Turunan invers pada titik-titik yang sesuai
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| inverse derivative/ɪnˈvɜːs dɪˈrɪvətɪv/ | turunan invers |
Kalibrasi mengubah panjang menjadi pembacaan. Bagaimana kita membalikkan laju lokalnya tanpa mengambil resiprokal dari outputnya?
- Kalibrasi mengubah panjang menjadi pembacaan. Bagaimana kita membalikkan laju lokalnya tanpa mengambil resiprokal dari outputnya?
- Pelajaran ini mempelajari turunan invers: Laju dari output invers terhadap inputnya, dievaluasi pada titik asli yang sesuai.
Pilih struktur matematika
- Misalkan f adalah satu-satu pada interval tertentu dan g=f⁻¹. Identitas f(g(v))=v memberikan f′(g(v))g′(v)=1. Ketika turunan-turunan tersebut ada dan f′(g(v))≠0, g′(v)=1/f′(g(v)). Invers dievaluasi pada output asli v, bukan otomatis pada input asli x yang sama. Resiprokal 1/f(x) adalah fungsi yang berbeda.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Untuk f(x)=x²+1 pada x≥0, mengapa g′(10) menggunakan f′(3), bukan f′(10)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Invers pada v=10 sesuai dengan input asli 3, di mana f′(3)=6. Menggunakan f′(v) secara langsung akan menghasilkan 1/20 - kesalahan titik yang klasik.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk f(x)=x²+1 pada x≥0, g(v)=√(v−1), v≥1. Pada v=10, g(10)=3 dan f′(3)=6, sehingga g′(10)=1/6. Pada x≤0 cabang inversnya adalah −√(v−1), dengan g(10)=−3 dan g′(10)=−1/6. Untuk f=e^x, g=ln v: f′(g(v))=e^(lnv)=v, sehingga g′=1/v untuk v>0. Untuk f=sin x pada −π/2≤x≤π/2, g=arcsin v. Dalam −1<v<1, cos(g(v))=√(1−v²)>0, sehingga g′=1/√(1−v²). Kosinus nonnegatif mengikuti dari cabang sinus terbatas; ini bukan pilihan tanda sembarang.
Turunan invers pada titik-titik yang sesuai
Misalkan f bersifat satu-satu pada interval tertentu dan g=f⁻¹
Identifikasi variabel pengubah yang sesuai dan validasi penyebut turunan atau cabang lokal.
Untuk cabang kuadrat positif, temukan g′(10).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Input positif yang sesuai adalah 3 dan f′(3)=6, menghasilkan 1/6.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Jangan mengganti penyebut titik yang sesuai f′(g(v)) dengan f′(v). Perilaku satu-satu saja tidak menjamin gradien invers terhingga: x³ dapat dibalik, tetapi turunannya nol di nol dan akar kubik tidak memiliki turunan terhingga di sana. Titik ujung akar/arcsine invers juga dapat tidak memiliki gradien terhingga. Cabang invers yang berbeda dapat memberikan tanda yang berbeda.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Turunan dari invers selalu 1/f′(v), dievaluasi pada input invers v. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Untuk g(v)=ln v, temukan g′(4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Turunan eksponensial pada ln4 adalah 4, sehingga laju inversnya adalah 1/4.
Turunan dari fungsi invers selalu 1/f′(v), dievaluasi pada input invers v.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jangan ganti penyebut titik bersesuaian f′(g(v)) dengan f′(v). Perilaku satu-satu saja tidak menjamin gradien invers yang terhingga: x³ dapat dibalik, tetapi turunannya nol di nol dan akar pangkat tiga tidak memiliki turunan terhingga di sana. Titik ujung akar/arcsine invers juga bisa tidak memiliki gradien terhingga. Cabang invers yang berbeda dapat memberikan tanda yang berbeda.
Interpretasikan situasi baru
- Batasi domain asli, temukan pasangan input/output invers, turunkan f dan evaluasi turunannya pada input asli yang diperoleh kembali. Kemudian ambil resiprokal hanya jika gradien terhingga tersebut nonzero. Tukar unit horizontal dan vertikal untuk laju invers. Periksa hasilnya dengan menurunkan invers eksplisit ketika tersedia.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Untuk cabang kuadrat negatif, temukan g′(10).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Input negatif yang sesuai adalah −3 dan f′(−3)=−6, menghasilkan −1/6.
Pasangkan setiap fakta invers-turunan dengan pernyataannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Cabang yang berbeza memberikan tanda yang berbeza: pada x≤0, v=10 yang sama sepadan dengan -3 dan g′(10)=-1/6.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Laju dari output invers terhadap inputnya, dievaluasi pada titik asli yang sesuai. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan tafsirkan hasilnya.