Membentuk persamaan diferensial dari hukum laju
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | persamaan diferensial |
Suatu populasi tumbuh sebanding dengan ukuran saatnya sementara sejumlah tetap keluar setiap hari. Bagian mana yang termasuk dalam persamaan laju?
- Suatu populasi tumbuh sebanding dengan ukuran saatnya sementara sejumlah tetap keluar setiap hari. Bagian mana yang termasuk dalam persamaan laju?
- Pelajaran ini mempelajari persamaan diferensial: Hubungan yang melibatkan fungsi tak diketahui dan satu atau lebih turunannya.
Pilih struktur matematika
- Pilih variabel independen dan dependen dan ubah hukum laju yang dinyatakan menjadi turunan. Sebanding dengan y berarti ky; sebanding dengan y² berarti ky². Aliran masuk tetap dikurangi kehilangan proporsional memberikan dy/dt=a−ky; laju sebanding dengan selisih dari target A memberikan dy/dt=k(A−y). Kondisi awal menetapkan nilai fungsi, bukan rumus turunan. Konstanta harus memiliki satuan yang membuat kedua sisi merupakan jenis laju yang sama.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa "laju sebanding dengan jumlah saat ini" ditulis dy/dt=ky alih-alih dy/dt=k?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Laju proporsional memberikan perilaku eksponensial, bukan perubahan absolut konstan. dy/dt=k akan menambahkan jumlah tetap per satuan waktu tanpa memandang y — model linear yang menjawab pernyataan berbeda.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk populasi ilustratif P, t dalam hari, kelahiran terjadi pada 0.04P per hari dan 10 individu keluar per hari. Modelnya adalah dP/dt=0.04P−10, P(0)=500. Awalnya lajunya adalah 10 individu/hari; P=250 adalah kesetimbangan, dan di bawah itu persamaan yang sama memprediksi penurunan. Model harus berhenti atau disempurnakan jika memprediksi populasi negatif. Untuk kecepatan v dalam m/s dengan t dalam detik, percepatan 6−0.2v memberikan dv/dt=6−0.2v, v(0)=0: percepatan awal adalah 6 m/s² dan kecepatan kesetimbangan 30 m/s. Dalam model permintaan hipotetis, jumlah Q menurun pada tingkat harga yang sebanding dengan Q. Pada harga p=12, Q=200 dan dQ/dp=−10, sehingga dQ/dp=−0.05Q dengan Q(12)=200; variabel independen adalah harga, bukan waktu. Dalam matematika murni, kemiringan 2xy dengan y(1)=3 memberikan dy/dx=2xy dan kemiringan awal 6.
Membentuk persamaan diferensial dari hukum laju
Pilih variabel bebas dan terikat serta ubah hukum laju yang dinyatakan menjadi turunan
Sambungkan pengiraan sumber kepada titik asalnya, domain dan undang kadar yang dinyatakan.
Temukan laju populasi awal dalam individu/hari.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
0.04×500−10=10.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Laju proporsional bukan perubahan absolut konstan. Keberangkatan tetap memerlukan suku pengurangan, bukan pengali kedua dari P. Jangan mengganti P yang berubah dengan nilainya di awal sepanjang persamaan. Kesetimbangan menyelesaikan kondisi laju-sama-dengan-nol; tidak harus sama dengan nilai awal atau didekati dari setiap awal. Turunan harga dan turunan waktu adalah besaran berbeda dengan satuan berbeda.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Pernyataan bahwa laju sebanding dengan jumlah saat ini berarti perubahan absolut yang sama pada semua waktu. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi apa yang dilanggar.
Temukan percepatan awal dalam m/s².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
6−0.2×0=6.
Pernyataan bahwa laju berbanding lurus dengan jumlah saat ini berarti perubahan absolut yang sama pada setiap waktu.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Laju proporsional bukan perubahan absolut tetap. Keberangkatan tetap memerlukan suku pengurangan, bukan pengali kedua dari P. Jangan ganti P yang berubah dengan nilainya di awal sepanjang persamaan. Keseimbangan menyelesaikan kondisi laju-sama-nol; tidak harus sama dengan nilai awal atau didekati dari setiap titik awal. Turunan harga dan turunan waktu adalah besaran berbeda dengan satuan berbeda.
Interpretasikan situasi baru
- Definisikan setiap variabel, vertalkan setiap aliran masuk/keluar atau istilah proporsional dengan tandanya, nyatakan asumsi konstanta dan lampirkan kondisi awal secara terpisah. Evaluasi laju awal sebagai pengecekan dan temukan kesetimbangan sebelum menginterpretasikan model. Ini adalah konstruksi ilustratif, bukan daftar konteks wajib: contoh G6 bersifat opsional. Menyelesaikan persamaan yang dihasilkan adalah tugas integrasi terpisah.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan konstanta proporsional positif dalam model permintaan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Dari −10=−k×200, k=10/200=0.05.
Cocokkan setiap hukum laju dengan persamaan diferensialnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Konstanta membawa satuan yang membuat kedua sisi memiliki jenis laju yang sama; kondisi awal menetapkan NILAI, bukan rumus turunannya.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Suatu hubungan yang melibatkan fungsi tak diketahui dan satu atau lebih turunannya. Pilih hubungan tersebut, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.