle, find the optimum x in cm.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A′=12−2x=0 gives x=6 in the domain.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Akar stasioner di luar domain layak bukanlah desain alternatif. Tes turunan kedua memberikan klasifikasi lokal, bukan setiap perbandingan global. Titik akhir terbuka adalah nilai limit, bukan desain yang diperbolehkan. Untuk interval tertutup, periksa nilai titik akhir aktual. Jika dimensi harus menggunakan langkah diskrit yang ditentukan, bandingkan pilihan yang diizinkan di sekitarnya daripada melaporkan optimum kontinu yang tidak dapat dicapai.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap solusi dari V′=0 adalah maksimum global yang layak dari volume kotak. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi apa yang dilanggar.
Find its maximum area in cm².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A(6)=6×6=36; the derivative changes + to −.
Every solution of V′=0 is a feasible global maximum of the box volume.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A stationary root outside the feasible domain is not an alternative design. A second-derivative test gives a local classification, not every global comparison. Open endpoints are limiting values, not permitted designs. For a closed interval check actual endpoint values. If dimensions must use a specified discrete step, compare the neighbouring allowed choices rather than reporting an unattainable continuous optimum.
Interpretasikan situasi baru
- Tulis satuan dan batasan sebelum kalkulus, pertahankan akar eksak melalui klasifikasi, dan berikan dimensi atau kuantitas akhir yang diminta alih-alih hanya input. Nyatakan idealisasi seperti ketebalan material yang dapat diabaikan dan lipatan yang presisi. Jika model memiliki potongan diskrit atau toleransi pengukuran, jelaskan bagaimana pilihan layak akhir dan perbandingannya akan berubah.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Find the maximum of (x−1)² on [0,3].
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Compare the stationary value 0 with endpoint values 1 and 4; the maximum is 4.
Match each optimisation step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A second-derivative test classifies locally only; restricted-domain optimisation is finished by comparing boundaries.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Nilai input yang diperbolehkan setelah batasan fisik atau matematika asli diterapkan. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.